刘豹版现代控制理论第六章课件6最优控制

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刘豹版现代控制理论第六章课件6最优控制什么是最优控制
例1：用-定面积的铁皮做罐头桶，求桶容积的最大值
解：设桶高h，底面积半径为r，有 2
(， ) Vrh rh π
2
(， ) 2( ) Arh r rh ππ 3

r
VA
约束条件：铁皮面积：
消去h
通过实例来初步认识
3
0

2
Vr A r π − 消去h：
0
dV
dr
0
6
A
r
π
0
2
3
A
h
π

2
2
60 dV
r
dr
π − <
3/ 2
0
1
36
m VAπ

有：
故极点为极大值
某种性能指标最
优下的控制实现
例2
直流他励电动机的运
动方程为
t
J T I K D F D m
d
dω
−
其中， 为转矩系数； 为转动惯量；
为恒定的负载转矩
m K D
J
为恒定的负载转矩； F T
希望：在时间区间[0，t
f
]内，电动机从静止起动，转过-定角度
后停止，使电枢电阻 上的损耗 最小，求
θ
D R t t I R E D
t
D
f
d ) (
2
0 ∫
) (t I
D
D
I 因为 是时间的函数，E又是 的函数，E是函数的函数，称为
泛函。
D
I
0
d
f
t
tt ω θ
∫
采用状态方程表示，令
θ 1
x ω θ
&
&
1 2
x x
D
F
D
D
m
J
T
I
J
K
x − ω& &
2
于是
F
D
D
D
m T
J
I
J
K
x
x
x
x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
0 0
0 0
1 0
2
1
2
1
&
&
（1）
初始状态 ⎥
⎤
⎢
⎡
⎥
⎤
⎢
⎡ 0 ) 0 (
1
x
末值状态 ⎥
⎤
⎢
⎡
⎥
⎤
⎢
⎡ ) (
1 θ f
t x
D
I 控制 不受限制 初始状态 ⎥
⎦
⎢
⎣

⎥
⎦
⎢
⎣ 0 ) 0 (
2
x
末值状态 ⎥
⎦
⎢
⎣
⎥
⎦
⎢
⎣
0 ) (
2 f
t x
D
I 控制 不受限制
性能指标 t t I R E D
t
D
f
d ) (
2
0
∫

) (t I
D
本问题的最优控制提法是：在数学模型（1）的约束下，寻求-个
控制 ，使电动机从初始状态转移到末值状态，性能指标E为
最校
例3 对于例2中的直流他励电动机，如果电动机从初始
) (t I
D 时刻 的静止状态转过-个角度 又停下，求控制 （ 是
受到限制的），使得所需时间最短。
0 0 t θ D
It
这也是-个最优控制问题：
系统方程为
F
D
D
D
m T
J
I
J
K
x
x
x
x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
0 0
0 0
1 0
2
1
2
1
&
&
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 0 ) 0 ( x
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ) ( θ t 初始状态 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
0
) 0 (
) 0 (
2
1
x
x
末值状态 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0 ) (
) (
2
1 θ
f
f
t x
t x
) (t I
D max D
I ≤
性能指标 f
t
t t J
f

∫
0
d
最优控制问题提法为：在状态方程约束下，寻求最优控制
max
DD It I≤ ，将x(t
0
)转移到x(t
f
)，使J为最小