采用正交函数优化三维自由曲面

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CAD模型重建是将三维光学扫描或三坐标测量采集的离散数据转换为连续曲面，再生成表征实物对象的几何模型。曲面重建是逆向工程中最重要的环节 ]，-般先由三维扫描i贝4量仪等设备根据被测曲面的特征进行扫描，得到大量的离散点云数据，通过适当的算法进行曲面拟合，实现曲面重构。

曲面反求工程 中，常见的曲面模型包括三角Bezier曲面、B样条曲面和 NURBS曲面等 4。 三角Bezier曲面具有拟合灵活、重建快捷等特点，在三维散乱点集的曲面拟合中得到广泛应用，但此种方法所构造的三角面片数量庞大，且生成的曲面模型不符合曲8面重构标准，与通用三维软件进行数据交换时会丢失局部信息。B样条曲面重构方法继承了三角Bezier曲面拟合的适应性强、方法灵活等优点，且解决了曲面局部拟合和标准曲面的描述问题，其主要缺点是在描述构建的曲面时，存在精度差和几何形状定义多元性等问题，难以形成确定的曲面描述方法 。SUN Y W等人 把光学扫描得到的离散数据进行区域划分和插值处理，再对插值点进行曲线拟合，生成 NURBS曲面。由于 NURBS曲面是工业产品外形描述的标准，所以此拟合方法具有解算稳定、兼容性好和曲面光顺等特性。但该方法所拟合的点是插值运算获取的，不是直接拟合测量数据，从而带来曲面与点云数据之间的偏差。MA W Y等人7 提出用最小二乘法拟合曲国家自然科学基金项目(51065021)；国家星火计划项 目(2012GA740103)张玉香，等 ：采用正交函数优化三维 自由曲面 2013年第 7期面，该方法是以曲线拟合为基础，在拟合曲面前，以数据点的行或列为基准进行曲线拟合。在进行最小二乘曲面拟合时，为了减小曲面拟合误差，通常采用增加控制点数 目的方法，从而引起重建曲面光顺特性变差 J。且采用最/b-乘法重建曲面时，还存在以下问题 ：-是三维点云数目庞大，求解运算过程复杂，且存在数据上限；二是用最小二乘法求解矩阵时，迭代运算次数多，甚至出现矩阵求解不收敛的情况。

为克服上述曲面重建算法缺陷，本文提出基于正交函数的自由曲面拟合优化算法，此方法是基于最小二乘法的理论创新，其目的是使得曲面拟合的控制点个数与重构曲面的曲面-点云偏差和曲面光顺特性达到最优匹配；在满足自由曲面光顺特性的要求下，曲面与原始点云之间的偏差不受影响。

1 基于正交函数的曲面拟合1.1 算法描述曲面(如 Bezier、NURBS曲面)的数学表征涉及到相互垂直的两个方向 、 ，整个曲面是两个方向上基函数的-个泛函，两个基函数用两方向的坐标 、 的函数表示。曲面的参数方程含有 、 两个变量，相应的曲面也用 U、V两个方向的参数曲线来表达。

采用正交函数的曲面优化实现过程如下：首先通过三维测量获取离散数据，其中第 i个离散点的三维坐标为 ，Y ，z (i0，1，，m)，根据距离最小原则进行点集取舍，将三维点云数据进行分区，为每片分区数据内插自由曲面，且此曲面与整体重建曲面变化趋势-致，但不通过已知的数据点，用正交函数进行最小二乘来拟合曲面，根据给定数据 及权因子to( )来 定义关 于离散 点集 的正交 多项式 ，( i)：，正交多项式的次数 0，1，，/7，。

正交函数曲面拟合使得重建曲面与离散点趋向- 致，且因曲面不通过位置不规则的离散数据点，又使得曲面具有较好的光顺特征。其算法实质是把积分运算转换为求和运算，然后对点集进行正交化处理获取多项式，再以多项式为运算因子求解正交函数拟合曲线，最后将拟合曲线转换为 NURBS曲面，解决了采用-般多项式重建曲面带来的运算不收敛问题。

1.2 建立拟合曲线方程在 NURBS曲面重建过程 中，采用逐步逼近的方法拟合离散数据点，并经过多次迭代运算获取组成曲线的控制顶点。在三维扫描获取的点云数据中，以点集 Ii0，1，，m上的正交多项式 ( )I. 0，1，，n作为基函数组， ( )为 次多项式，∞( )(i0，l，，m)为离散点对应的权因子，且满足以下条件：(i 三 0 LA7k、 0，1，， n≤ m (1)式中：A为离散点 ，Y ， 对应的带有权因子的正交多项式的平方和，设 A 为矩阵A的转置矩阵，且 A是对角阵，满足如下关系：ATA( 0， 0)( 1， 1) (2)L ( ， )j法方程 A AC A Y的解为： [ y )]/[ m X，i0，1，，rt (3)式中：y为三维点云数据的纵坐标组成的-维矩阵；Y 为 l，的第i个元素；C为法方程的解向量；cj 为解向量的第个元素。

在离散点集 上构造正交多项式 ( )，采用以下递推方法：r 0( )17 l( )( i- 0) 0( )竹( )( i- --)竹-，( )- --竹- ( )0，1，，n (4)f [∑ 竹2( )]/[∑ ( )] m 。 。

[∑ ( )]/[∑ ( )] 0，1，，rt (5)用正交多项式 ( )的线性组合进行最小二乘曲线拟合，只要根据式 (6)计算 出系数 的估计值，然后逐步把 ( )进行累加，最后就可得到所求曲面的 n次多项式拟合曲线 S( )。

∑to(x )竹( ) u----- 0，1，， (6)∑ ( ) ( )式中 )为离散点对应的分布曲线函数。