非线性弹性地基上矩形薄板的动力学研究

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Dynamics of thin rectangular plate on nonlinear elastic foundationGAO Yong-yi ，TANG Guo ，WAN Wen(Hunan University of Science and Technology，1.College of Physics，2.School of Mathematics，3.School of Mining and Safety Engineering，Xiangtan 411201，China)Abstract： Tile seismic response characteristics and vibration stability of a thin rectangular plate on nonlinear elasticundation were investigated in consideration of the damping and the nonlinear effect of the foundation plate.A nonlineardynamical equation of the smal deformation thin rectangular plate on nonlinear elastic foundation subjected to harmonicexcitation was established. The frequency response equation was derived，the frequency response characteristics weresolved and nonlinear dynamic responses to a seismic excitation were analyzed by using the method of harmonic balance。

The effects of nonlinear factors and the nonlinear vibration stability of theundation plate were studied.The boundaryequation dividing steady region and instable region was obtained.The condition，under which nonlinear factors of thefoundation plate can be ignored，was acquired.The conclusions are helpful to the accurate design and effect analysis ofthe foundation plate。

Key words： nonlinear elastic undation； thin rectangular plate； nonlinear vibration； frequency responsecharacteristics；stability地基板是工程中常见的结构，在公路路面、机场跑道、停机尝工业地坪以及建筑基础等多种工程中都会遇到亟待解决的地基板的问题，因此对地基板的研究是非常必要的，具有十分重要的工程意义。但在解决地基板问题的时候通常忽略地基板非线性因素，用线性方法进行研究。实际上地基板是非线性的，因此有必要对地基板问题进行非线性研究，由此，地基板问题的非线性研究引起了国内外专家学者的充分重视和广泛研究。Gajiendar 、Nath 2j、Dumir 、邱平等 研究非线性弹性地基上圆卞的振动问题。杨志安等 4研究了非线性弹性地基上受简谐激励矩形卞的主共基金项 目：国家自然科学基金项 目(51175172，5t174088)；湖南省 自然科学基金项目(1OJJ6008)收稿 日期：2012-06-25 修改稿收到日期 ：2012-10-O9第-作者 高永毅 男，博士，教授，1958年生振与奇异性问题；温度场中非线性弹性地基上矩形薄板主共振问题；非线性弹性地基上矩形卞受双频参数激励作用的非线性振动问题；非线性弹性地基上矩形卞的非线性振动与奇异性问题；非线性弹性地基上矩形卞的主参数共振问题；Winkler地基上四边 自由矩形卞的超谐波、亚谐共振与奇异性、混沌问题。

彭震等 副研究了温度场中受简谐激励作用的Winkler地基梁，分析了激励、阻尼等对系统响应曲线的影响。

俞卫琴等H 研究了位于非线性弹性地基上受均匀横向简谐激励作用的小挠度矩形卞动力学模型的全局分岔问题。葛根等 副研究了矩形卞在面内随机参数激励下的随机分岔和随机最优控制下的首次穿越问题。以上研究主要是对非线性地基板的主共振求解方法；数值计算；温度、阻尼系数、地基系数、几何参数等对主参数共振的影响；有界噪声激励下温度场中非线性弹性地基上矩形卞的随机振动等问题进行了研第16期 高永毅等：非线性弹性地基上矩形卞的动力学研究 183究；并没有对地基板非线性问题解的稳定性、频率响应特性和非线性因素对其影响，即：地基板的非线性振动特性进行研究。

为了能给地基板的设计、计算分析提供可靠的理论依据，对地基板的非线性振动特性的研究是很有必要的。因此，本文在考虑了阻尼和地基非线性效应的基础上，建立了小挠度矩形板横向均布简谐激励作用下的非线性动力学方程；用谐波平衡法研究了其非线性振动特性；导出了频率响应方程，研究了频率响应特性；讨论了非线性因素的影响，得出了非线性弹性地基板非线性因素的忽略条件；分析 了地基板的非线性振动的稳定性，得出了稳定区和不稳定区的分界线方程。

1 矩形卞的非线性动力学方程1.1 非线性弹性地基上矩形卞的非线性动力学方程