考虑减速机构间隙的机械臂动力学建模分析

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Dynamic M odeling and Analysis of Robot Arm with Consideration ofClearance in Gear ReducerLU Jianwei CHEN Hao SUN Xiaoming XU Yi(School of Mechanical and Automotive Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009)Abstract：Dynamic modeling of single link robot arlTl with consideration of clearance in planetary gear reducer is discussed，and theinfluence of the clearan ce on dynamic response of the mechan ism is analyzed.The contact state of gear pair is described withtwo·-state model and the dyn am ic model ofplanetary gear reducer with consideration of clearance and time-varying meshing stifnessis built by adopting lumped mass method.Based on assumption of Euler-Bemoulli beam and the assumed mode method，the elasticdeformation of the flexible robot ann is presented.Therefore，equations of motion(EOM)of the system are obtained based onLagran ge equation and the solution is carried out by using Adams variable step-size multistep integral method.The results indicatethat the responses of the robot system change obviously when clearance in gear reducer is considered an d the clearance become thedominant factor to influence the positioning precision of the robot arm with the increment of clearance.Tle results providetheoretical basis of improving the positioning precision of the robot arlT1。

Key words：Plan etary gear Flexible robot arnl Clearan ce Nonlinear dynamics0 前言近年来，随着机械臂在精密机械制造、航空航天等领域的应用越来越广，对机械臂定位精度等工作性能的要求也越来越高。机械臂动力学建模及分析是掌握机械臂动态响应规律，提高其工作性能的重要步骤，国内外学者在这-领域内进行了大量研究。特别是近些年来，随着非线性科学的发展，对机械臂结构非线性环节的建模分析等相关研究也不·国家 自然科学 (50975071)和教育部新世纪优秀人才支持计划('NCET-IO.0358)资助项目。20121115收到初稿，20130527收到修改稿断深入。例如，王磊等Ll 研究了机械臂刚柔耦合的非线性特性及机械臂结构参数变化对末端振动的影响；ISMAIL等2J分析了关节柔性与杆件柔性之间的耦合关系；潘博等L3 建立了考虑关节柔性和摩擦特性的机械臂动力学模型；文献[4.5利用假设模态法和 Lagrange方程对柔性杆件进行了动力学建模。

上述工作为进-步完善机械臂建模分析等相关研究提供了很好的基矗需要注意的是，机械臂减速关节中常用的行星齿轮机构中，由于制造、装配和润滑等需要，齿轮啮合间隙不可避免，而啮合间隙可能导致机构动力学响应发生变化，进而影响机械臂工作性能。为此，本文以采用行星齿轮减速16 机 械 工 程 学 报 第49卷第15期机构的单杆机械臂为研究对象，建立了计入行星减速机构间隙的柔性机械臂动力学模型，讨论了计入减速机构间隙对机械臂动力学响应的影响，为进-步改善机械臂的工作性能提供了参考。

1 含间隙行星减速机构模型含减速关节的机械臂如图 1所示，驱动电动机通过-个 2K-H型行星齿轮减速机构带动机械臂转动。含间隙行星齿轮机构模型如图2所示，包含太阳轮、3个行星轮、行星架和齿圈。采用集中质量模型并基于如下假设建立其非线性动力学模型。

(1)齿轮均为直齿圆柱齿轮，3个行星轮结构参数相同，并且运动形态-致。

行星轮斗] l--太阳轮宁l l 1驱动电动机 上 l行星架H- ， ，，s图2 含间隙行星齿轮减速机构系统含有3个自由度：太阳轮角位移 、行星轮自转角位移 和行星架角位移 。把旋转部件角位移等效为沿啮合线上的线位移，即太阳轮的线位移行星轮的线位移 和行星架的线位移Xe，并有I (1) rc COSa式中 ， 太阳轮、行星轮的基圆半径- - 行星架的半径- - 行星轮的压力角设太阳轮和行星轮沿其啮合线传递误差为 ，行星轮和齿圈沿其啮合线传递误差为 ，并有I -Xp～ (2)- - 设太阳轮和行星轮齿侧间隙为 2 ，行星轮和齿圈齿侧间隙为 2 ， 则太阳轮与行星轮的弹性啮合力 与啮合阻尼力 ，以及行星轮与齿圈的弹性啮合力 与啮合阻尼力 ，可由式(3)给出% (f) ( ， )rkpr kpr (t) fk( Xpr)，(t)fk x，r 6p，) 3) ～ ( ， )式中， (f)、 为太阳轮与行星齿轮的时变啮合刚度和啮合阻尼， f)、cp 为行星齿轮与齿圈的时变啮合刚度和啮合阻尼。为方便计算，仅考虑时变啮合刚度的平均分量和基频分量 ，并表示为(f) sin(coJ‰) (4)式中 ，k- -平均啮合刚度、变刚度幅值∞。--啮合齿频0- - 初始相位角设 为阻尼比，m·、mz为两啮合齿轮在基圆半径厂上的等效质量( )，啮合阻尼可由式(5)得到 J - c2(/kl(1lr41/m2) (5)式(3)中， 、 是考虑齿侧间隙时描述轮齿啮合力的非线性函数，具有分段非线性特征 ，由式(6)给出(P，b)P-b P>b0 -b≤P≤bpb P<-b由Lagrange方程可得到系统的运动微分方程，s 3( ) (I pp- ( ecs pq'F ksp)- Fc-pr3-(Fkpr)rp O- (8) ( 3 ) -( - ，)re cosa0式中 厶， --太阳轮、行星轮的转动惯量厶，厶 --行星架、机械臂的转动惯量- - 电动机输出力矩其中电动机输出力矩 的表达式如下am-bm (f)a -6m sinat (9)式中 a ，6， 厂电动机参数O--输 出转矩波动将方程式(8)转化为传递误差 、 和 民 的2013年 8月 卢剑伟等：考虑减速机构间隙的机械臂动力学建模分析 17方程. . 1 BB . B BB 。

M pM "。 3M p-M "争 胎n 3M sM p-M sM - - - - - - - - - - - - - - - - - -- --- 3M pM M sM 七3M sM p定义时间标称尺度 09 和位移标称尺度 b。，令量纲-时间参数f∞ t。则有 ， bcojc， 。 将微分方程组归-化，可得南 ( ) B j BCpr ( ) B 定去 ) )去 ( ，)去 ( ) C prfc(Xpr)去 ) ( )去 ) ( ，)。 - n (1)置-去 ( )- 3Cpr )- 觚)- 3 ( ，)。

(sinAx-sl ) (cosAx-chAx)(12)2 计入行星减速机构间隙的柔性机械臂 -/、，丁' -U 式中，图 3所示柔性机械臂可简化为 Euler-Bernouli梁，其轴向变形和剪切变形相对于弯 曲变形可忽略lI 。不计梁的重力影响，记机械臂长度为 ，截面积为 ，线密度为 P，抗弯刚度为 ， 为作用于机械臂固定端的驱动力矩，0为机械臂的角位移。OXY为固定坐标系，Oxy为固结在机械臂上的浮动坐标系，坐标原点位于行星架的中心线上。P为机械臂上任意-点，其弯曲变形记为w 力。

- x图3 柔性机械臂模型柔性机械臂可看作是-端固定、-端 自由的梁，其第 ，.阶振型为COS8 chat sin8rl-shAl 可由式(13)得到cos(A1)ch(A )-1 (13)梁的第 i阶模态坐标记为 g ( ，由振型叠加法可得到梁的弯曲变形量w(x，f)∑仍( ) ) (14)柔性机械臂杆件的动能： f 柔性机械臂的弹性变形势能： 由Lagrange方程可得到系统的运动微分方程。

在确定模态截断阶数时，根据截取模态的演算结果发现，截取前 4阶模态即可达到较高的精度。同前面处理方法相同，最后得到如下-组量纲-方程。

0 缸 每Q1nl18 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 15期玺 等( ) co， a l4-k ( ( )等 ( )毒 (f ( )·a%l7：c(r) dis a19 等 等：/'pr a21 /.[f) ( )a%2 f(X，p)a 23 k f) ( ) ( ) a18 -. a19 -z alO g， all -嚣 薏 a34 . a 35t-[f ( )a%36 fc(X，e)a 37-k ( ( )a 'f(Xp-、。

a41 a42 -a43 --a44 -( 145tk (f) ( )薏 ( )a 47k r) ( )a%'8 f(Xpr)-彘 a54 a sk(f) ( )薏 ( )a 57k(f ( r)薏 (口∞ 薏 薏 a64 a65 t.：f ( )薏 ( )a 67k f)fk(Xpr)-n fc(Xpr)薏 嚣 a74 - a 75k (f ( )a%76 fc(Xsp)a 7-k (f ( )a%78 fc(Xpr) g g厶 PAJoxoflx出 州 i1，2，3，4aolCOS COSOt- - - - - - 口OffI1 - - ：- BBal32al2 - [砉 1 a36a12 ] - - Jsq 1- 3 1- J 4 6 - I6口18 - a19 ： - allO ： - 口川 ： - -a34 a36a22 a21sp I 1刳a36口24 3 口 。 -∑ (f1)口3f：lntlnif1，2，3，4 36：3 c。s口 口35：36a3636 a37：36 a3836n4o oL1 口4l"：(-a30厶l-口o2口31)a4f-ao2a3f i2，3， ，8口5o 0L a52寻(-a3o厶2-口03口32)a5f -ao3a3f i1，3， ，8口6oa3oInf3 a63(-口30L3-c 3)a6f-ao4a3f il，2，4， ，8口70a3olnf a74(-a3o厶-a05口34)a7f-a05a3f i1，2，3，5， ，8假设由太阳轮到行星架的传动比为妇，考虑行星齿轮齿侧间隙时，机械臂转角为 ，不考虑齿侧间隙时，机械臂转角为 ，c，则由齿侧间隙引起机械臂转角差为△ 。由于机械臂是柔性的，机械臂末端定位误差厶 由两部分组成：齿侧间隙引起的定位误差和机械臂末端变形 。 和. 的表达式如下。

△ - -二 已- (18)4 ta Adr △ ∑ (乇 ) O)(19)fl3 数值分析基于上述模型，通过数值算例分析计入行星齿轮减速机构间隙对机械臂动态响应的影响。假设电动机转矩波动简谐激励的频率为 1 07c，太阳轮-行星轮和行星轮-齿圈啮合间隙均为 26，对空载下计入行星减速机构间隙的单杆柔性机械臂动力学响应进行分析，分析时所用的系统结构参数如表 1所示。

分别计算 bO 1.tm，10 p.m，50 p.m，100 m等不同间隙下系统的响应，分别用传递误差 和机械臂定位误差厶考察减速机构及机械臂的动态响应。

图 4、5为齿侧间隙为 0时的分析结果，从中看出， 和厶 的稳态响应为周期运动，由于时变啮合刚度的影响， 出现了与时变刚度内激频率相关的成分，而厶主要是由机械臂弹性变形引起的。

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作者简介：卢剑伟，男，1975年出生，博士，教授，博士研究生导师。

E-mail：jwlu75###163.corn陈吴，男，1988年出生。主要研究方向为机械系统动力学与控制技术。

E-mail：chenhao040###aliyun.corn孙晓明，男，1987年出生。主要研究方向为机械系统动力学及低噪声设计。

E-mail：sun2990###126.corn徐颡，女，1989年出生。主要研究方向为机械系统动力学与控制技术。