Bootstrap重采样Bayesian方法在白车身制造尺寸不合格率估计中的应用

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Application of Bayesian M ethod with Bootstrap Resampling to FailureRate Estimation of W hite Auto BodyWang Hai-yan ，Hou Lin.na(1.School of Eleetromechanical Engineering，Beijing Information Science and Technology University，Beijing 100192，China；2.School of Management，Xi an University of Technology，Shannxi 710054，China)Abstract：The manufacturing accuracy of white auto body takes an important part in quality control of thewhole auto manufacturing.In the white auto body manufacturing process，only small number of inspectionsamples can be obtained.Hence，quality control methods that require large number of samples are not印 -plicable.To solve this problem，Bayesian method combined with Bootstrap resampling technique is adopt-ed.After defining the failure rate of white body size，for comparison，simple calculation analysis，slidingcalculation analysis，and Bayesian method based on distribution are used to analyze the failure rate，re-spectively.Then，Bayesian method combined with Bootstrap resampling technique is applied to estimatethe failure rate.Simulation based on Matlab is used to compare the four methods.Result shows that Boot-strap resampling Bayesian method outperforms the others and it can be applied to estimate the failure ratewith small number of samples.An example is given to show how the application of the proposed method。

Key words：Bayesian method；Bootstrap method；white automotive vehicle body；quality control汽车工业的飞速发展对车身质量提出了更高的要求，白车身质量不仅影响汽车的外观及强度，而且影响零部件的安装工艺性能，是汽车生命周期中质量控制的重要环节。目前白车身制造尺寸检测中所用的测量方法主要是样架测量、CMM测量和 OCMM测量3种，其他还能用到手持式匹配质量激光检测收稿日期：2011.12.06基金项目：北京市中青年骨干人才资助项目(71A1111143)作者简介：王海燕(1979-)，女，山东省人，讲师，硕士，主要研究方向为系统优化及制造业信息化16 工 业 工 程 第 15卷装置、便携式多关节测量机、激光跟踪测量仪、电子经纬仪、测量机器人等 。

在 白车身制造尺寸质量控制过程 中，样架和CMM测得的数据点多量少”(测点很多，每个测点每天有 1～2个数据)，而 OCMM测得的数据点少量多”(测点相对较少，每个测点每天有 200个左右数据) ]。-般来说，车身尺寸检测数据有如下 4个特点 ]。1)小样本。由于受设备限制，车身抽检率低，-般不超过产量的5%，从统计学角度属于小样本。2)多变量：-台车身上-般有 200～300个的尺寸检测点(测点)，包含 、y、z 3个坐标方向的数值，大多需要采用多元统计或多变量分析-类方法。3)相关性。车身各个测点测量值的变化之间存在着多种相关属性，其中不仅包含了零件本身变化也包含了装配过程中夹具、焊接的变化。4)大噪声。由于存在零件加工、检测定位、零件柔性、人员操作等各种因素导致的误差，车身尺寸检测数据中存在较大的噪声，需要在车身检测数据处理中进行有效的辨别和滤除 。 。

1 不合格率估计方法1.1 不合格率定义对于白车身尺寸质量的监测，-般将测量得到的实际尺寸值与设计值进行比较，如果差值落在公差带内，则该测点合格，否则判定为不合格。如果测点共被测量了rt次，其中m次尺寸在尺寸偏差外，则测点不合格率定义为m p -rt。

1.2 简单计算估计不合格率直接用样本的合格率来估计整体的合格率：n1P -r-t，其中，n 为样本不合格数，n为样本总数。

1.3 滑动计算估计不合格率白车身检验过程中每天定期检验积累了很多的历史数据。这样可以将历史数据的值作为当前样本的检测值来扩大样本。设X ， ，， 为第t天的样本， 。， ，， 为前 m天样本构成的-组历史样本。历史样本 ， ：，， 扩充 形成新的样本 。， ，， ，X，用新形成的样本来估计参数。当有了新样本时，加人新样本，同时取出最老的历史样本进行估计，这样的算法便是滑动算法。

klnlP ，其中，k 为历史样本不合格数，n 为当前样本不合格数。

1.4 卢分布Bayesian算法估计不合格率在运用 Bayesian方法时，-般假定不合格率的分布遵从 分布，设先验分布为卢( b)。先验分布主要是确定参数 a、b∩以通过历史数据由矩法估计得到。先通过历史稳定数据计算不合格率的均值和方差 5 ]。

现抽出样本 。， ，不合格品为 ∩以计算出后验分布核为卢(a ，br/，- )，即后验分布的期望为0- kO (1-.j) 。。

n 口 b式中0。为先验均值，0 为样本合格率，其中2 Bootstrap重采样 Bayesian方法上文论述的Bayesian方法假定先验分布为 分布，本部分通过 Bootstrap重采样构造无参数的先验分布，然后通过 Matlab仿真验证后者比前者更能接近真实值。

2.1 Bootstrap法原理取-个样本 ， ，， ，这个样本是从-个未知分布 F中随机抽取出来的 rt个数据。

随机意味着置是独立的随机变量，并且均服从同样的分布F。设0为F中的-个未知参数，比如均值或者方差。然后从样本 中获取 0的估计值0的分布，这在实际应用中是非常重要的。-种获得 分布或其特征值的方法是重复进行大量的试验，在许多实际情况下这种方法是不可行的，-方面是费用的问题，另-方面有时候试验过程是无法重复的。

根据 Bootstrap方法，可以选择-个在某种意义上接近 ，的分布 F，当n- 。时接近 ，然后从中进行第6期 王海燕 ，侯琳娜：Bootstrap重采样 Bayesian方法在白车身制造尺寸不合格率估计中的应用 17重采样。需要注意的是 F的选择不是唯-的，当 n- ∞时接近 F的分布都是可用的 l9 。

引入 Bootstrap重采样技术，根据少量历史数据获得合格率分布的非参数化数值解，作为先验条件与当前样本分布结合，通过 Bayesian方法对尺寸质量参数进行估计。

2.2 Bootstrap重采样Bayesian方法估计不合格率的算法流程采用 Bootstrap先验的不合格率参数 Bayesian估计的算法流程见图 1。

E 困 图 1 Bootstrap方法计算流程Fig.1 Process of Bo tstrap method[ 2.3 计算公式 m。

考虑合格率时，样本中合格数的频数服从二项式分布。设样本容量为 ，不合格数为 ，则离散形式的概率密度为p( l ) ( ) (1- ) 7-f。 (1)式中， 0，1， ；0 0，1/t，2/t1；t为离散量个数。

当前样本的二项分布与先验分布的联合分布具有以下的离散形式：( ， )P( I ) ( ) ( ) (1- ) 7- ×万( )。 (2)后验分布的离散形式为( )：卓 ：∑h(g， )：： 三， (3)∑㈦ (1- ) ( )i1 、 /其中，n为样本容量， 为不合格数。认格率后验分布的均值为估计参数，则不合格率估计值为t ∑厅(Oi/) 0 。 (4)ll2.4 仿真验证为了验证 Bootstrap重采样 Bayesian方法利用小样本数据对样本总体的估计效果，基于 Matlab编程进行了如下的仿真试验：随机产生30组均值为 5，方差为 1的正态分布数据来代表白车身-个月的全检结果，每组数据200个。取测量采样频率为 3台/d，在仿真数据上选5组代表白车身上某个测量特征 5d的测量数据，得到 15个样本作为先验信息构造合格率参数 日的先验分布。采用仿真数据对简单计算、滑动计算、B分布 Bayesian方法及 Bootstrap重采样Bayesian方法对样本总体(1 1～30 d)不合格率的估计见图2。

其中，曲线 1为实际值，曲线2为简单计算法估计的合格率值，曲线3为滑动算法估计的合格率值，曲线4为 Bayesian方法基于先验分布为口分布估计的合格率值，曲线 5为采用 Bootstrap重采样构造先验分布的Bayesian方法估计的合格率值。图2表明所得到的计算结果 中，Bootstrap重采样法更接近于真实值，有较高的精度。

12 l4 l6 18 2O 22 24 26 28 30测量时序 n/d图2 合格率估计的不同方法比较Fig.2 Comparison between diferent methods3 实例某汽车生产车间采用离线抽检的方式控制白车身的尺寸精度，每200台车身抽检2台样本，每台车检测400多个测量点。以后门框口的框口型板上的测量 点 型板 H11L(3)A”的质量状 况进行 分析 J '5，该点的标准尺寸为5 mm，上偏差 1.5 mm，0 9 8 7 6 5 4 3 2 l 0 l O O O O O O O O O o/0/静艇姐18 工 业 工 程 第 15卷下偏差 -1.5 mm。对该点连续监测 5 d，每天2个样本，共得到 10个测量数据，如表 1所示。

表 1 型板 HllL(3)连续-周测量数据Tab.1 Interface plate measurement of 5 days按照 Bootstrap重采样 Bayesian方法，以型板Hl1L(3)A共 l0个样本的监测数据作为先验信息，构造不合格率参数 0的先验分布，步骤如下。

1)对这 1O个样本进行 1 000次 Bootstrap重采样，得到 1 000个新的合格率数据，见表 2。

表2 1 000次 Bootstrap重采样数据Tab.2 Bootstrap record of 1 000 times不合格率/% 20 30 0 l02)Bayesian不合格率估计。第5天的2个样本中有 1个不合格，即 1。根据式(1)～(3)中不合格率 Bayesian估计公式得到当前分布、联合分布、后验分布见表3。

表 3 Bayesian方法得到的各分布Tab.3 Distributions of Bayesian method因为共有 1O个先验样本，每次重采样样本容量为l0，其中不合格数最多为10，所以t10，则0 0，10%，20%，，100%。由步骤 1)中 1 000次 Boot-strap重抽样数据，可以统计得到 0 出现的概率，即万(0 )如表4第 3列所示，根据表 3可得 ( )，如表4第 4列所示。

表 4 丌(01) ( )及万( ) 0i的取值Tab.4 Value ofre(Oi)，丌( )，7r( 借) 013)根据式(4)估算白车身型板H11L(3)A点第5 d不合格品率。 (Oi/) 0 的取值如表 4第 5列所示～第 5列相 加，即得到 Bootstrap重采样Bayesian方法所估算的第 5天型板 H11L(3)A点制造尺寸的不合格率值，约为 27%，比简单计算得到的50%不合格率水平更贴近实际不合格品率。

4 总结白车身尺寸检测时，采样样本容量占总体的比例-般都低于 5%，是非常典型的小样本问题。利用传统的大样本计算不合格率的方法如简单计算及滑动计算，得到的结果与实际值的差异比较大。因为简单计算不能正确反映生产的实际波动状态，而使用滑动算法时，选择历史数据的个数 n比较重要，n过小难以准确折射生产线的状态'兀过大将会淹没不合格率的突变情况，n的选择较难。采用 Bayesian方法能够较好地反映生产的波动状态，其关键在于合理选取先验分布来调整历史信息在估计中所 占的比例。当历史数据比较平稳时，先验信息可以占较大比例，历史数据波动较大时，应适当减少先验信息的比例。Bayesian算法中引入 Bootstrap重采样技术，根据少量历史数据获得不合格率分布的非参数化数值解，作为先验条件与当前样本分布相结合，对尺寸质量参数进行估计，避免了传统的参数化先验分布所带来的人为假设，方法比基于/3分布的 Bayesian算法更具有客观性和更高的精度，适用于小样本情况下白车身制造尺寸不合格率的估计。

第6期 王海燕，侯琳娜：Bootstrap重采样Bayesian方法在白车身制造尺寸不合格率估计中的应用