基于分形模型的多维空间降维研究

随着机器人的发展和广泛应用，机器人的路径规划就越来越重要，机器人在空间的路径寻优是应用机器人的基矗国内外许多学者用 自由空间，人工势场I 1和栅格等方法对机器人路径规划进行研究。栅格法作为-个简单有效的方法受到广泛关注，在文献叫 就是在栅格算法的基础上对机器人进行路径规划的。栅格法是对平面移动机器人运动环境的-个抽象模型 它把机器人的工作空间分割成规则而均匀的栅格，栅格分为障碍栅格和可行栅格，在机器 移动的过程中，栅格的尺寸和位置不变 。对于栅格尺寸，也就是机器人的步长已经开始做详细研究[5-6]。栅格法中障碍栅格的多少和位置是影响路径规划的关键。对于这个抽象模型中的障碍栅格，如果以障碍物与地面的接触的边缘作为障碍与可行位置的分界，由于现实中的障碍物并不都是规则的、垂直的，所以移动机器人在抽象模型中的规划路径不能保证在机器人工作空间中与障碍物不发生碰撞。如果以障碍物在移动机器人运动平面的垂直方向的最外围端点作为障碍与可行的边缘，这样就极大的减小了机器人的可到达运动范围。对于移动机器人栅格环境模型建立中存在的问题，用分形算法，予以阐述并解决。分形算法证明三维空间与经投影变换三维转化的二维平面是等价的，同时解决了障碍栅格的大小与位置的问题，使得抽象模型中障碍栅格既满足了移动机器人运动空间的可行陛，又解决了空间中的浪费问题。从而有效的解决了栅格模型建立中障碍栅格确定方面的不足之处。

2分形几何与分形维数分维和分形几何的设想，是由曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在1973年提出的。分形的原意是分数的、不规则的、支离破碎的171，它是具有自相似特性的图形、现象或者物理过程等。Mandelbrot曾给出分形的两个定义：(1)如果-个集合在欧式空间中的豪斯多夫维数 严格大于拓扑维数 D ，则该集合为分形集简称分形(-般来说 不是整数而是分数)；(2)组成部分以某种方式与整体相似的形，称为分形[81。分形几何图形是通过对其自身进行成比例缩小复制而构成的，局部与整体具有相似性。自相似、无标度与自仿射是分形几何的三大基本特征。无标度性是指研究对象无法用空间中的长度、体积、时间或者时间中的时、分、秒等来描述。

Mandelbrot对于海岸线长度问题的重新思考维数的概念，维数可以是分数的，即分数维数或分形维数，简称分维。-些不规则的几何图形，用非整数维数的尺度去度量它，才能反映其不规则性和复杂程度 。欧式几何维数与分形维数之间的关系：动态的观察点来稿日期：2012-05-17基金项目：辽宁侍育厅高等学衅学研究，A类公关计划项 目(2004D091)作者简介：杨贺娟，(1988-)，女，辽宁，在读硕士研究生，主要研究方向：机械电子自动化；马 骥，(1953-)，男，辽宁，教授，硕士生导师，主要研究方向：机械故障诊断与预测、机械电子自动化、电子信息系统等198 杨贺娟等：基于分形模型的多维空间降维研究 第3期线面之间的关系，-条线由多点集合而成，从点变线的过程中，所成图形的维数是介于(0～1)之间分数维数。平面的集合构成立体空图形，也有介于(2-3)之间的分数维数。分形几何中用于计算分形维数的方法有很多，Hausdorf维数、自相似维数、盒计数维数、关联维数等101。Hausdorf维数是-种能够精确测量复杂集维数的方法。当-条直线以-种复杂的方式来回扭曲以填充平面时，它的Hausdorf维数就会增加从而大于1，并逐渐接近2。同样-个平面在三维空间中来回折叠，它的hausdorf维数逐渐接近3。

3空间与平面的转换根据Hausdorff维数转换的说明，将移动机器人工作做空间中，机器人行走的平面看成以 为列变量、以 为行变量的二维平面，即XOZ；对其进行分割处理；将分区中的平面翻转到平行于yoz平面并且包含对应轴的平面中，即-个平面在三维空间中折叠，如图 1所示。

图1平面分割折叠Fig.1 Plane Split Folding经过这样的相似变换后，即可以以-种体的观念来操作。这个体具有以下的特点：(1)底可以认为是障碍物与平面接触的形状；(2)切分时产生的边界不同，因此它的各顶点不属于同-平面，而是根据切分规则产生的曲面；(3)各平行的纵面间的距离为- 个-阶无穷小 △。

可以认为经过这样的操作之后得到-个三维空间中不规则的体。这样的规则可以证明，设厂( )0f(x)dxdy，G( )g( )d 出，且 )G( )显然 x)和G( )的几何意义不同， )是二维空间中图形的面积，C(x)是三维空间中的体积，但是在代数关系上数值是相等的。所以4，( ) dy： x)dxdydz，即我们所求的由平面到体积的推导公式。

在不考虑几何意义时，三维空间中的体与二维平面是等价的。也就是移动机器人工作空间中的障碍物可以等效的转换到机器人运动的抽象模型中的障碍面。从而得到的抽象模型中障碍栅格是比较精确的，改进了栅格模型建立的缺点。

在栅格模型建立之前，要确定栅格的尺寸。栅格的尺寸与机器人在运动平面的面积及其步长-致。对于移动机器人特别是多自由度的机器人，从工作空间转换到抽象模型，并以此作为机器人在运动平面所占的面积。所得面积中最长的线段与机器人的步长相比较，较大者作为栅格的尺寸。抽象模型建立需要的栅格的尺寸，障碍面积与位置都已经确定。栅格环境模型中，障碍栅格的数量与位置，都可以确定。并保证了在栅格环境模型中得到的机器人规划的路径，在机器人工作空间中路径仍是可行的。

4结论通过分形算法，可以将三维空间转化成二维平面，并由此确定障碍栅格的数量和位置及环境模型中的栅格尺寸，使得基于栅格法的路径规划更为准确可靠。保证了环境模型中的路径规划与工作空间中路径规划的-致性。