大质量体分布状况对自由振动抑制行为的研究

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大 质 量 体 分 布 状 况 对 自 由 该 动 抑 制 纤 为 的 研 究 术口 李志鑫 1,2 口 李 锋 口 计时鸣-1．浙江工业大学 机械学院 杭州 3100142．宁波双林汽车部件股份有限责任公司 浙江宁波 315153摘 要：采用理论分析和数值 仿真相结合的研 究手段 ，对某大型可伸缩式液压驱动机构的底座 系统 ，开展质量分布对振动模态作用行为的研究分析，获取了系统的固有特征以及由此引起的模态最大、最小形变位移，发现大质量体对系统 自由振动行为具有较强的抑制特性。研究结果为结构的抗振性能提高、材料空间分布、结构优化等提供了理论支持和指导。

关键词：大质量 自由振 动 振动抑制 质量分布中图分类号：TH112 文献标识码：A 文章编号：1000—4998(2013)10—0029—04对 系 统 开展 动 力学 特性 的研 究分 析 ，获 取 系统 在确 定 外 界 激 励 作 用 下 的 响 应 行 为 及 其 特 征 ，掌 握 系 统的性 能特 征 和进 一 步优 化 系统 的结构 ，为 系统 的设 计提供 理论 指导 、设计 和分析 依 据 。获取 系统 的 固有 特性来 判 断 是 否 满 足 动 力 学 行 为 的 要 求 ， 防 止 系 统 的 固 有频 率 与外 界 激励 频 率 过于 接 近 ，避 免系 统 在运 行过 程中引起 共 振 的发生 。一 般 系统 的动 力学 设计 ，多是考 虑系统 的 固有 频率 ，尤其 是 其低 阶 固有 频率 要 远 离激 励频 率 ．尽 量 减 少 系 统 的 自激 振 动 。

一 般 机械 结 构 的动 力学 响 应行 为 的研 究 ，主要 是在 外 界激 励 或外 载作 用 下形 成 的 响应 行 为 ，这种 响 应行 为 是 系统 固有 振 动 行 为 和 外 界 激 励 共 同作 用 的 结果 。前者 是 系统运 动方 程 的通 解 ，后者 则是 在外 界激 励作 用 下 系 统 响 应 的 特 解 。一 般 对 系 统 进 行 动 力 分 析 时 。

通 常 在忽 略 阻尼 的情 况 下 ，计 算 系统 的 固有 频 率和 相应 的振 型 ．在数 学 上也 就 是完 成 系统 运 动方 程 通解 的求 解 ．这 个通 解 仅仅 与 系统 的质量 矩 阵 和 刚度矩 阵 相关 。对 于均 质材 料 ，质量 矩 阵和 刚度 矩 阵之 间存 在空 间分 布相 关 性 ，并且 刚 度矩 阵和质 量 矩 阵相 互依 附 ，即系统 的 刚度 矩 阵和 质量 矩 阵均 是 与材 料 的空 间分布 呈 相关 关 系。通 过 控制 材料 的 空间分 布 行为 ，就 可 以对系 统的动力 学行 为 进行 改善 。

张 孝 良等 El Jl2 提 出 了 2级 串联 型 “惯 容一弹 簧 一阻尼 ”(ISD)车辆 悬架 模 型 ，通过 对 悬架 系 统 仿真 分析 ，表明 并联 系统 对 车 辆 的悬 架有 良好 的低 频 响应 特 性 ，车身 加速 度 、轮 胎 动载 荷及 悬 架 的响 应 明显 减小 ，有 效 抑制 了 车身 共 振 。而 计 方 等 [。 在研 究 船体 结 构 黏 弹 性 夹层 的阻 抑性 能 时 ，发 现 黏夹 层 隔振 性能 随 其杨 氏模 量浙江省自然科学基金资助项目(编号：Y1110802)浙江省特种装备制造与先进3nz技术重点实验室开放基金资助项 目(编号：201 lEM003)收稿 日期 ：2013年 4月机械制造51卷 第590期的降 低及 尺 度增 加 而增 大 ．夹 层杨 氏模 量对 隔声量 的影响 较其 尺度 更 为显著 ．能 明显 削弱 噪声 及振 动 。谭 春林 等 发现 大挠 性 空 间机 械臂 的减 速 比过 大 ．对 振 动抑制 不 利 ．影 响控 制 精度 ：但 减速 比过 小 ．不 能操 作 所要 求 的负 载 以及 满 足移 动 速度 。桂洪 斌 等 采 用 两 自由度 系统 和 三 自由度 系 统进 行 了大 质 量 隔 振 分 析 ，研究 结 果表 明 ，大 质量 可 以有效 抑 制位 移 响应 的传 递 ，控制 系 统 的 绝 对 响 应 行 为 。 在 研 究 橡 胶 隔 振 器 的 迟 滞 阻 尼特 性 时 6]，应 用 “大 质 量 法 ”对 含 橡 胶 隔 振 器 的空 心轴 进 行 了 建 模 和 动 力 学 分 析 。获 取 了 质 心 位 置 的 响 应加 速度 随频 率 变化 的 曲线 。减 小 了外界 的干扰 ，起到 隔振 隔 噪 的效 果 。

张 长 友 等 在 研 究 电 梯 系 统 的 垂 直 振 动 时 ，通 过对 加 速度 曲线 的频谱 分 析 ．诊 断 出电机 的旋 转 失衡 是引起 电梯 垂 直振 动 的主 要激 励 ，提 出在 轿顶 轮 两侧 加装 动 力 吸 振 器 以 抑 制 电 梯 的 垂 直 振 动 ，减 振 效 果 明显 ，从 另 外一 个 角度 验证 了增 加 作用 力行 为 ．能 够减 小 动力 学 响应 行为 的影响 。 同时 改变 系统 内部 的物理 场 材料 的 分布 行为 ．如为 了摆 脱气 囊 的气 体泄 漏 问题 ，在 气囊 中填 充 弹性 单 元 体 和液 体 (混合 介 质 )来 替 代 气 体 。

混 合 介质 隔振 器 的振 级 落差 随填 充单 元 体数 量 的增 加而 升 高 ：频 响 函数 曲线 表现 出不 同 于气 囊 隔振 器 的刚度 特 性 ，其 刚度 特性 受 到所 填充 的 弹性 单元 体 和液 体的 力 学 特 性 影 响 [83。 为 抑 制 柔 性 机 械 臂 的 低 频 固 有 振 动 ．张 庆 等 利 用 组合 结 构 滞 迟 阻 尼 效 应 来 提 高 柔性机 械臂 的抑 振性 能 。

以上 文献 均对 抑 制 振 动 响 应 行 为进 行 了研 究 ，无论 是采 用大 质 量分 布 、增 加阻 尼行 为 等 ，均 能 达 到抑 制振 动 的行 为 。本 文就 末端 质 量 的分 布行 为对 抑制 振 动行 为进 行 了理 论研 究 ．并 结 合某 大 型可 伸缩 式 液压 驱动 机构 的底 座 部分 ，开 展 了仿 真实 验 研究 ，分 析 了末 端大 质量 能够 对振 动进 行抑 制和 衰减 。

2013／1O1 问题分析在不 考虑 阻尼 的情 况 ，系统 的 自由振动方 程 为 ： ^ (t)+Ka(t)=0 (1)式 中 ：M 、K、五和 a分 别 为系 统 的质量 矩 阵 、刚 度矩 阵 、加 速度 向量 和位 移 向量 。

式 (1)解 的形 式 为 口=西sin[09,( 一t0)]，其 中 为一个 阶 振 型 向 量 ， 是 向量 西 对 应 的 频 率 ，t和 t。对 应时 间变量 和初始 条件 的时 间常 数 。

将 解 n=西sin[ (￡～ 。)]代 入 自由振 动方 程 ，得 到广义特 征值 问题 ：K4,一to2Mdp=O (2)求 解 即 可 确 定 系统 的振 型 向量 西 和 相 应 的 频 率 。

根 据方 程 自由度 的数 目，可 以得 到 系统 n个 特 征解 ( ， )，其 中 第 i阶 频 率 09 对 应 的 振 型 向 量 ，并且 有 ：'bTM~b =1 (3)式 (3)的成立 ，这样 规定 的振 型为正 则振 型 。

将 特征 解 (oJ 2， )、(∞ 咖，)代 入式 (2)，得 到 ：K }=oj2M~b ．X巾；：m M巾i 04前 一 式两 端 乘 以 ，，后 一 式 两端 乘 以 ，，并 由和 M 的 对 称 性 推 知 ：鬣 = ，(∞ 乙 )~TMqbF0 (5)当 09 ≠ ，时 ，必 有 ：M =0 (6)式 (6)表 明 固 有 振 型 对 于 质 量 矩 阵 M 是 正 交 的 ，转 化 后 等 式 (3)有 且 仅有 i=j时 ，咖， 产1， =09,i2；i≠ 时 ， =0， 盔 =0。

若 定 义 ：= [咖 咖： ? ]『 。 ]： I 。 ． I (7) = l
I ’ l J则 自 由振 动 系统 特 征 解 的 性 质 可 以 表 示 成 ：咖 M =1，( _一 (8)式 中 ： 为 固有 频 率矩 阵 。

利用 上式 ，原特 征值 问题 可 以表示成 ：西：M西 P (9)式 中 ：系 统 刚度 矩 阵 和质 量矩 阵 M 是 由各个 单 元的 刚度矩 阵 和质 量矩 阵 Me求 和得到 的 。

= ∑ ．Ko=}曰_rD曰dV ^ ∑Me，Me= l pNrNdV (10)式 中 ：D 为弹 性 矩 阵 ，取 决 于 弹性 材料 的弹 性模 量 层2013／10和泊 松 比 ，|D ；N 为 单元 的插值 函数 或形 函数 矩 阵 ，是 空 间节点 的坐标 、y的一次 函数 ，Ⅳ-[ ? ⅣⅢ]，对 于 三 角形 单 元 =— ( +6 +c )，A 为 单元 面积 ，ct／、b 和 C 为 单元 线 性 形 函 数 的 系数 ，有单 元 的空 间坐标差 值 计算 得 到 ；曰 为单 元 的应 变矩 阵 ，其 中应 变矩 阵的分 块 矩 阵是 产￡ ， 为插 值 函数 微分 算子 的 函数 为单元 所 围成 的体积 。

由式 (10)可 以看 出 ，集 成 单元 的质 量是 材 料 密 度p和插 值形 函数 的函数 ，而集 成 单元 的 刚度 则是 材 料的杨 氏模量 、泊松 比以及 插 值 函数 微分 算子 的 函数 。材料 密 度 、杨 氏 模 量 和 泊 松 比在 材 料 变 形 过 程 中 几 乎 不发 生 变 化 。因 此 在 对 系统 进 行 力 学 行 为 的 分 析 研 究 时 ，作 为常数 进行处 理 。

当结 构单元 的插 值 函数确定 后 ，其质 量矩 阵 和刚度矩 阵 就可 以确定 下来 ，两者具 有很 好 的依 附特性 。当增加 系统 的分 布质量 时 ，在材料 参数 相 同的情 况 下 ，局部 的刚 度顺势 增加 ．固有 自然 频率 依据 刚度 和质 量 的比值大 小而发 生改 变 。因此 控制 材料 的分 布行 为 ，就 可以 达 到 控 制 系 统 的微 幅 振 动 行 为 。

2 仿真实例2．1 系统 模 型以某大 型可伸 缩式 液压 驱动机 构 的底座 部 分 的系统动 力 学 分析 为例 ，建 立 系统 的 有 限元 模 型 ，见 图 1。

系统 的基本 网格 剖分采 用六 面体 实体 网格形 式 。忽 略系 统 内 部 运 动 部 件 之 间 的 相 对 运 动 。在 此 确 定 位 置 ，零部件 之 间的 连 接 方式 采 用 Rigid方式 进 行 固定 连 接 ，其邻 近节点 之 间力 的传 递行 为有 ：{F }：一∑({ }+{ lU}+{ })一{F } (1 1)式 中 ：{ }为单 元 节 点受 到 的外 加 载荷 ；{ 。}=一[C ]{五}为 单元 节 点 的 阻尼 载 荷 ( 为 单 元 阻 尼 系数 ， 为节点 的速 度 向量 )；{ }=[ ]{／}为 单元 节点 的惯性 载荷 (Mo为 单 元 的 质 量 ，／为 节 点 的 加 速 度 向量 )；{F }为施 加在 节点上 的 向量载 荷 。

依 据 系 统 实 际 的 受 载 行 为 ．在 底 座 部 分 施 加 与 实机械制造51卷 第590期际受载 状况 一致 的约束 行 为 ，即底 座部 分所 有 节点 的自由度 全部 进行 约 束 。

对 结 构关键 部 件 的材料 模 型及 参数 ，采用 拉力 机完 成拉 力试 验 测试 ，根 据材 料 的拉 伸 曲线 。采 用 曲线 拟合 的方 法 。对其 在 弹性 变形 区 间 的变 形 行为 进行 拟合 ，通 过线 性逼 近 获取 材料 的模 型参 数 。在 线 弹性 形变 范围 内 ，材 料 的 杨 氏 模 量 为 206 GPa，材 料 密 度 为 7 850kg／m ，泊 松 比 为 0．28，屈 服 强 度 为 3l5 MPa。

2．2 模 型 求 解 及 仿 真 分 析将 上 述 驱 动 机 构 建 立 的 有 限 元 模 型 ．施 加 必 要 的边界 约 束条 件 、材 料 模 型及 其参数 。对模 型进 行 有 限元分 析求 解 ．获取 系统 的固有 自然 频率 及 相应 的 自然频率处 的模态 振型 ，即运 动 的模式 ，输 出各 阶振 型 的最大 、最 小 应 力 峰 值 。

表 1 系统前十阶固有特征模态阶数 特征值／(rad ·s ) 角速度／(tad·s ) 频率／Hz 周期／s1．97x10 44．4 7．07 0．1412．56x 10 160．0 25．5 0．039 32．95x104 172．0 27．3 0．036 6四 4．46xlO 2l1．O 33．6 0．029 8五 7．74x10 278．0 44．3 0．022 6／、 8．69x10 295．0 46．9 0．O21 3七 1．16x10 341．O 54．3 O．O18 4八 1．36x10 369．0 58．7 0．017 0九 1．96x10 442．0 70．4 0．014 2十 2．04x10 452．0 71．9 0．O13 9其 中系 统 的前 十 阶模 态频 率 见表 1，从 模 态振 型上 ，系统 零部 件没 有被 抛 出 和有过 大 的应 变位 移 、应 力不 连续 等 现象 产 生 ，保 持 了 与实 际物 理 系统较 好 的一致 性 。而 且 从 系 统 本 身 的 结 构 来 看 ，不 存 在 某 些 方 向 的 相 近 尺 寸 ． 即 从 结 构 整 体 上 来 看 ，不 存 在 既 关 于 轴 对 称 的 零 部件 ．同 时 也关 于 l，轴对 称 的这 种 结 构 ，初 步 确 定 系 统 的 固 有 频 率 没 有 非 常 接 近的两 阶 固有 特 征 ，分析 仿 真 的结果 也 验证 了 这 一 点 。相 应 的 系 统 前 二 阶模 态 振型 云 图 见 图 2和 图 3从 前 二 阶 系 统 的振 动 模 态 应 力 云 图上 来 看 ．应 力 云 图 具 有 很 好 的 应 力 过 渡特 征 ，系 统 的 结 构 是 连 续 的 ，得 到 的 应 力分 布行 为也 是连 续 的 ，没 有 出现零 部 件局 部 超 大 且 非 连 续 性 位 移 的 情 况 。 同 时抽 取 系 统 典 型 零 部 件 (见 图 1)，对 应 各阶模 态 振型 的最 大 、最 小 应力 极 限值 见表 2。

观察 不 同 的零部 件 在各 阶模态 时 所机械制造51卷 第590期输 出 的最)k／最小 变形 位 移 的状 况 ，考 虑零 部 件 在 系统中所 处 的位置 ，如 H 、H。处 于 系统 的核 心零 部 件 的位置 ，对 系 统 的安全 性起 着决 定性 的影 响 ，其 动 力 学行 为对 系统 的稳 定 性 、振 动 的传 递 等 ，均起 着 决 定性 作 用 。

具有 大质 量 、大跨 度行 为 的尺寸 特 征 ，在局 部 坐标 系下 ，沿 着 z轴 运动 ，是 它们 的 主要 运动 方 向 。而沿 着轴 、y轴 的移动 以及 绕 、y和 Z轴 的转动 是 无效 的运动 行 为 。空 间 节 点 具 有 6个 方 向 的 自由 度 ，由于 材 料 的变 形 ，在 非 主 要 运 动 方 向 ．具 有 一 定 的 辅 助 运 动 或 称 为干扰运 动 行为 ，对 这些 干涉 运动行 为 的控 制 ，能够 极 大表 2 典型零部件的前十阶模态位移的 Min／Max统计值零部件 H模态 阶次 四 五 ／、 七 八 九 十最~,／mm 0．04l 2．06 3．83 0．04 0．71 1．14 337 O33 0．10 O．12最大／ram 23．89 18_38 24．52 17．80 7．98 10．0O 22．73 10．24 6_33 41．09零部件 H模态阶次 四 五 ／、 七 八 九 十最~,／mm O．O2 8．48 8．58 0．12 3．72 2．92 5-27 0-28 0．07 0．04最大／mm 31．52 15．76 19．O1 23．87 13．94 20．4l 25．12 21．66 5．7 20-89零部件 H模态阶次 四 五 ／、 七 八 九 十最~,／mm 0．23 9．3 0．73 O-32 4．79 2．45 0-33 O．18 0．14 0．18最大／ram 27．72 18．6 22-3 18-37 21．13 34．85 40．62 12．76 12．7 25．54零部件 H 。

模态阶次 四 五 ／、 七 八 九 十最／l~／mm 15．95 10．45 6．19 8_37 12．37 11．33 19．5l 3．41 2．45 1．0O最大／ram 40．61 48．66 43．49 46．55 54_35 50．29 44．99 28．17 42．92 17．792013／10国地提 高系 统运动 的稳 定性 和可靠 性 。

相 对 零 部 件 H 、H 。在 系 统 中 的 位 置 没 有 H 、H 那样 的 大 质 量 ，以 及 三 维 尺 寸 比差 距 那 么 大 ，其 自身 相 对 复杂 ，融合了较 多 的尺寸特 征 ，在各 阶模态 振型 中 ，较容 易引 起 自身 振 动 行 为 的 发 生 。表 2中分 析 仿 真 得 出 的 数据 结 果 ，可 采 用 图 4、图 5的 离 散 图进 行 表 达 。

从 图 4输 出 的典型零 部件 模态 位移 的最 大值 可 以看 出 ，在 前 十 阶模 态 位 移 输 出 的零 部 件 H 、H。的振 动行 为 处 于 较 为 稳 定 的 中 间 区 域 ，而 零 部 件 H 的 模 态位 移普 遍较 大 ，H，的模 态 位 移 ，漂 移 性 比较 明显 ，主要是 由于其 几何 尺 寸偏差 较大 ．既存 在 厚壁 结构 又存 在薄 壁 特 征 ，前 者 的 特 征 更 倾 向 于 实 体 ，而 后 者 薄 壁 结 构的 自然 频 率 相 对 较 小 ．极 易 引 起 系 统 的 振 动在试 验 分析 阶段 ，如果 位移 传感 器或 者加 速度 传感 器 摆 放 位 置 不 当 ，就 会 造 成 测 试 数 据 失 真 等 问 题 。相对 最 大 模 态 位 移 的 响 应 行 为 ，最 小 位 移 的 响 应 行 为 见图 5。从 图 中可 以得 出 ，零部件 H，。的最 小模态 位 移依然 比较 大 ，而 H 、H。的前 十 阶 最 小 模 态 位 移 中 有 超 过 50％的为零 。有 3个位 置 ，两 者 的模态 最小 位移几 乎相近 ，处 于 系 统 整 体 的 振 动 行 为 ，而 H，依 然 具 有 较 强 的漂 移 特 性 。

3 结论针 对 某 型 号 液 压 驱 动 臂 固 有 特 性 的研 究 分 析 。发现在材 料特 性参 数相 同的情 况 下 ，结 构 空 间尺寸 、系 统的质量 分 布特征 等 均会对 系统 的 自由响应行 为 产生 影响 ，通 过 分 析 可 以 得 到 以 下 结 论 。

1)在使 用相 同材 料参 数 的模 型 中 ，尺寸 维 数相 对单一 的结 构 ，其 振动 行为 相对 简单 ，如分 析过 程 中零 部件 H。、Hq最 大 的 自 由振 动 位 移 相 对 比 较 稳 定 ， 而 且 能够代 表系 统 的整体 振动行 为 。

2)当系统 的结 构维 数较 为 复杂 时 ，极易 引 起 自身2013／10的局 部振 动或 者在外 界激 励作用 情 况下 ，引起激 振 响应等 被动 响应 ，尤其 是具 有介 于板 壳 和实体 之 间 的结构 特 征 ，如 零 部 件 H 。

3)在 系 统 设 计 方 面 ．基 于 系 统 响 应 行 为 的 分 析 ，应 尽 量 在 功 能 件 上 减 少 薄 壁 件 的 使 用 ，增 加 支 撑 强 度的 同 时 。减 少 不 必 要 的 振 动 行 为 。

4)从 应 力 云 图 以 及 最 大 ／最 小 响 应 位 移 的输 出 状况 来 看 ，可 以 得 出 ，大 质 量 体 (H 、H。)具 有 较 高 的 稳 定性 和抗 振动特 性 ．其动 力学稳 定 性更 多地 反应 系统 整体 的稳 定性 。

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