基于改进粒子群算法的同轴度误差评定及其可视化

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同轴度误差是指实际被测轴线相对基准轴线 的变动量，它反映了同-零件上圆柱(锥)面的被测轴线与基准轴线应重合的精度要求。工程实际中，同轴度是衡量转动设备、回转零件制造与加工精度的重要指标之- 。由于 同轴度误差评定包含基准圆柱面轴线的确定和被测 圆柱横截 面圆心位置 的确定两方面问题 ，国内外 学者常把它归于 圆柱度 和圆度误差评定问题中讨论 ，而单独讨论同轴度误差评定收稿 日期 ：2012-O4-l6基金项目：南通市应用研究计划资助项目(K2009022)；江苏省泰州市科技发展计划项目(2011-TG1134)作者简介：翟旭军(1971-)，男，江苏兴化人，江苏畜牧兽医职业技术学院副教授、高级工程师，硕士，主要研究方向为 CAD/CAM、虚拟制造和装配等；通讯作者：周圣铧(1987-)，男，江苏南通人，南通大学机械工程学院硕士研究生，主要研究方向为 CAD/CAD、数字化制造、虚拟仿真技术及应用等，(E-mail)zsh3415110###163.com。

· 56· 组合机床与 自动化加工技术 第 12期的文献并不多 。田树耀 、黄富贵等 在分析 了同轴度误差产生的原因后 ，将 圆度误差 的评定应用到同轴度误差的评定中，采用 MATI AB软件提供的优化算法计算 同轴度误差值 ，但 文中只介 绍了评定 方法 ，并未给出实例进行算法 的验证；沈先钊 采用符合最小 域法的最佳脊线法评定 圆度、圆柱度及 同轴度误差值，但文中也只以圆度误差评定为例介绍了该算法的评定过程 ，并 未对 同轴度误 差评 定作详细阐述；肖洒、郭慧 提 了含形状误差和不含形状误差的同轴度评定几何模型，并运用基本粒子群算法进行误差评定，数值求解仍转化为圆柱度误差计算进行 文献 [8]中给 了满足定位最悬容区域定义的同轴度误差评定方法，但在实例计算时仍采用了最小二乘法与简化计算相结合。本文拟从定位最悬容区域定义 出发 ，将 改进 的粒 子群优化算法应用于同轴度误差评定，并通过实例验证评定的准确性及可行性1 改进的粒子群算法粒子群优化算法是通过模拟鸟群觅食 行为而发展起来的-种基于群体协作的随机搜索算法。与其它进化算法-样 ，也是基于种群”和进化”的概念，通过个体间的协作竞争 ，实现复杂空间最优解的搜索 ，由于具有很好的生物社会背景和较少的参数设置，易于理解和实现 ，得到了f 泛的应用。但基本粒子群算法在搜索过程 中，容易形成粒子种群 的快速趋同效应，从而出现陷入局部极值、早熟收敛和搜索停滞现象。针对上述问题需要对基本粒子群算法进行改进，既要避免早熟”现象的发生 ，又要加快收敛速度 与效率 。

1.1 粒子群算法基本原理基本粒子群算法可描述如下 ：在解空间中，先 随机产生初始种群(-群粒子)，每个粒子都为优化问题 的-个解 ，有 自己的位置和速度 ，并 由目标函数为其确定-个适应值。每个粒子将在解空间 中追 随当前的最优粒子进行移动 ，经过不停迭代搜 索到最优解 f限设 D维搜索空间中粒子规模为 m，第 i个粒子的位置和速度分别为 X ( )和 V ( )，则寻优过程 中粒子的速度与位置可 由下式更新 ：r J (I) ( · ( )c1·rl·[P： 川- ( )] ·r ·Ep - ( )] (1)( 1) (f) (f1)其中： 为惯性权重因子；p 为第 i个粒子经 t次搜索后找到的自身最优值；p 为粒子群体经 t次搜索后找到的全局最优值 ；c.和 C，为学习因子，通常取为2；r。和 r1为 0到 1之间均匀分布的随机数。

1.2 权重系数的线性递减惯性权重 是粒子群算法比较重要的参数∠大的 to便于全局搜索 ，避免陷入局部最优解 ；较小的to利于算法收敛 ，能在 当前搜索区域进行精确局部搜索。因此 ，针对基本粒子群算法容易早熟及算法后期易在全局最优解 附近产生振荡 的现象 ，可将权 重系数作线性递减处理。惯性权重 随算法迭代的变化公式为 ：∞ - (2) ∞ -- - ----～ J其中-60 、to分别表示 的最大值和最小值 ；t 为最大搜索代数；t为当前搜索代数。

1.3 学 习因子的异步变化为了能使粒子在优化搜索 的不 同阶段 ，较 好的完成全局开发与局部探索的T作，通过异步变化学习因子 c 和 C，，表现为在寻优的初始阶段 ，粒子应具有较大的 自我学 习能 力和较小 的社会学 习能力 ，加强全局开发能力；在寻优的后期 ，粒子应具有较大 的社会学习能力和较小 的 自我学 习能力，加强局部探索能力。学习因子的异步变化公式为 ： 其 中：c c2。

分别为 c1和 c2的初始值 ；c1 c2 分别为 c。和 c：的迭代终值 ；t 为最大搜索代数；t为当前搜索代数 。

1.4 改进粒子群算法的性能测试为了验 证改进 的粒 子群优 化 (IPSO，ImprovedParticle Swarm Optimization)算法的精度和效率 ，可通过以下 2个经典函数进行测试 ，并与惯性权重系数线性 递 减 的 粒 子 群 优 化 (LDW-PSO，LinearlyDecreasing Weight-PSO)算法 和飞行时间 自适应调整 的粒 子群 (FAA-PSO，Flying Time AdaptivelyAdjusted-PSO)算法 。▲行比较，观察改进的粒子群算法与其他算法在收敛速度和精度上的差异。

(1)Sphere函数 ，当 ：0时全局有最优值为 0，设收敛精度为 0.001。

( ) (-l00≤ ≤ 100)(2)Rastrigrin函数 ，当 0时全局有最优值为0，设收敛精度为 0.001。

( )：∑( -10$cos(2wx )10)(-10≤ ≤lo)测试参数设置如下 ：粒子群规模为 30；测试 函数解空间维度为 30；最大搜索代数为 1000；改进的粒子群算法 IPSO取最大惯性权重系数 09 1.2，最小惯性权重系数 0.2，学习因子c 和C：的初始值分别为2.5和0.5，学习六j子c 和C 的迭代终值分别为 0.5和 2.5；LDW-PSO算法取 0.9， 0.4；FAA-PSO取 1.0， 0.4。测试次数为2012年 12月 翟旭军，等：基于改进粒子群算法的同轴度误差评定及其可视化 ·57·50次 ，测试结果如表 1所示。

表 1 IPSO、LDW-PSO、FAA-PSO算法下测试 函数运行结果对 比表收敛次数/ 平均收 测试函数 算法 最优解测试次数 敛代数IPS0 3.5e - 7 50/50 347Sphere LDW -PS0 3.7e - 10 50/50 591FAA.PS0 3.7e -7 50/50 793IPSO 3 7e -21 50/50 l27Rastrigrin LDW.PSO 21.89 0/50FAA.PSO 3.9e-4 50/50 344从表 1可以看出改进后的粒子群算法在精度和速度方面都优于其它两种算法。

2 基于改进粒子群算法的同轴度误差评判2.1 同轴度误差的定义同轴度误差是指实际被测轴线 S相对于理想轴线的变动量，同轴度公差带的形状是直径为公差值t，且与基准轴线 A同轴 的圆柱面内区域 ，如图 1。

图 1 I司轴 度公 差带不恿 图2.2 同轴度误差数学模型前已述及，同轴度误差评定的关键是能精确描述基准圆柱面轴线所在的位置和被测圆柱面圆截面圆心所在位置。本文从最小条件准则出发，建立基准圆柱面轴线方程和确定被测圆柱面圆截面圆心位置 。

2.2.1 建立基准圆柱面轴线方程假设基准圆柱面轴线方程为 ：： ： (4) f m 、若基准圆柱面上的测点为PP ：( ，Y ， )I(i0，1，2P)，测点到基准圆柱面轴线的距离为 ：d (5)从定位最悬容区域定义出发，基准圆柱面轴线所在位置应满足下式：，(0，b，c，l，m，n)mind -d (6)其 中：d maxd (i 0，1，2， ，P)，d ：mind (i0，1，2，，P)。

对于这样 的非线性优化 问题 ，采用改进 的粒子群算法可获得高效解决，确定适应度函数为：/ 可 丽 (7)2.2.2 确定被测 圆柱面圆截面圆心位置假设被测圆柱面第 k个 圆截面方程为 ：( -XC ) (y-yc ) r (8)其中：下标 k为被测圆柱面圆截面的索引，XC 、yc 为第 后个圆截面圆心坐标 ，圆心的 坐标值与该 圆截面其它测点 坐标值相等。

若第 k个圆截面轮廓上的测点坐标表示为 P ：P ( ，Y ，。 )I(i0，1，2q)，则测点到理想圆圆心的距离为 ：d √( c ) (Y0 yc ) (9)因此 ，被测 圆柱在该 圆截面 的理论 圆心位 置应满足下式 ：F(3fC ，yc )raind -d (10)其 中： maxd ( 0，1，2， ，q)，d 。 ：raind (i0，1，2，，q)。

采用改进 的粒子群算法搜索基准圆柱面轴线的精确位置时 ，确定适应度函数为：志 南 ， 丽 )2.2.3 确定 同轴度误差值在确定了基准圆柱面轴线位置以及被测圆柱面各圆截面圆心位置后，根据公式(5)计算各圆心到轴线的距离最大值的2倍为同轴度的误差值，即：fm 2 d (12)2.3 同轴度误差评定步骤Stepl：参数的选择 。选择粒子群规模 N 30；最大惯性权重系数 03 1.2；最小惯性权重系数 0.2；学习因子c 和C，的初始值分别为2.5和0.5；学习因子C 和C，的迭代终值分别为0.5和2.5；最大搜索代数为 1000。

Step2：初始化粒子群体的速度与位置。采用随机数随机产生粒子群体初始状态(t0)时的速度与位置，即 (n ，b ，C ，芘，m ，n )和 ( ， 。，。 ， 。 ， 。 ， 。)，X ( c ，yc )和 ot ( ，， )，其 中 i为粒子编号。

Step3：适应值的计算。根据求解基准圆柱面轴线位置适应度函数(7)和求解被测 圆柱面各圆截 面圆心位置适应度 函数 (11)确定粒子适应度值。

Step5：根据公式(2)更新惯性权重系数 ，根据公式 (3)更新学习因子 C 和 c 。

Step8：判断是否满足收敛条件。若满足则停止搜索，输出结果；若不满足则返回Step4继续搜索。

3 误差评定的可视化通过上述 同轴度误差的评定方法 ，可 以准确快· 58· 组合机床与 自动化加工技术 第 12期速地得到误差值，完成零件误差的合格性判断。同时为了能直观、形象地描述误差的分布规律，帮助企业查找误差产生原因，可将误差评定结果进行可视化处理 ，并可通过网络实现资源共享 。

在众多的三维可视化平台 (如 OpenGL，Cuh3D，3DSMAX，VRML等)中，VRML因其语法简单、文件容量邪平 台无关性等优点成为网络三维描述语言的主流。本文拟在 VRML平 台上将各测点分布和相应的形位误差带直观显示出来。VRML 2.0建立三维嘲的基本单元被称为节点，VRML中几何体的造型、对象的属性设置以及向外界获闰发送信息都需要依赖节点。下面仅对本文中用到的相关节点加以介绍 ≮点的具体格式如下：Shapegeometry Sphere lradius 1#球的半径为 1个 VRML长度单位Shapegeometry IndexedLineSetcoord Coordinatepoint[]coordIndex.-]Shapegeometry ExtrusioncrossSection[]spine[]creaseAngle 2Shape节点可以用来定义三维形体，其 geometry域值指定形体的具体形状，如用 Sphere节点定义球体，可模拟误差评定中的各测点；用 IndexedLineSet节点定义直线，可模拟基准轴线 ；用 Extrusion节点定义圆柱面 ，可模拟 同轴度误差最悬容区域。

VRML虽有 良好的三维建模及展示功能，但 自身与用户间交互功能有限。而 JAVA作为-种功能强大的网络编程完全可以弥补 VRML的不足。通过外部编程接 口(External Authoring Interface，EAI)可实现VRML与 Java Applet之间的通信，由外部程序控制三维嘲的改变 。

基于 VRML-Java Applet平 台的同轴度误差可视化评定过程，可简单描述如下：①编写JAVA程序，完成误差评定界面设计与误差评定计算，并编译生成 .class”文件；② 将编译的 .class”文件与VRML文件同时嵌入到 HTML文件，为 VRML与JavaApplet之间的通信搭建通道；③ 用户通过误差评定界面读人数 据”按钮 ，选 择 预先记 录测点坐标 的. txt”文档路径，录入相关数据；④ 通过误差评定界面IPSO”按钮，进行误差计算；⑤ 误差评定界面可视化”按钮功能是基于误差评定结果，实现其三维展示。

4 应用实例以上介绍 了同轴度误差的评定方法 和步骤 ，现通过-实例加以验证。表2为某轴类零件上基准圆柱面轮廓测量点数据 ，表 3为该零件上被测圆柱面圆截面轮廓测量点数据 。

表 2 基准圆柱面轮廓测点数据(单位 /mm)NO. y NO. y1 30 O 2.5 13 29.998 O 37.52 25.984 15.002 2.5 14 25.982 15.0O1 37.53 l5.0025 25.985 2.5 15 l5.002 25.984 37.54 0 29.994 2.5 16 0 30.006 37.55 -l4.995 25.972 2.5 17 -l5.001 25.983 37.56 -25.959 14.987 2 5 l8 - 25.976 14.998 37.57 -29.99 0 2.5 19 - 29.99 O 37.58 -25.976 - 14.997 2.5 20 - 25.977 - 14.998 37.59 - 14.997 -25.976 2.5 21 - 14.996 -25.974 37.5lO 0 -29.985 2.5 22 O -29.993 37.511 l4.996 -25.974 2.5 23 14.9975 -25.976 37.512 25.978 - l4.9985 2.5 24 25.982 - 15 0005 37.5表3 被测圆柱面圆截面轮廓测点数据(单位/mm)NO. y NO. y1 15 0 42.5 25 l4.998 0 62.52 l2.992 7.5O1 42.5 26 12.983 7.496 62 53 7.503 l2.996 42.5 27 7.495 l2.982 62.54 O l5.O1 42.5 28 O 14.995 62.55 -7.503 12.996 42 5 29 -7.5005 l2.991 62.56 - 12.993 7.5O1 42.5 30 - 12.994 7.5O2 62.57 - 14.998 O 42.5 3l - l5.006 0 62.58 - 12.983 -7.496 42.5 32 - 12.997 -7.504 62.59 -7.4925 - l2.977 42.5 33 - 7.5O1 - l2.992 62.51O O - 14.994 42 5 34 0 - 14.996 62.5l1 7.499 - l2.989 42.5 35 7.4985 - 12.988 62.5l2 12 989 --7.499 42.5 36 l2.990 -7.500 62.5l3 14.999 0 52.5 37 l5.O01 0 72.514 l2.986 7.497 52.5 38 12.995 7.502 72.515 7.496 l2.983 52.5 39 7.502 l2.994 72.516 O l4.998 52.5 40 O l4.992 72.517 -7.501 12.992 52.5 41 -7.5O1 12.992 72.5l8 - 12.9956 7.503 52.5 42 - 12.988 7.4985 72.5l9 - 15.Ol 0 52.5 43 - 14 993 O 72.520 - l2 993 -7.50l 52.5 44 - l2.985 -7 497 72.521 -7.4995 -l2.9895 52.5 45 -7.494 -l2.980 72 522 O - 14.996 52.5 46 O - 14.992 72.523 7.499 -12.989 52.5 47 7.499 -l2.989 72.524 12.985 --7.497 52.5 48 l2.992 -7.501 72.5文献[8]中对该组数据进行最小二乘法和简化计算处理，得到同轴度误差值为 0.0238mm。采用改进的粒子群优化算法评定同轴度误差结果如图2所示，其误差值为0.0213mm，对应的基准圆柱面的轴线方程系数分别为(a，b，c，z，m，n)(0.0033，0.0058，0.0611，1.5719e-6，1.0395e-5，-0.4792)。由此可