流体系统网络变流阻系数解算方法

随着计算机技术的发展，网络图论在流体系统网络中的应用已日益广泛 。网络图论又称网络拓扑理论，它是通过网络拓扑关系，并通过分析网络各元素的空间和特性参数等，实现对网络特性的多方位分析和衡量 ～流体系统网络中的管段抽象成-条分支，分支与分支通过节点相连，将流体系统管网图转化成为图论意义上网络图，而且对于-般的流体网络中，各管道中流体流动具有方向性，如果定义网络图中分支的方向为其内部流体流动的方向，则此时网络图就是有向网络图 。网络图论收稿日期：2011-05～20；修回13期：2013-03-O1作者简介：廖金军(1982-)，男，博士 ，工程师，研究方向为流体传动与控制，电液比例、伺服控制和流体系统网络特性等。

第4期 廖金军，等：流体系统网络变流阻系数解算方法 ·41·方法作为网络分析的主要手段和工具，在流体系统网络水力特性分析中，结合矩阵计算技术，既能充分发挥图论理论的优势，使系统建模和仿真计算过程快捷、准确，同时扩展和丰富了流体系统分析的内容和手段 。

现有基于图论建模和分析的流体系统网络解算算法，通常以采用恒流阻系数的拟牛顿法或者哈代- 克罗斯迭代算 法为主，以上算法 中忽略了流体 系统网络流量迭代中修正流量对解算结果的影响 ，在管路雷诺数变化较大的流体系统网络中，管路流阻系数将发生明显的变化，其对系统网络解算的影响不容忽视，特别是对于流体流态对系统分析结果影响较大的流体网络。因此，基于以上分析，采用变流阻系数的迭代算法，在计算中实时更新任意迭代时步的流阻系数，以提高系统网络解算的精度。

1 流体网络解算原理1.1 网络节点流量守恒从流体网络节点流量守恒定律可知，流体系统网络图 G(V，E)，具有网络节点数 mI l，网络分支数 n：I EI，系统网络可以列出 m个节点流量守恒方程，且 m个节点流量守恒方程可表示为BO. (∑bi ) 0。 (1)式中：B(b ，) 为系统网络 G的关联矩阵；Q(q，，q ，q ，，q )为网络分支流量矩阵，其元素排列次序与系统网络关联矩阵-致；QT为Q的转置矩阵。

1.2 系统回路能量守恒按照系统网络回路矩阵 C(c 的分支顺序排列，回路能量守恒方程可用 回路阻力矩阵 H (h。，h ，h。，，h )和回路附加阻力矩阵H (h ，h ，h；，，h：)表示为CH It 。 (2)式(2)也可改写为(∑c -hti) 0。 (3)式中：H 和 日 分别为 日和 日 的转置矩阵；为回路总数。

1.3 系统回路阻力平衡流体系统网络运行时，流体流动在管网中的压降 (习惯上也称阻力，能量损失、压力损失等)由达西公式得 ：h riq ，( 1，2，3，，n)。 (4)式 中：h 为各网络分支 ei∈C上的阻力压降 ；r。为对应分支上的阻力值；q 为对应分支上的流量值； 为对应分支上的流态因子。流态因子撒于流体在对应分支中的流动状态，当流动状态为层流时， 取1；当流动状态为紊流时， 取 2；过渡状态流时，在 1-2之间取值。

对于雷诺数 Re在4 000到 10 之间的流体管路，以紊流为主，部分管路为层流流动。管路阻力系数与管路的粗糙度及雷诺数 Re有关，Nikurades根据管壁粗糙度、流体运动粘度系数以及摩擦速度三者间的关系，将近壁紊流分为 3个区，即层流区、过渡区和水力粗糙 区 。在层流 区，管壁 的粗糙度全部被粘性底层掩盖 ，这时沿程 阻力 系数仅与雷诺数e有关；在水力粗糙区，管壁的粗糙度完全暴露在粘性底层上。湍流核心层直接受到管壁粗糙度的影响 ，流动受到巨大 的阻力 ，这 时阻力 系数 只与管壁的相对粗糙度有关；在层流区，阻力系数表达式 64Re；在过渡 区 ，介 于光 滑 区与粗糙 区之 间 ，- 般取. 0.002Re 。对于雷诺数 Re在 4 000到10s之间的管路，阻力系数 ： 。

由于管路雷诺数对流阻系数影响较大，直接影响着系统网络分支流阻值的计算。因此，从提高系统网络解算精度出发，提出采用变阻力系数迭代法，在计算过程中动态更新系统网络各分支管路中雷诺数的计算。

根据图论理论，系统网络图 G的基本关联矩阵B 和基本回路矩阵c 的秩分别为 rank(B )m-1和 rank(C )n-/7/，1；根据流量守恒方程 ，如果定义系统流体网络各分支流量为未知数，则通过系统网络图基本关联矩阵可以构造出 m -1个线性无关的n元-次方程组 。同理 ，根据能量守恒方程 ，确定系统网络各分支流阻值后，利用系统网络图基本回路矩阵可以构造出 n-/71，1个线性无关的 n元二次非线性方程组，于是联立流量守恒和能量守恒方程可得到(m-1)(n-m1)：/'t个 n元线性无关的方程组：∑b I qj I0，(i1，2，3，，m-1)，fi1f(q q q，，q)∑c ，Re)-hJ 1(i1，2，3，，，l-m 1)。

· 42· 舰 船 科 学 技 术 第 35卷式中：b 和 c 分别为流体系统网络图 G的基本关联矩阵曰 和基本回路矩阵 c 的元素；q 为系统网络分支流量； 为回路阻力平衡方程。，(r ，q ，Re)为回路各分支动态阻力矩阵，其是根据系统网络管路的流态而得的分段函数厂(r ，q，，Re)rliqj I g，Ir2iqj I q小 (6)式中：r 为流体系统网络支路管路附件、弯头、变径管和多通接头时的阻力系数矩阵元素；r 为流体系统网络支路管段阻力系数矩阵元素。

流体流经管路附件、变径管、弯头和多通接头的阻力系数统-迭算为r ( (haJq。 ) t e )，r7、(k1，2，，K)。

式中： o 和go 分别为系统网络第 i支路上第 k个阀门工作时，对应的压降和流量； 为弯头局部阻力 系数 ； 为渐扩管局部阻力系数 ； 为渐缩管局部阻力系数 ； 为突扩管局部阻力系数 ； 为突 缩 管 局 部 阻力 系数 ； 。为 多 通 接 头 局 部 阻 力系数 。

将流体流经系统网络支路直管的沿程阻力系数跌算为 r： ，其表达式为 IiR 2d 。 (8) -e。· gs 。

式中：z 为第 i支路中直管段的长度；d 为第 i支路管道通径；S 为第 i支路管道截面积。

2 流体网络分析迭代步骤1) 回路能量守恒方程 Taylor展开按照系统网络节点流量守恒定律 ，初始化 系统网络各分支流量 ，其矩阵表达式为Q ，g ∽，g 们，，g )m。，将系统网络回路能量守恒方程组进行 Taylor展开，能量守恒方程 (q。，q ，q，，，q )在第 k次展开 (k1，2，3，)的表达式为”(ql，q g ，g )c3)tk-1)÷ ( (△q ) Rinf(q，)：0。(9) ㈣ L L式 gJ) ( 。

式 (9)可用矩阵形式表示为 ：(F ) (F ) .， (AQL) 0。 (10)式 中：。 。 籍2)修正余支流量矩阵根据式(11)得余支流量修正矩阵 △Q 为△Q [-(J ) (F ) ] ， (11)则余支流量修正为Q ”△Q ”Q 。 (12)3)修正树枝流量矩阵根据图论理论 中基本关联矩阵和基本回路矩阵之间的转换关系，树枝流量修正矩阵 Q 可表示为Q [- (曰f ) (Q ”) ]T O (13)4)迭代误差判别由于在式(9)中忽略了第k次迭代前的函数初始二阶导数矩 阵，因此存在舍人误差 。为保证 系统 网络解算的计算精度，采用第 k次迭代后余支流量修正矩阵和第 k次迭代后回路阻力 函数矩阵的行 和范数作为迭代误差的判别条件：Q I maxI Aq)”I≮ 。，j ( ，2，，n-m )； (14) maxI ”(g ，q ，，q 。)l< ：， ( ：1，2， ，n-m 1)。

5)更新网络流阻系数矩阵经过迭代后，系统网络余支和树枝流量矩阵往往不能立即收敛，需要在修正流量矩阵的基础上进行迭代。同时，由于经过修正的流量，其值发生改变，这将直接引起该时步流阻系数矩阵的变化，采用恒流阻系数法迭代，忽略其影响。因此，为了提高系统网络解算精度，将该时步流阻系数矩阵进行迭代更新，以体现流量修正对其流阻系数的影响，流阻系数在 k1步迭代时的更新值为0.316 4 l (15)O 0 可0 可- 0 第4期 廖金军，等：流体系统网络变流阻系数解算方法 ·43·3 计算实例 4 结果对比流体系统的工作原理和系统流阻系数分别如图 1和表 1所示。按照给定参数，根据上述流体系统网络解算原理和变流阻迭代算法，完成对流体系统网络解算。

1，2，，11为系数网络分支编号阎图 1 流体系统工作原理Fig.1 The principle of system work表 1 系统流阻 系数表Tab.1 System flow resistance恒流阻迭代法以支路管段流阻系数初始值进行迭代，解算过程 中流阻系数不发生变化，而变流阻迭代法通过支路管段流阻系数初始值进行初始迭代，在下-时步将管路流阻系数根据系统流量修正值进行更新计算 ，得到新 的管路流阻系数并进行迭代。以下对系统分别采用恒流阻和变流阻迭代方法进行网络解算 ，其计算结果如图 2～图 5所示 。

采用恒流阻和变流阻系数迭代法解 算 ，得到支路 7离心泵流量分别为 33.51 t/h和33.52 t/h(如图 2所示)，二者相差 0.01 t/h。

33.633.5233.5133.433.2棚爆 33.032832.6： I～ - .c ”1l1-，.r-变流阻系数迭代法lI-' 横流阻系数迭代法J - h 。 r- - - 5 10 l5 2O迭代次数/次图2 支路 7离心泵流量解算Fig.2 The flow calculation of centrifugal pump in branch 7采用恒流阻和变流阻系数迭代法解算 ，得到支路 8离心泵 流量分别为 31.43 t/h和 31.45 t/h (如图 3所示 )，二者相差 0.02 t/h。

-。 。但况阻眷敢选代闵 I-★·变流阻系数迭代j去l秦 - '1 f4 6 8 1O 12 14 16迭代次数/次图 3 支路 8离心泵流量解算Fig.3 The flow calculation of centrifugal pump in branch 82 吣 姗 姗· 44· 舰 船 科 学 技 术 第 35卷采用恒流阻和变流阻系数迭代法解算，得到支路 2流量分别为 22.6 t/h和 22.54 t/h(如图 4所示 )，二者相差 0.06 t/h。

23.O22.822.622.54： 22.422.222.021.821.6 - J-★-·恒流阻系数迭代法I- 1.-，·-变流阻系数迭代法I； l -j f ，. . .工. . j - -i 2 4 6 8 10 12 14迭代次数/次图4 支路2流量解算Fig.4 Flow calculation in branch 2采用恒流阻和变流阻系数迭代法解算，得到支路 3流量分别为 42.34 t/h和 42.43 t/h (如图 5所示)，二者相差 0.09 tYh。

43.543.042.5 41.541.O40.5- 4t--恒流阻系数迭代法- ， -变流阻系数迭代法I， t 。

- - / -q目.聿 日 譬帮￥～ I；5 1O l5 20迭代次数/次图5 支路 3流量解算Fig.5 Flow calculation in branch 3从以上数据分析可以看出，系统流量修正对系统网络流量解算结果有影响，而且由于流量修正矩阵的非-致性，因系统流量修正引起的系统网络解算结果的变化由系统阻力矩阵决定。

5 结 语通过对系统网络流量解算算法和迭代过程的分析，提出了变流阻系数的迭代算法，针对实际流体网络系统，分别采用恒流阻系数和变流阻系数迭代方法进行系统网络流量求解，从解算结果对比分析中可以发现 ，原有采用恒流阻系数的网络流量迭代算法，存在忽略系统流量初始化对系统解算结果的影响，而系统固有阻力特性矩阵将决定其对系统解算结果的影响程度。

因此，为进-步提高流体系统网络流量的解算精度，变流阻系数迭代算法将是有效的保证。