阿基米德算法对欧式木窗数控加工的精度补偿

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Archimedes Algorithm in European n/Liu Xiangdong，YangChunmei，Liu Dali(Northeast Forestry University，Harbin 150040，P.R.China)//Journal of Northeast Forestry Univer。

sitV.-2013.41(6).-146～148.156We introduced the polar coordinate concept and method of the dark straight tenon in European-style wooden window ofspecial CNC machine too1.By the polar coordinates，we designed a dark straight tenon European.style wooden window ofspecial CNC machine tool with rotating and moving two-axis feed mode.We developed the linear feed processing mode inthe curve surface processing。

Keywords European ate：Spiral of Archimedes当前木工机械的加工领域里。曲线/曲面是可以采用直线法满足加工需要.但是对于立体制品是不能采用直线法加工∩随着经济的发展，家具工业的发展十分迅速，特别是对曲线轮廓的需求，当前急需开发研制新型的经济型专用类加工数控机床。因此产生了对于欧式木窗设计专用数控机床的设计思路，来解决家具行业中关于曲线/曲面的加工。

为了解决当前的问题本文做了-种新型设计理念和方法即极坐标”。这不仅可以使专用数控机床具有普通数控机床高柔韧性高生产率的特点.而且在极坐标的形式下更加便利的加工 回转曲线形曲面。

1 暗直榫欧式木窗专用数控机床的基本原理所设计的极坐标专用机床具有-个回转轴(C轴)和-个移动轴( 轴)，回转轴通过参数的极角(0角)的改变进行回转进给，移动轴中参数极径(P位移)的改变进行主传动系统的径向进给，从而实现极坐标下回转与移动两轴联动的进给模式，突破了加工曲线面应用直线进给的加工模式l1]。并且，在极坐标系运动的圆周进给运动坐标轴(c向)和径向进给运动坐标轴( 向)的联动轨迹是平面-I)黑龙江省发展高新技术产业专项资金项目(TA09Q704)。

第-作者简介：刘向东 ，男，1961年 1月生，东北林业大学理学院，副教授。

通信作者：杨春梅，东北林业大学机电工程学院，副教授。E-mail：ycmnefu### 126.con。

段微小非圆圆弧，理论证明是-段微孝基米德螺线I2]。而直角坐标系下三坐标轴的直线进给联动轨迹是空间-段微小直线，因而在极坐标运动系下。

2 阿基米德螺线逼近曲线算法的基本方法(1)算出在极坐标下二次曲线的方程，并用极坐标的方法表达二次曲线的方程。

(3)在极坐标的方程下，求出任意角度时的二次曲线方程和阿基米德螺线方程的极径之差，阿基米德的逼近误差就是他们的极径之差最大值。

(4)过二次曲线的任意微小上的两点做直线方程，此时直线方程与曲线有两个交点，通过 6变化∩是直线上下移动，当移动后的直线与二次曲线只有唯-的交点时，那么直线与二次曲线方程唯-根 ，这个值便是过曲线两端点的直线与该曲线的最大距离2 J。

(5)上述方法计算出，过曲线两端点的阿基米德螺线与直线的最大距离 [4-6]，而阿基米德螺线相对于二次曲线的误差6 - I。

3 阿基米德螺线分线段逼近非圆曲线的误差分析用阿基米德螺线分别对椭圆、双曲线、抛物线刀位轨鉴行逼近，并给出误差估计[ 。

第6期 刘向东等：阿基米德算法对欧式木窗数控加工的精度补偿 1473.1 阿基米德螺线逼近椭圆的误差分析(1)椭圆的标准方程X2/a y。/b 1。 (1)将 pcosO，Ypsin0，带人式(1)中，将其转成极坐标方程，将插补区间 P。P 弧分成 N段，节点为P 、P：、，P ，并且设各节点坐标为 P ( ，0 )，并且 ，极轴 0以常数 △ 等间距递增.得到椭圆的数值拟合公式为：f △j ； 2IrI 。 4zcs20t-a2sin20( ，2，。，rt-I)。

在任-个分段 P P 上，过 P ，P点作-条阿基米德螺线.则其方程为：r5 z( ) ： ( - ) r 。 (3)该曲线就是用来逼近椭圆的曲线，它可以由尺轴与0轴的线性插值来实现。

(2)误差分析首先讨论弧度误差，如图 1所示，在等间距法中，△r0误差最大，我们只需分析 P。P 段，设点坐标Po( ，0)，P (r ，0 )，在设最大弧长误差为 ，则阿基米德螺线逼近椭圆的最大误差为：R - -S ( )。 (4)6√ - (0-0i)-r 。(5)图 1 阿基米德罗线段逼近椭 圆再讨论直线度误差，逼近误差通常按法向间距计算，故将点 P。( 。，Oo)，P，( ，0 )，转换至直角坐标点 P 0( ，Yo)，P o( ， )，则 P'oP 直线方程为：X-- X0： 。 (6)，-，o ， -，o设： yl-y0，B： o- 1，Cyl 0-YoXl，得至0：AxByc a，/U4V 。 (7)上式为与直线 P'oP 平行并且相距为 6的等误差直线。设所求直线在 P'oP 线上方时劝”号 .下方时劝-”号。

㈦ l： - 当方程组满足唯-解的条件时，解得 实际直线逼近误差 6 。

过 P。，P 对式(3)进行坐标变换，与(7)联立：孵 糍(arctan÷-Oo) (9) ：c 。

当方程组满足唯-解条件时，解得 6，即为阿基米德螺线与和椭圆曲线相切直线的误差 ：。l 。-6l为实际的阿基米德螺线逼近椭圆的直线度误差 。

(3)设有椭圆： /9， /41，取等间距取 A0：，4转换得极坐标方程：r2COS o/9r sin 0/41♀得：相同条件下，阿基米德螺线逼近椭圆的直线度误差 0.09，直线段逼近误差 占 0.32。

3.2 阿基米德螺线逼近双曲线的误差分析(1)双曲线方程为：y /6 - /a 1。 (10)如2图所示.如果直接对双曲线进行数值逼近，由于阿基米德螺线的凹凸向与双曲线相反，将会导致阿基米德螺线段的逼近误差远大于直线段逼近误差。

，7O图 2 没有进行坐标变换的示意 图故而，必须对标准双曲线作坐标进行平移变换：- ：1。 (11)0 a即：将双曲线向下平移至x坐标轴。然后再对双曲线进行阿基米德螺线逼近，以减小逼近误差。

以 rcosO，YrsinO，带人转换到极坐标下，极轴 0以常数 △ 等间距递增，整理得双曲线的拟合迭代公式为：东 北 林 业 大 学 学 报 第 41卷0. △2ba sinO2 2 2- 2IO / /如图3所示，双曲线曲率最大处发生在顶端，故而误差估计选择 P。P.分段。设最大弧长误差为R ，与阿基米德螺线对椭圆的逼近算法类似，由(3)(4)(12)式，可得双曲线圆弧上阿基米德螺线的。 2 basinOill-max b 0 i 0- 0 0 ～ 。 (13) -2cos2.- 口2s n2十- / /假设阿基米德螺线对双曲线的直线度逼近误差为 ，直线对双曲线的逼近误差为 6 。与椭圆直线度求解误差类似，同样做 P P 段的平行线，联立 夸IAxBy：C6 。

当方程组有唯-解时，解得的 为直线段逼近双曲线的实际误差 6，。

解(9)式，当方程组满足唯-解条件时，解得6，J ，-3，I为阿基米德逼近双曲线的实际误差 。

设有双曲线：y /9- /41，按等间距取 A0：1T/4。则进行转换得极坐标方程为：-T/2COS209 1。 d解得：直线段逼近误差 60.535；阿基米德螺线段逼近误差6。0.615。由此可见，阿基米德螺线逼近双曲线效果并不好，由于双曲线过焦点后趋向直线.此时直线段逼近效果更好8 。

阿基迷德螺线还可以逼近渐开线 、抛物线，并与椭圆-样阿基迷德螺线逼近误差小于直线逼近误差 。

3.3 阿基米德螺线误差分析总结从上面的分析我们可以知道关于非圆二次曲线应用阿基米德螺线的方法逼近，在相同的条件下，椭圆、双曲线分别应用阿基米德螺线逼近与直线方法逼近.椭圆应用阿基米德螺线 比直线逼近误差减少了71.18%、而双曲线的逼近误差的确增加 10%，由此可以得知，除双曲线以外的二次非圆曲线应用阿基米德螺线的方法逼近误差有相对的优势 ，- 。

综上所述，由(2)(12)可以观察到，阿基米德螺线逼近二次非圆曲线的递推公式在形式上是有-定相似性，通过整理，给出了阿基米德螺线逼近二次非圆曲线的统-递推公式l1 ：f0 0oAi ， Ⅱub (÷) f2sin 1 、 。 (15)r l j(i0，1，2，n-1)式中：A1，B0，C1时，为椭圆逼近公式；A1，B1，C0时.为双曲线逼近公式。

对误差的分析也有规律可寻.联立曲线方程和(7)所得误差参数方程1 ：AxBy C。8 4 A 。 当方程组有唯-解时，解得的6为直线段逼近二次非圆曲线的实际误差6，。与阿基米德螺线方程进行坐标变换 ，联立得： arctam÷- )r0。 (17)当方程组满足唯-解的条件时，解得6 ， -6，I为阿基米德逼近非圆二次曲线的实际误差 6 。

根据上述的分析我们可以看到应用阿基米德螺线与直线插补逼近的差距，前者的精度远远超过后者的精度■且本文设计的机床的原理是用的是极坐标，它所加工的曲线属于阿基米德螺线的-部分，这为研究极坐标数控机床提供了巨大的优势[1 。

4 结束语本文的构成原理是机床在极坐标系运动下径向进给机构与回转机构联动产生-段微小，理论证明是阿基米德螺线。主要分析了应用阿基米德螺线逼近二次非圆曲线所产生的误差与直线逼近产生的误差进行了对比，根据对椭圆、双曲线等的误差分析得出.除双曲线外，其他二次非圆曲线使用阿基米德螺线进行逼近，产生的误差是极小的，并给出椭圆算例仿真验证，结论是阿基米德螺线逼近椭圆的直线度误差 6 0.09，直线段逼近误差(下转 156页)156 东 北 林 业 大 学 学 报 第 41卷完全-致，统计分析也证明了二者的-致性，但 1号样与另外两株之间均存在显著的差异。产生该现象的原因可能有两点，-是 1号立木遭受虫害(白蚁)危害较为严重，并伴有心腐，这些因素会导致树木生长势下降。二是虽然样木采集于同-山场.但坡度、坡向及土层深度不同等因素均会使其年生长量产生差异 。

用生长锥取样测算平均生长轮宽度时.如果从相对方向取样 ，其结果准确性更高，但考虑到涉案样木树龄较大，且受到严重损伤.为避免取样加剧对树木的影响，因而只从立木阳面取了-个木芯，取样后及时用锯屑及黏土进行了封护，并建议林业部门及时落实技术人员负责，制订保护技术措施.实施抢救复壮工作[ ]。

自2010年 3月 12日起施行的《安徽省古树名木保护条例》I1 ]第二条规定树龄 100 a以上的树木为古树”；第八条规定树龄 100 a以上不满 300 a的古树为三级”；第二十七条规定，砍伐或者擅 自移植古树名木，未构成犯罪的，由县级以上人民政府林业、城市绿化行政主管部门责令停止违法行为.没收古树名木，并处以古树名木价值 1倍以上 5倍以下的奉；造成损失的，依法承担赔偿责任”。由此可以看出，涉及民事或刑事纠纷的案件进行树龄鉴定时与-般的古树名木树龄鉴定存在-定的差异性 ，其对鉴定结果的准确性要求更高，否则可能会引起冤假错案的发生。本案鉴定的结果表明.3棵被盗树木均为古树，应按照《安徽省古树名木保护条例》对涉案人进行处理。