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基于齿面摩擦的斜齿轮传动动力学特性分析

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22机 械 设 计 与制造Machinery Design & Manufacture第 10期2013年 10月基于齿面摩擦的斜齿轮传动动力学特性分析王 一,王奇斌,张义民(东北大学 机械工程与自动化学院,辽宁 沈阳 110819)摘 要:为了研究斜齿轮齿面摩擦的动力学特性,建立了12自由度斜齿轮 系统动力学模型,以时变的啮合刚度作为研究基础,并考虑了假定摩擦系数恒定、接触线上载荷均布状况下摩擦力的影响,以一斜齿轮对为研究对象,采用Newmark法求解齿轮系统的动力学响应,分析有摩擦和无摩擦两种工况下位移变化,结果表明在摩擦力作用下,垂直齿轮啮合线方向的振动加剧,对传动系统平稳有不良影响。模型亦有助于斜齿轮啮合摩擦激励变化特性的进一步研究,结论对齿轮系统的设计分析有一定参考价值。

关键词:斜齿轮;动力模型;摩擦;时变啮合刚度;振动中图分类号:TH16 文献标识码 :A 文章编号:1001—3997(2013)10—0022—04Helical Gear System Dynamic Character Analysis Based on Sliding FrictionWANG Yi,WANG Qi-bin,ZHANG Yi—min(School of Mechanical Engineering&Automation,Northeastern University,Liaoning Shenyang 1 10819,China)Abstract:In order to study the character offrictionforce in gear pairs,a 12-degeee offreedom helical system dynamic modelwas built considering time-varying meshing stiffness and effects offrictionforce.Seting apair ofhelical gearsfor example,thefunction oftime-varyingfrictionforce in helical gear dynamic response埘 analyzed er series ofdynamic simulationprogram code had been worked out.It compared results under£ e situations ofwhether or not taking£k efect offriction intoconsideration and verifed that friction force cart strongly increase the vibration in the direction perpendicular to the line ofaction and do harm to the bearings.Taking varies ofcharacters into consideration,the model Can e^fp people study the efectoffrictionforce in gearmeshingprocess which Canplay a important role in design ofgear systems.

Key W ords:Helical Gear;Dynamic M odel;Friction;Time-Varying Mesh Stifness;Vibration1引言齿轮作为现代机械系统传动中的重要部件,由于其具有稳定的传动比、较大的传动功率、较高的传动效率已广泛运用于动力机械、车辆、航空航天等领域中。齿轮系统的运转状态与振动噪声息息相关,因此齿轮动力学方面的研究一直倍受关注。齿面摩擦是齿轮啮合内部激励的重要因素之一,其动力学效应又对系统振动、齿面磨损与齿轮寿命有着密切影响,所以齿轮摩擦激励特性也是近年来齿轮动力学研究的重要焦点。

在过去的研究中,齿轮啮合动力学特性的数学模型早已被大量的建立,但大多数的模型均忽略了摩擦力对齿轮系统动力学特性的影响【1】,因此传统观点一直认为静态传递误差以及时变的啮合刚度等激励是齿轮振动与噪声的主要来源。文献 车伦摩擦模型对齿轮摩擦力的变化特性做出了大量工作后,文献 较早建立的考虑了齿面摩擦的单自由度齿轮系统动力学模型,虽然此类早期模型将时变的啮合刚度简化为均值来处理或者将总摩擦力均匀分配于各对轮齿间,齿面的载荷分布,摩擦力的计算不甚精确,但他们的研究结果依然显示在低速重载时齿面摩擦力对齿轮系统的振动具有显著影响。于是越来越多的人们逐渐意识到齿面摩擦也是齿轮系统动力特性的潜在重要激励。随后,国外一些科研人员也对斜齿轮摩擦模型做出了相关研究。文献 通过简单的算法分析了一些时变参数如接触线长度、摩擦力以及摩擦力矩等对啮合刚度与阻尼的影响,并发现齿轮轮齿的缺失可以对系统产生低频激励。科研人员计入了时变的啮合刚度,分别建立了直齿轮与斜齿轮的动力学模型,同时比较计算了不同摩擦系数下的齿面润滑模型,最后研究得出不同模型对传动误差的影响不大,而齿廓修形对摩擦方向的振动基本没有影响,所得到的结果与实验数据相一致f71。一些科研人员建立了考虑齿面摩擦的 6自由度非线性直齿轮系统动力模型,对比试验得出齿面摩擦会抑制啮合线方向的振动,齿面粗糙度增大可以减小传动误差,但加剧系统振动日。目前为止,尽管考虑齿面摩擦的齿轮动力学模型种类繁多,但是国内外包含方位角、主动轮转向以及时变啮合刚度等因素的斜齿轮全自由度通用模型的研究尚属欠缺。

建立了12自由度斜齿轮副通用啮合模型,引入了时变的啮合刚度,同时考虑了齿面摩擦对系统动力学特性的影响。并分析对比了有无摩擦情况下的系统振动响应,结果表明齿面摩擦对齿轮垂直啮合线方向的振动影响强烈。该结果有助于研究摩擦激励的诸多特 ,对齿轮系统的设计与故障诊断具有参考意义。

来稿日期:2012—12—04基金项目:长江学者和创新团队发展计戈q(IRT0816);高档数控机床与基础制造装备科技重大专项课题(2013zx04011011)国家自然科学基金(51135003 U1234208)作者简介:王 一,(1990-),男,辽宁鞍山人,硕士研究生,主要研究方向:齿轮动力学;张义民,(1958一),男,吉林长春人,教授,博士生导师,主要研究方向:机械可靠性与动力学第10期 王 一等:基于齿面摩擦的斜齿轮传动动力学特性分析 232斜齿轮啮合副动力学模型2.1模型的建立将斜齿轮副简化为 12自由度啮合模型。该模型由两个斜齿轮 、,组成,其中齿轮 i为主动轮,齿轮
.

为从动轮,每个齿轮各有6个自由度,坐标如图 1所示。同时规定主动轮顺时针旋转为正,逆时针旋转为负,激励方式主要有静态传递误差和摩擦力。

图 1斜齿轮副三维动力学模型Fig.!Three-Dimensional Dynamic Model该模型中的齿轮简化为一对刚性圆盘 ,中心距为 a,轴承支撑简化为弹簧。斜齿轮的重合度较大,同一时刻参与啮合的接触对众多。其中每条接触线的啮合刚度均呈一定分布,假设压为正,拉为负,则齿轮的每条接触线的啮合作用即可离散成一组弹簧单元来模拟,并最终转化为压簧k 与扭簧k 并联的形式。b与C分别为等效后的弹簧作用点到齿轮 i质心的 向距离与实际距离。

考虑到每对齿的啮合刚度在齿轮不断转动的过程中都是不断变化的,首先计算出接触线处于某一系列位置时的接触刚度,然后对计算结果进行拟合,得到接触压力角与单齿接触刚度变化关系式,最后作为模型中弹簧单元的时变刚度加以分析使用。弹簧的方向可由螺旋角 确定,位于轮齿的啮合线方向,主动轮左旋时JB>0,主动轮右旋时卢<0。定义主动轮i的 轴绕逆时针方向旋转到齿轮中心线的夹角为方位角,用于描述齿轮之间的相对位置;定义主动轮的Y轴正方向与啮合平面的夹角为 ,同时规定逆时针为正,顺时针为负。

= - -~p
+
q

+c~


耵 c l,l i 叮r主动轮顺时针式中: 厂 啮合角。

同时,引入 sgn函数。

f1主动轮逆时针 ,、sgn={ 、 ? .一 ? z, 【
一 1主动轮顺时针考虑齿轮静态传递误差:e (£)=e sin(Nito t) (3)式中: 轮齿数;tor齿轮转速。

另外,单对轮齿间的啮合力可表示为:N=k +J} n (4)式中: 与, —两齿轮的相对线位移与角位移:= co日Bsi cos/3sin~b+yl costsinq,— coqBbos lsgn‘sinfl-zjsgn。sinfl+(csi sin( + )一bco~co~)+(sgn‘sirI (Ⅱ。sins—sgn·c·sin(.r + ))+bcosflcos妒)+(-csinflcos( + )-bcos~sin0)+(-sgn。sin~(a‘COSf—sgn·c·c0s(r ))+bcosBsin~b)+sgn’rb ’co +~jsgn‘rhjcosfl (5)r

:sgn.arctan ritan~i+(B/2-b)tanfl
一 1 (6)= (一ex + )cos +(一 + )sin~b (7)设齿轮 i受到的扭矩为 ,齿轮 受到的扭矩为 ,设齿轮间产生的滑动摩擦力大小为 ,在考虑摩擦力,静态传递误差,轮齿啮合力以及阻尼作用的影响下,可列出该模型的动力学方程,下面为由该模型整理成的矩阵形式:M4X +C X +K X F +Fi )式中: _啊质量矩阵;c 一阻尼矩阵,采用了比例阻尼的形式;、 广载荷向量。

X =Ix ,Yi, , , ,x, , , , ] (9)M 4=diag[ml,mt,mi,l ,lI,j ,mi,m|,mi,li,|i,j\ 010]= (11)F=[o,0,0,0,0,sgn‘ ,0,0,0,0,0,sgn’ 】 (12)一 a
m e (t) (13)式中:K厂考 虑了摩擦力影响的刚度矩阵,可表示为下列形式 :一 ( + ) Ot( + ) (14)- cosflsin~bcos8cos0sgn’si.13csinflsin(ri+~)一bcosflcos一 csi~cos(r, )-bcosflsin~bsgn。 fcosZcosflsind/- cosflcos~b— sgn‘sin8sgn·si (。·sint~-sgn·c·sin(~ )+bcos~cos~,)一 sgn·si a·COSO~一sgn·c·cos(r~ )+bcosflsin~b)sgn‘4~cosfl(15)=l0 0一co -sin~b 0 0 0 0 co sin~b 0 0 J (16)向量as为考虑到齿轮摩擦力影响的修定向量,将在后文有所论述。

2.2摩擦的计算斜齿轮的啮合区域等效示意图,如图2所示。两齿轮 的啮合线AB与其各自齿顶圆相交于 C,D两点,CD之间的部分即构成了轮齿的啮合区域。假设该对齿轮的重合度为 ,那么在某一 时刻可能同时有 或[ ](表示大于或等于 的最小整数)条接机械设计与制造No.1OOct.2013触线在啮合区域内移动,移动速度为主动轮转速与基圆半径的乘积。为简化分析过程,首先探讨一条接触线在啮合区域内的变化情况。

图2斜齿轮啮合示意Fig.2 Illustration of Helical Gear Meshing⑥图3啮合区域划分Fig.3 Partition of the Meshing Area啮合区域的具体形状,如图3所示。各部分尺寸已在图中标明且均可根据齿轮参数求出。其中占为齿轮齿宽,/3为基圆上的螺旋角 厂为啮合区域总宽度 与. 分别为啮合区左边界与右边界到节线的距离。事实上,根据Btanfl与

厂, 间的关系,轮齿接触线与摩擦力在一个啮合周期内的变化可分为五种不同的情况予以分析。以本图中的齿轮为例,其展示了fi>Btaq8且fi>Btanl3时的情况。可利用接触线长度变化节点将啮合区划分为六部分。

从0时刻开始,某一对轮齿的接触线 相继进入接触区①②,,J长度逐渐增大并保持稳定,这一期间整条接触线 均处于节线左侧,直到 ,J某一端点运动到节线位置进入接触区③。根据齿面的相对运动速度情况 ,若处于节线左侧的接触线对主动轮作用的摩擦力方向规定为正向,则右侧摩擦力为负向。因此,可将 以节线为界划分为两部分 £ 以及 L ,它们分别处于摩擦力正向和负向区域,齿轮受到的总摩擦力大小为两部分线段产生的摩擦力大小之差。随后, 与 £:的长度分别经历了逐渐缩小为 0与逐渐增大的过程,同时 保持不变。接着, 进入接触区④⑤,全部处于节线右侧,长度由不变转为逐渐缩小至 0。为保证轮齿接触线变化的周期性,由于 全部运动出啮合区⑤时,仍将可能运动一段距离后才能有新的接触线进入接触区,故补充定义此部分为接触区⑥,并规定此时 ,』长度为 0。其他情况下轮齿接触线的变化过程与此类似,兹不赘述。因此,若将摩擦系数 考虑为常数,将齿轮接触线沿齿宽方向上的压力分布简化为均布,根据库伦摩擦定理,可得:( f “ n )(A。一A ) (17)( 2 n )( .Z。一A )co (18)= ( f +j} n )(Al Zl—A2 )sin~h (19)( z n )(A。W A2Wf2) (20)式中:Ai,A厂接触线处于节线两侧各部分 或 与接触线总长度之比; ,zl厂各部分线段中点的z坐标值;W 、W广各线段中点与齿轮z轴的距离。于是,考虑到齿轮摩擦力影响的修定向量 嘶可以写为:‘(Al—A2)·cos4,(Al—A2)。

sir 0(A Z1一A2 Z2)·sin~b(AlZl—A2 Z2)·co8lA1W 1-A2W 2 一(A1一A2)。cos~h 一(Al—A2)·sin~h 0 一(A1Zi—A2 )·cos一 (A1 Z1一A2 )‘sinO A1 n一 2 ,2(21)若 as为零向量,则表示摩擦作用不计。事实上,在齿轮实际的啮合过程中,同时在啮合区域内移动的接触线数目为 或[ ],并且相邻两条接触线的间距是基圆节距,时间相差一个啮合周期,为一定值。故在t时刻,其它接触线的产生的摩擦力可计作:F(t)=F(mod(t,T)+(n一1)T) (22)这时,只要同时对其他各对轮齿的摩擦力作用求和,便可建立多对轮齿同时啮合的综合刚度矩阵。

综上,该模型是基于以下几点假定的基础上建立完成的:(1)只考虑线内啮合的情况,即接触线只在啮合平面内的移动。

(2)每条接触线上的接触载荷为均匀分布。

(3)参照文献m,将摩擦系数取为常数0.1。

3振动响应分析表 1齿轮主要啮合参数Tab 1 Main Parameters of the Helical Gears齿轮 齿数 分度圆直径 d(mm)方位角 嘞(。)螺旋角卢(。)转速to(Hz)选取了表 1所示的齿轮为研究对象,根据上述方法建立了斜齿轮动力学模型。计算得到了齿轮副单齿啮合刚度曲线,并拟合出时变的啮合刚度 k(z)l:2计算轮齿处于不同位置时相应的k和 k 值,进而得到刚度矩阵。

啮合周期数图4单齿接触线长度变化Fig.4 Variation of single contact lineNo.1OOct.2013 机械设计与制造在 5个啮合周期内单齿啮合线的长度由线性增长,如图4所示。保持稳定到线性减小的过程,其最大值 21.5lmm与理论分析值相符。5个啮合周期中齿轮啮合面内接触线总长度在62.05mm与 62.08ram间持续波动,如图 5所示。这种波动会由于齿轮重合度的减小而变得愈加激烈,是齿轮啮合摩擦力变化的重要因素之一。利用 Newmark法对动力学模型进行求解,可以得到主动轮在转速为 1000r/min考虑静态传递误差的空载状态下,该对齿轮位移的变化,如图6所示。

、薹摇鲻0 1 2 3 4 5啮合周期数图5接触线总长度变化Fig.5 Variation of all contact lines8墨。4二×10{. LB: tx=06:V V VV VV V VV Y Y~104 啮合周期数×10-8I三 I: ? fvvVyvvyvyvyvyvy 董 登
×10盛 6 . .

×10 2
啮合 倍×10{国-#=o, 6 .

1 2 3 4 5×10 啮合频率倍数x 10● ’ ’ I-t,=0.1●●●n i .

45 5O 55 6O 1 2 3 4 5啮合周期数 啮合频率倍数图6齿轮 i位移响应及频谱分析Fig.6 Dynamic Response of the Driving Gear通过对比图 1中齿轮i的位移情况可以发现,在考虑摩擦力的激励作用情况下,齿轮沿 3个坐标轴方向直线振动的振幅均呈现增大的趋势。在摩擦力的影响下, 与z方向的位移振幅变化较小,而Y轴方向(与啮合线相垂直)上位移幅值远大于没有摩擦作用时的数值。这是由于在不考虑摩擦力时,轮齿间的作用力仅有沿啮合线方向的动态啮合力,对Y向的位移影响不大,而考虑摩擦力后,其方向恰恰与 Y轴平行,在此方向有很强的激励作用。从频域分析中可以看出,摩擦力在 , 方向上的影响主要集中于1倍啮合频率附近,2阶频率影响较小,而3阶以上的频段几乎没有影响。在y方向上,前 5阶频率均有显著影响。这一结果与文献吠 体一致。另外,从动轮 与主动轮 i的情况相类似。

4结论建立了 12自由度考虑齿面摩擦的斜齿轮系统动力学模型,取一斜齿轮对为研究对象进行响应求解,对比了在有无摩擦力两种工况下的位移响应,得到以下结论:(1)建立的模型为 12自由度通用动力学模型,建立过程中对多种参数的进行了考虑,如载荷、方位角、螺旋角以及主动轮转向等因素,可以全面分析主动轮从动轮的三个方向移动及转动位移、速度及加速度响应。

(2)该模型采用了真实的时变啮合刚度,在使用常值的摩擦因子以及将齿面啮合力沿齿宽方向的啮合力简化为均布载荷情况下 ,考虑了齿轮啮合摩擦力的作用,较普通动力学模型计算得到的齿轮响应结果更为真实精确。

(3)对比分析了齿轮在有摩擦及无摩擦状况下的位移响应结果,结果表明摩擦对垂直于齿轮啮合线方向的振动影响显著,进而影响传动系统的平稳性,因此在设计摩擦效应不可忽略的齿轮系统时应特别注意。

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