新型3-CPS／RPPS机构的有限元建模及模态分析

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第 10期2013年 10月机械 设 计 与 制造Machinery Design & Manufacture 93新型3-CPS／RPPS机构的有限元建模及模态分析杨德华 ，一，Lorenzo Zago ，李 徽 ， ，程 刚(1．中国科学院 国家天文台南京天文光学技术研究所，江苏 南京 210042；2．中国科学院 天文光学技术重点实验室，江苏 南京210042；3．Institute of Industrial Automation，School of Engineering and Business of Canton Vaud，University of Applied Sciences ofWestern Switzerland，CH-1401 Yverdon-les-Bains，Switzerland；4．中国科学院 研究生院，北京 100049；5．中国矿业大学 机电工程学院，江苏 徐州 221008)摘 要：对新型3-CPS／RPPS型六自由度机构进行有限元建模和模态分析，系统介绍了采用有限元法进行多自由度机构建模和进行模态分析的过程。介绍了新型3-CPS／RPPS机构的机构原理；探讨了采用有限元法进行多自由度机构相关机构分析的可行性；详细介绍了采用基于静凝聚理论的自由度释放法建立多自由度机构铰链的过程，并修改开源有限元程序CALFEM的3维梁单元实现了铰链的功能；基于MATLAB和CALFEM，对3-CPS／RPPS机构进行简化，建立了基于三维梁单元的有限元模型，进行了模态分析，给出了最低8阶固有频率和前4阶振型。最后探讨了有限元法在多自由度机构或并联机器人机 构分析领域的应用前景。

关键词：有限元法；有限元建模；模态分析；多自由度机构 ；并联机器人；机构分析中图分类号：THI6 文献标识码：A 文章编号：1001—3997(2013)10—0093—04Finite Element Modeling and ModaI Analysis of a NoveI 3一CPS／RPPS MechanismYANG De—hua ．一，Lorenzo Zago’，LI Hui ，。”，CHENG Gang(1．National Astronomical Observatories／Nanjing Institute of Astronomical Optics& Technology。Chinese Academy ofSciences，Jiangsu Naming 210042。China；2．Key Laboratory of Astronomical Optics&Technology，Naming Institute ofAstronomical Optics&Technology，Chinese Academy of Sciences，Jiangsu Nanjing 210042，China；3．Institute of IndustrialAutomation，School of Engineering and Business of Canton Vaud，University of Applied Sciences of Western Switzerland，CH-1401 Yverdon-les-Bains，Switzerland；4．Graduate University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China；5．School of Mechanical and Electrical Engineering，China University of Mining& Technology，Jiangsu Xuzhou 221008，China)Abstract：A finite element modez ∞ establishedfor a novel 3-CPS／RPPS mechanism and a consequent modal analysis W08carried out．Both the finite eleme nt modeling method and the modal “ alyzing technique were covered n detail formechanisms with multi—degrees offreedom (DOF)．F／rst，the mechanical principle of the novel 3-CPS／RPPS type 6-DOFmechanism was described．Feasibility study Was then conductedfor applyingfinite element method (FEM)to analyze multi—DOF mechanisms．Based on the static condensation theory，member end releasing technique Was elaboratedfor simulation ofhinges in a muhi-DOF mechanism A nd the technique Was hence implemented to have realized hinges by adap ting the three—dimensional(3D)beam element in the MATLAB-based open-source FEM package CALFEM．Afterwards，with CALFEM andMATLAB，a 3D-beam -element-basedfinite element model Was builtfor the 3-CPS／RPPS mechanism andfurther usedfor thenext modal analysis，where the 8 lowest eigenfrequencies and thefirst 4 corresponding modes were given．The perspective ofusingFEMtopreformanalysis ofmulti—DOFmechanisms／parallelmanipulators Was commentedatthe end.

Key Words：Finite Element Method；Finite Element Modeling；Modal Analysis；M ulti-DOF Mechanism；ParallelManipulator；M echanical Analys~1引言多自由度机构和并联机器人在工业和科研中具有广泛应用，其动态特陛对其工作性能有重要意义，因此，对机构进行刚度设计和分析是机构设计和测试的必要内容f1-21。传统上，多采用基于分析力学和刚体动力学等力学分析方法，以及采用实验实测的方法来了解机构的模态特性。作为复杂的机电系统，常用的力学来稿日期：2012—12—15基金项目：国家自然科学基金(10973025)；江苏省外专引智项目($2010320093)作者简介：杨德华，(1973一)，安徽当涂人，博士，研究员，主要研究方向：天文望远镜结构设计和分析，并联机构设计，精密机械设计和测量94 杨德华等：新型3-CPS／RPPS机构的有限元建模及模态分析 第l0期分析方法实施前均需对系统进行抽象，并建立理论模型。这种理论方法对于系统的动态特性细节难以全面了解；而基于实验实测的模态分析可获得准确反映机构实际动态特性的参数，从而为了解机构的动态特性、识别其动力学参数以及设计相应控制系统提供了有效的技术途径 。近年来，广泛用于机械结构分析的数值计算方法—有限元法一已引人多自由度机构的分析领域_l_ 。当将一个多自由度机构视为一个弹l生力学问题，则有限元法在其机构分析中即是自然的应用161。对一种新型 3-CPS／RPPS机构进行了有限元建模和模态分析 。采用基于MATLAB的开源有限元程序 CALFEM，对 3-CPS／RPPS机构进行简化 ，建立了基于 3维梁单元的有限元模型18，91。其中，采用静凝聚技术对 3维梁单元进行相关自由度释放，以模拟铰链l】Ol。通过模态分析，给出了机构的最低 8阶固有频率和前4阶振型，初步了解了该 3-CPS／RPPS机构的刚度和模态特性，为具体机构设计提供了依据。

2新型3一CPS／RPPS机构简介一 种新型 3-CPS／RPPS机构原理图，如图 1所示。在等边三角形底座 A123(机架)的j个角上各设置一个与之垂直的圆柱副hi(扛1，2，3)；在这三个垂直圆柱副的输出构件末端各固联一个水平的移动副 f (i=1，2，3)，并按相同方向旋转对称地相对与底座三角的三边成一定角度；最后在每个移动副的输出构件末端各设置一个球铰，用来联接上平台△l 2'3 。这样就构成了一个新型的摆臂式的 3-CPS／RPPS型六自由度机构，其A由度数可有下式三 核定 “ ： 6(n 1)+ (1)I=l式中：卜 自由度数；n一机构中构件数； 一运动副数i —第 i个运动副的自由度数。在此机构中，根据上文描述，构件数 n=1+3+3+1=8，g=3+3+3=9，∑ (2+1+3)x3=l8，故F=6x(8-9—1)+18=6，即机构具有 6个 自由度。该新型机构的一个变种的机构原理图，如图 2所示。

12图 1新型 3-CPS／RPPS机构原理图Fig．1 Schematic Structure of the Novel 3-CPS／RPPS Hexapod图2新型机构的变种机构的原理图Fig．2 An Alternate Configuration of the Novel Hexapod从机构原理上讲，本机构是基于串并结合的概念构造的，即由三支直角串联的支链多自由度而成。这一构型使本机构获得了部分 自由度解耦的特性：在小运动范围内，动平台绕 轴和绕 y轴的角位移及沿 z轴的线位移主要由3个垂直的直线位移驱动器确定；其沿 轴和 l，轴的线位移即绕 Z轴的自转角位移主要由3个水平的直线位移驱动器确定。本机构的构型及其特点使之特别适用于低速小负载的场合，可用于需实现六个自由度的运动和定位功能的机器人执行机构或需要主动调整姿态的物体的支撑机构。事实上，正是基于这样的应用要求，才研究提出了本新型3-CPS／RPPS型的多自由度机构 。

3有限元法与机构分析有限元法是广泛应用于机械结构的工程分析和优化设计中的数值计算方法，除了用于解决基本的静力学小变形弹性力学问题，有限元法及常用软件已能够并广泛用于解决动力学、大变形几何非线性、材料非线性以及接触非线性等问题l21。基于结构有限元法获得的机械结构的基本平衡方程是基于系统刚度的力平衡方程：[K]{“ {_厂} (2)式中：[ ]一系统刚度矩阵；{ }一节点位移矢量；{
．
厂}一载荷矢量 ；根据达朗伯原理建立的其动力学基本方程则更包含了惯性力和阻尼力：[ ]{ }+[C]{ }+[K]{“}=if} (3)式中：[ ]一系统质量矩阵；[c卜一系统阻尼矩阵；t五}和{ }-Jn速度矢量和速度矢量，载荷，1也可以是时变的。在处理大变形几何非线性问题时，[ ]在计算过程中是变化的，[ ]=[(t u})]，即[ ]是位移{“}的函数，因此，有限元软件一般采用 Newton—Raphson线性化迭代方法来求解I 。

可见，在有限元法中，被分析的对象的全面特性：刚度、质量和阻尼的分布，以及载荷和初始运动状态均可在其有限元模型中得到了描述和引用。从而，基于有限元法对多 自由度机构进行离散和建模，可以包含机构的所有特性 ，这是其它数学和力学分析仿真方法所不能胜任的。事实上，我们可以进一步简单地把多 自由度机构视为一个固体力学或结构力学问题 ，因此，多自由度机构的分析问题，本质上可视为包含有大变形几何非线性乃至接触非线性的机械结构力学有限元分析问题 51。

4 3一CPS／RPPS机构有限元建模在有限元法中，在杆梁系统中实现铰链功能的方法主要有两种，即，端点自由度释放法和约束方程法。端点自由度释放法即是采用静凝聚技术来释放由铰链连接的相关梁单元的端点对应转动 自由度；约束方程法则是将在铰链处具有重节点的单元在重节点处通过定义重节点具有相同的其它自由度的方法。采用端点自由度释放法来实现机构中的铰链I1oI。

我们采用三维梁单元建立机构的有限元模型。三维梁单元的单元刚度矩阵Ke为 1 2x12阶的方阵，在单元坐标系下单元受力平衡方程为：{，}=【 ]+{ }+{ } (4)No．10Oct．2013 机械设计与制造 95式中：{， }。 广单元力矢量；{ —单元位移矢量；{ —单元载荷矢量。当需要某个自由度，即是对应 自由度上的力． 为0，则由(4)式： =∑尼 “； e (5)一 n一1 ， 12 ，令 =o，则对应位移为：u：=∑ u；+∑+ u；+r： (6)k “ k将ue 代人其它方程进行消元，即自由度unq：被释放，则单元刚度矩阵中其它元素的值根据下式计算：+ ： ： (7)k将 所对应的行和列置零，以保持单元刚度矩阵 的阶不变，从而便于组装总体刚度矩阵。上述自由度释放过程可在单元矩阵层次上重复实施，即可实现多个自由度的释放。

基于 MATLAB和开源有限元程序 CALFEM，采用三维梁单元，我们建立了本 3-CPS／RPPS机构的简化的有限元模型，如图 3所示。参见图 1中的标识，各支链的初始长度分别为h,=120 mm，／,=270．7 mm( =1，2，3)。在模型中，我们采用上述静凝聚算法，改进了CALFEM中三维梁单元的程序，释放了有关梁单元的端点自由度，实现了柱铰和球铰的功能 -0 51。我们还采用有限元软件ANSYS建立了相同的简化模型，验证了基于 CALFEM建立的模型的正确性『l41。

0．20．15H 0．1：：：：!：： ＼ ； -?·_一_·_ ‘^9
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代入(8)式，有：[K]{u(t)}一 [M]t U}_0 (10)即转化为系统刚度矩阵[K]关于系统质量矩阵[ ]的广义特征值问题，可以采用现有广义特征值算法和软件进行求解。模态分析是了解研究和控制对象的基本动态特性一固有频率和振型一的基本手段，对于对象的控制至关重要。最低 8阶模态频率以及动平台中心点的归一化平动位移，如表 1所示。采用 Matlab和CALFEM计算的本机构前四阶固有频率和振型，如图4所示。最低频率22．9Hz已很好地满足本机构 目前的应用要求。

表 1模态分析结果 一最低 8阶频率和动平台中心点的归一化位移Tab．1 Results of Model Analysis the 8 LowestEigenfrequencies and the NormalizedDisplacements of the Mobile Platform Center司0．2≮0．2(a)Eigenmode nr 21 25．0Hz(b)5 2 5 1 5 O 5 1 5 2 5 叭呱。 圳
96 机械 设 计 与制 造No．10Oct．20l3O000Eigenmode nr 3f=27 2Hz： 。 27(e)Eigenmode nr 4f=39．5Hz： ． 272(d)图4前四阶固有频率和振型Fig．4 The Four Lowest Modes6结论采用 MATLAB和开源有限元程序 CALFEM对新型 3-CPS／RPPS型六 自由度机构进行了有限元建模和模态分析，初步了解了机构的动力学特性，为机构设计提供了依据。文中采用基于梁单元端点 自由度释放法模拟铰链的技术，进行有限元编程，建立了 3-CPS／RPPS机构的正确的有限元模型，并完成了模态分析。

验证了采用有限元法进行机构模态分析的可行性和有效性。推而广之，当将多自由度机构或并联机器人直接视为一个固体力学或结构力学的分析对象时，多 自由度机构的分析问题，如机构位置分析和运动学及动力学分析等，本质上可视为包含有大变形几何非线性乃至接触非线性的机械结构力学有限元分析问题 ，从而，有限元法在多自由度机构分析中的应用将更为广泛，将是进行机构分析的方便有效的工具。并且，相比于传统分析方法，从理论背景讲，有限元法是根本不同的。机械结构有限元方法本质上是基于弹性力学理论，通过离散分析对象，建立系统刚度矩阵和质量矩阵等机械特l生而建立的数值分析方法。对多自由度机构采用适当的有限元建模，可获得丰富的细节输出信息。可见，基于有限元法的多自由度机构的分析方法相对于传统分析方法而言具有显著的优越陛，具有明显的应用前景。

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