离心叶轮中间流线划分的解析解

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doi：10.3969/j.issn.1673-159X.2013.05.021Analytical Solution to the Issue about M edial Streamlineon Centrifugal Impeller M eridional Diagram，WANG Tao，YAN Jing(School ofEnergy and Environment，Xihua University，Chengdu 610039 China)Abstract：In design process related to centrifugal impelers of medium or high specifc speed used in chemical or slury pumps，amedial streamline on accomplished meridional diagram of impeler should be formed，which is a common way to improve impeller per-form ance.In present design practice，when 1-D theorem is applied，a trail-and-error way is employed to detect positions of somepoints on the streamline，and the whole procedure is perform ed by manual operation.Additionally，an approximate way is used to cal-culate the areas of cross sections of impeler passage flow.In order to upgrade the method in impeler design，the authors of this paperformulate an equation which depicts precious positions of steamline points and also offer a program based on QBasic to solve the equa-tion。

Key words：centrifugal pump；impeler；design；medial streamline在中高比转速化工泵、渣浆泵叶轮的水力设计过程中，确定了叶轮轴面投影图之后 ，为提高叶片几何精度和水力性能，需在轴面图中绘制-中间轴面流线 J。在现有设计实践中，这-平面流线按下述步骤形成。作-内切圆，与已完成的叶轮轴面投影的前后盖板流线分别切于A、B两点，如图 1所示，将圆心 与 A、 连接，得到-等腰三角形. - ，AMB5 J。作-圆弧AB过A、B两点且与半径 MA、MB都相切，这-圆弧与前后盖板流线在切点处正交，同时认为圆弧与轴面内其他轴面流线也正交，因而弧AB是-条轴面液流过水断面形成线。

/ 、 圆弧AB绕叶轮轴心线旋转-周后生成的回转面是-轴面液流过水断面。由古鲁金定理可知，过水断面的面积 F等于2叮r倍圆弧长与圆弧重心到轴心线距离的乘积 J。圆弧重心位置 G点近似认为与等腰三角形AMB的重心重合。

收稿日期：2012-11·10基金项目：四川省青年科技创新研究团队计划项目(2011JTD0016)；四川侍育厅重点项 目(11ZZO02)；四JIl侍育厅青年基金项 目(1 1 ZBO08)；西华大学能源与环境学院科研预研项目。

作者简介：王 桃(1978-)，女，讲师，主要研究方向为流体机械及工程。

第5期 王桃，等：离-C，Pt轮中间流线划分的解析解 83太 lX- ， 图 1 过水断面形成线绘型叶轮轴面图上中间轴面流线的关键是要确定这-待定平面曲线与若干条 已确定的平面过水断面形成线的交点。在弧上试取-点 z，z点将/ 、 ， 、 圆弧分成两段AZ及ZB，它们分别代表两个相接的小过水断面，应按两个过水断面通过相同流量的原则确定 z点位置。根据已被实验证实基本正确的轴、 面速度分布的-元理论 ，小段AZ生成的过水断面面积.厂应为F/2。f由计算 F-样的绘型计算步骤确定。

可以看到，上述传统的叶轮中间轴面流线确定过程很难满足精确、快速的现代设计要求，其不足之处主要体现为：1)Z点的位置是假定后再检查其合理性，可能要多次反复才有结果，且精度不高；2)将等腰三角形的重心视为圆弧重心必然引入误差；3)整个过程由手工反复绘图计算，效率低下。

为精确、迅速地完成叶轮轴面内中间流线的绘型，本文将导出确定-过水断面形成线上分点 z的位置的理论方程，并提供寻求方程精确数字解的算法语言程序，以改变目前被动的设计局面。

1 过水断面面积 的精确解在已定叶轮轴面图中建立-平面直角坐标系，其 轴与叶轮轴心线重合，坐标原点则可置于 轴上任意位置，如图2所示。

图2 过水断面的面积计算 用通用二维绘图软件的查询功能读出-已定过水断面形成AB的两端点坐标( ， )、(xB，yB)，以及圆弧对应的等腰三角形 AMB的顶角/.AMB的值 。全部计算结果都将以这5个已知量表示，注意端点坐标应包括正、负号。

为应用古鲁金定理获得AB圆弧绕叶轮轴心线- 周生成的回转面表面积 F的精确值，下面分别求算圆弧重心 G点到叶轮轴心线(即 轴)的垂直距离yG及圆弧长 Js。

设圆弧 所在圆心在 O点。由于对称性，圆弧重心 G应位于等腰三角形的对称轴 OM上。文献[6]以重心定理导出了圆弧重心 G点到 0点的距离长度 OG的解析值：OG：2 Lsin(qb/2)： 订 - 叮丁-由此可获取重心 G到叶轮轴心线(即 轴)的垂直距离yG。等腰三角形底边AB与水平方向夹角：arctan( )，三角形底角/BAM 的值 0显I A-XB I然为 ，r/2- /2，由此得到圆弧端点 4与圆弧圆心0点连线与水平方向的夹角： ，IT- 卢-0：孚-同时，圆浑径 OA(0 )的值 R：Lt n( )：。 圆弧中心 0点到叶轮轴心线的距离即为 0点纵坐标，yO Rsinc。

到此得到yG值：yGyO-OG·COS[ -(，r/2-cP/2)]yO-OG·sin( /2 )。

圆弧AB的弧长 Js为SR(仃- )利用古鲁金定理得到 F的精确解析解 ：F2盯 ·S ·yG由于4、 两点的坐标及 值是已知量，因此上面的顺序几何量 D，L，OG， ，0，OL，R，yO，yG，S均可依次计算，从而对给定过水断面形成线AB产生的过水断面面积 F的准确解析解也是-可求已知量。

西华大学学报 ·自然科学版2 叶轮中间轴面流线的划分设叶轮轴面图中中间轴面流线与-已确定轴面液流过水断面形成线AB交于 z点，如图3所示。

圆弧AZ对应的圆心角LAOZ的值设为Z。如果以解析方法确定了 值，就可以-次确定圆弧分点z的准确位置，避免了传统方法的多次试运算。过、z两点作圆弧的切线交于 m点。图 4为等腰三角形AmZ局部放大图，顶角LAmZ显然为 -z，腰mA长ZOAtan(z/2)R·tan(z/2)。

lrZ图3 中间流线划分0y图4 等腰三角形 AmZ局部放大图，、 由于对称性，圆弧 Z的重心 g位于弧的对称轴Om上，g点到圆弧圆心的距离 Clg，同前面 OG的导出-样，应为2fsin( )2 tan(手)c。s(号)2Rsin(号) Og - - 可 - 1T- Jg点到叶轮轴心线的距离，也即g点的纵坐标yg直为YgyO-Og·COS( -z/2)yO-2Rsin(z/2)cos( -z/2)AZ的弧长也可用 。表示：R·由古鲁金定理，有-厂21T·Yg·R· 2，rR[z·yO-2Rsin(z/2)COS(Y-z/2)]如前所述，应有关系厂F/2，即2rR[z·yO-2Rsin(z/2)(308( -z/2)]：F/2(1)式(1)中R、yO、 及 F在前期获得，因而式(1)是-个关于未知量 的超越方程。选择适当的数值计算方法编程得到精度足够的数值解后，即可计算弧长AZR·z。利用绘图软件的定距分点”功能，能在弧AB上-次性确定 z点的精确位置。

以同样方法确定叶轮轴面图中其他过水断面形成线与中间轴面流线的交点，通过这些交点的曲线就是中间轴面流线的准确结果。

3 -元超越方程求解方法及应用实例有多种方法求解超越方程(1)，文后所附 QBa。

sic语言程序使用了对分法，现对这-方法原理简要证明如下：构造-个以z为自变量的-元函数 Y z)Y27rR[ ·yO-2Rsin(z/2)COS( -z/2)]-F/2原方程(1)的解显然是能使函数 Y0的自变量z的值。

令 zl0，z2(耵- )/2，方程的解位于这-给定区间内。计算zm( l )/2，同时计算 3个已确定的自变量对应的函数值 1，y2，ym。

如果1yml小于-事先给定的充分小的正数，表明ym-0，zm就是原方程的解。这-收敛条件不满足时，如果乘积 yl·ym>0，说明方程的解在 zm与之间，重新令 zlzm，z2z2，反之，如果乘积 y1·ym<0，方程的解将在 1与zm之间，重新令 zl1，z2Zl"n。两种情况下都应计算 1和 的中间值zm及三个对应函数值，并判定 ym是否满足收敛条件。多次反复后有ym O，输出最终的zm值。

在下面的 QBasie计算程序中，应在 40语句的DATA后输入 5个已知量：图2中A、B两点的横坐标、纵坐标及等腰三角形 AMB的顶角LAMB的值(单位度)。

计算机将输出2个计算结果：1)完整的过水断面形成线AB产生的过水断面面积准确值。以下面程序给出的已知数据，计算所得这-面积为55万1 964.3 mm 。如果使用传统的计算方法，即把等腰三角形的重心当作圆弧重心，过水断面面积的近似值为 56万 6 668.9 inm ，误差达到 1.6%。

在不需要划分中间轴面流线的诚，如低比转第5期 王桃 ，等：离心叶轮中问流线划分的解析解 85速叶轮的设计中，也可利用本程序计算各过水断面面积的准确值 ，它们是计算叶片进口芭角、绘形过水断面面积随流道中线变化曲线时不可缺少的数据。

/ 、 2)通过程序计算，计算机输 出圆弧AZ的弧长128.16 mm，由此可确定叶轮中间轴面流线与给定过水断面形成线的交点的精确位置。

计算程序如下：10 REMLY3 .bas20 REM computing whole cross section area andfinding dividing point on middle streamline30 READ xa，ya，xb，yb，phi40 DATA - 214.8880，392.2193，23.9707，182.1157.154.6540fbig170 DEF fns(W)2 pai rbig (W yo-2rbig SIN(w/2)：fCOS(gama-w/2))-fbig/2180。zl0：z2(pai-phi)/2190 zm(zlz2)/2200 ylfns(z1)：y2fns(z2)：ymfns(zm)210 IF ABS(ym)<.1GOTO250220 IF yl ym > 0 THEN zlzm：z2z2：G0TO190230 IF yl ym < 0 THEN zlzl：z2zm：GO-TO190250 PRINTare length of dividing point onarc”：rbig zm300 END50 pai：3.1415926#：phi：phi pai/180 下面以-个实例说明叶轮中间轴面流线分点60 dbig：SQR(( a-xb)2(va-yb)2) 程序的应用。如图5所示 ，通过前期工作，已经确定70 Lbig：(dbig/2)/SIN(pai/2) 了叶轮的几何参数及 10个过水断面位置。以序号80 beta：ATN(ABS(va-vb)/ABS( a-xb)) 2过水断面为例，分别量取 A、B两点的横坐标、纵坐90 sita：pai/2-phi/2 标以及等腰三角形 AMB的顶角 LAMB的值(单位l00 lfa：Dhi/2h t 度)，将其填人表 1，并将这 5个已知量输入上述程110 rbig：dbig/(2 cos(phi/2)) 序第40语句后，通过程序计算输出该过水断面的面120 v。：varbig SIN(alfa) 积 F及中间流线的分点位置。返回图5中，在第 2130 gama：pai/-alfa 过水断面形成线上量揉 A点弧长为 16·65的点，140 vg：y。- big；lSIN(phi/2gama) 该点即为第 2过水断面形成线与中间轴面流线的交150 sbig：rbig；I：(pai-phi) 点，即本文所述的中间流线分点。重复以上工作，160 fbig：2 pai：lsbig vg 得到 10个分点的精确位置，连接这些分点，就可得165 PRINTarea。f the whole c rIss secti。n”： 到叶轮的中间流线。

轰 1 审问漆绕分点计笪轰86 西华大学学报 ·自然科学版 2013矩 J l- / - R162 / /n B A人 、 I/ l/ /l .1 dl3.14图 5 叶轮中间流线分点买例4 结论本文以数学分析为基础，推导出了离心叶轮轴面过水断面与中间轴面流线交点应满足的代数方程。为求解这-交点，笔者提供了寻求方程精确数字解的算法语言程序，并且给出了-具体实例说明该中间流线分点程序的应用。在低比转速叶轮设计中，也可用该程序求解各过水断面面积。依据这- 成果，结合现有通用的二维绘图软件，水泵叶轮设计人员可以精确、迅速地完成叶轮轴面内各过水断面面积的计算和中间流线的绘型。