几种简谐摆的理论机制和应用

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摆动是常见的-种机械振动，它广泛地运用于我们生活当中，但是在许多实际物理问题中却往往以-种全新的甚至是陌生的形式出现 ，使得我们感到无处着手。然而，复杂的问题，往往可以用熟悉的、简单的物理模型加以联想、迁移 、等效及再现等方式得到拓展 。在本文中，我们首先致力于讨论单摆 、复摆和扭摆三类简谐摆产生的物理机制，继而介绍它们在生活中的拓展应用，以帮助大家更好地理解以物理模型为基础来解决实际问题的方法观。

1.单摆的振动与简谐振动1.1星度单摆的振动- 根无弹性轻绳(或轻杆)下端悬挂-小球(可视为质点)，上端可以在-支点处 自由振动 ，这种系统称为单摆。单摆是-种理想化的模型，该模型中的摆线伸缩和质量、空气产生的阻力等因素全部忽略，而且摆角也严格限制不超过 5。。

图1单摆模型图1所示，为单摆模型。通过受力分析，小球此时受到绳的拉力 F和重力 G的作用～重力沿圆弧路径的径向和切向分解 ，径向分量为G2 cos0，切向分量为 G1：-mgsin0为回复力。根据牛顿定律建立动力学方程：G maml ，因而有 ：髻-若 很小，sin 可以展开为级数形式：sin 0- 03 05- 07...2，此时 0的高次项若忽略不计，只取第-项得 sin0-0，此时单摆的运动方程为：磐 -粤sin ：- (1)其解为：o(t)A cos( f ) (2)其中 A为振 幅， 为角频率 。从 (2)式可以知道 丁： ，而(cJ f孚，所以单摆的周期公式为T2 f上。

g1.2任意角度无阻尼单摆振动上面讨论的是星度无阻尼单摆 ，若是任意角度无阻尼单摆的振动，情况又如何呢大量实验表明，当摆角小于 15。时，单摆还近似是简谐振动，它的周期在此时可认为是等同的，当摆角大于 15。以上时，单摆 的振 动周期就会 随摆角增加而增加 ，此时 ，理论上不可忽略sin -等筹- 07.·中的高次项，单摆运动方程将按照 sin 0来 描 述 。 对 这 个 运 动 方 程 进 行 变 形 ：dea dT) 2 sin o，两边同乘以 dO得，d口Od (d口O ∞2 sin -o，并对t积分得：(譬)。f20；。cos0 (c为积分常数) (3)由于在最大角位移 00。处，角位移 0，因此 ，积分常数c- c。s 。，则由(3)式得：甜 I。

。 -dO。 设to时， 0，并设振动周期为T，则在tT/4时应有 00，运用半角公式得：T/4 d O (4)将 0表示成 p的函数，并写成两边求导可得 ：sin百0osin 。当 1

g除此之外，单摆系统还可能存在阻尼情况，线性方程将 自然向非线性转化 ，甚至可能出现吸引子 。实际情况下 ，为使单摆接近无阻尼状态，所选用的摆球应该是高密度小体积的球，使得空气的阻力远远小于小球的重力。

l3单摆的应用在生活中应用单摆，主要依据单摆的周期性和等时性。例如，可以利用单摆周期的等时性来制造时钟。也可以利用单摆的周期公式丁2 f 来测重力加速度，即g冬 。对于重力加速度的测量，为克服测摆球的直径带来的误差 ，也可以分别测出同-摆球在不同摆长和 的周期T 2Tc/ 和T z2兀/垒 。由此消去r得该地的重力加速度g [51。

2.复摆的运动规律及其应用2.1复摆的物理规律图2复摆模型- 刚体绕-固定的水平轴0(不通过质心)在重力作用下能绕其平衡位置来回摆动，这种系统就称为复摆。如图2所示，设水平轴0到质心C的距离为 ， 为 与竖直方向之间的夹角。当 0时，刚体处在平衡位置，当摆角为0时，作用在刚体上的力矩为 -mglsin0，即为回复力，其方向总是使 0的绝对值减小的方向。当 0足够小时，同单摆近似处理-样，用 0代替 sin0，此式可写成 M-mglO，即为线性 回复力矩。由刚体转动定律可得 1(.1，-( 1～mglO(其 中I为转动惯量 )，令02- -ra g!，则 ：雾：-020 ㈩其中，振动周期为：丁丛2Ⅱf 。显然，若复摆摆角过大， 叫o I m 它们的周期-样将是振幅的函数。

2.2复摆的应用对于形状复杂的刚体，转动惯量 I往往是很难计算的，利用汹角下复摆周期的等时性可计算转动惯量，即测出T、m、，和重力加速度代人公式 J：-mg-lT 中算出I。 反之，也可以利用这些量的关系来测重作者简介：吴波(1979.11-)，理学博士，遵义师范学院副教授，主要研究方向：计算物理和计算机辅助教育技术。

G科技信窟力加速度。如果设 L I，则复摆周期公式可改写为丁2 J昔，它与单摆的周期公式相似，只要测出复摆的周期T及其等效摆长L 就可求出重力加速度g，即g： T2 3.扭摆的研究及其应用3.1扭摆的物理规律X图3扭摆模型如图3所示，将金属丝的上端固定，下端与-水平匀质圆盘的中心连接。在惯性参考系中建立-个坐标如图，当金属丝未发生扭转变形时，圆盘处在平衡位置，这时盘的半径与x重合。令圆盘从平衡位置绕z轴转过-个微星度后释放，这时金属丝由于扭转弹性，对圆盘施加使其回到平衡位置的力矩，此力矩起到回复力矩的作用。圆盘在这个力矩作用下将做来回往复的扭动，这样的系统就称为扭摆。当扭摆的角度 足够小时，上述回复力矩可表示为M -c ，c为金属丝的扭转弹性决定。设圆盘对 Z轴的转动惯量为I，略去金属丝的质量，根据转动定律可得：J --f ，令 o ：了C，则上式可表示为：，/2 f) o (8)f其 中 ， 是 由振动 系统本 身性质 决定 的 ，其振 动周期 为 ：T- ：27c 5/ ㈤ (r13-2扭摆的应用扭摆在实验物理学和科学研究工作中都有着广泛的应用 ，如扭摆法可用来测钢丝的切变模量，扭摆的阻尼振动可以测量液体的粘滞系数 ，等等。下面以扭摆的阻尼振动测量液体的粘滞系数为例，来说明扭摆的特征。

扭摆在介质中，尤其在液体中振动时，由于介质阻力，它必然受到阻尼力 M 的作用。当振动频率和角速度 ： 不大时 ，M 与角速度成正比，即 M1：-y 。对-定的扭摆和介质，y是-常数，称为阻尼系数。计人阻尼矩后，扭摆的运动方程可表示为：y ：。

直接测量扭摆作阻尼振动时同-侧任意相继两次的角振幅 、，引进对数减缩因子A，则： In In- T (9)l 其中T为扭摆周期。(1O)式中若没扭摆的金属圆盘表面和盛液的玻璃圆缸内壁都是光洁的，则可认为与金属表面接触的液层完全附存金属表面，两者之间无相对运动，与容器壁接触的液层也完全附在器壁上，此时阻尼系数 y与液体粘滞系数 成正比，即 切 。对-定的圆盘， 为常数。试验时分别将扭摆置于两种液体中，在同样条件下(指容器、液体体积、圆盘位置等)，测得其对数减缩因子 、 和周期 丁 、，即可由已知的液体粘滞 系数 目 ，求得待测液体的粘滞 系数。 4.迁移应用现实生活中的-些技术应用环节，还广泛使用着许多摆。它们装置各异，功能干差万别，但是，究其物理机制，这些摆大多来源于上面阐述的几种常见的简谐摆。例如，在工业中有-种记录地震装置的水平摆，如图4(a)所示：摆球 固定在边长为 L、质量可忽略的等边三角形顶角 A上，它的对边 BC跟竖直线间的夹角为 n，摆球可绕固定轴BC摆动，求当地面振动时，摆球作微小振动的周期。如果我们将摆球的重力作用线反向延长，将转轴BC也延长，它们交于-点 o，如图(b)所示，若把 。点视为单摆悬点，那么 OA就可视为摆长，求摆动周期就转换为求单摆的周期了，因此只须求出等效摆长 ，-切与单摆类似。

(b)图4可见，尽管简谐摆模型比较简单 ，但是处理实际问题时，可以利用等效模型法等，将这样生活中千奇百怪的摆进行规律上的迁移和简化，从而化解难度，活化模型，最终解决许多实际问题。