有杆抽油系统运动规律的数学建模及实例分析

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目前，开采原油广泛使用的是有杆抽油系统 (垂直井，电机旋转运动通过四连杆机构转变为抽油杆的垂直运动)。

电机旋转运动转化为抽油杆上下往返周期运动，带动设置在杆下端泵的两个阀的相继开闭，从而将地下上千米深处蕴藏的原油抽到地面上来。

有杆抽油系统是-个复杂系统，例如，地面悬点-个冲程的运动规律：位移函数、速度函数、加速度函数；地下的泵功图计算，以及利用泵功图估计油井产量等问题。

抽油杆系统的动力学研究-直是人们研究的热点问题f1-[61。 因为该系统动力学极其复杂。例如，抽油机悬点载荷包含静载荷、摩擦载荷和动载荷影响，以及受抽油杆柱轴向振动，泵阀水力损失，柱塞液体摩擦载荷对抽油杆柱轴向振动底部的影响等因素。

为了对抽油杆系统的动力学研究有更深入的理解，本文给出两组抽油杆系统数据 (如下列与图4)，利用下列给出的悬点悬点位移 (单位m)，求出悬点的-个冲程的运动规律：位移函数、速度函数、加速度函数。

2.518.2.512，2.504，2.495J 2.48 4I2l 472，2.459，2.4 4J 2.427，2.41，2.391，2.372，2.351，2.329，2.305，2.281，2.256。2.2 9J2.201，2.172，2。142，2.11，2.07 9I2.046，2.0ll，1.97 5I1l 938，1.9，1.86，1.82J1.78，1.73 5Ill 69，1.645，1.598，1.5，1.501，1.451，139，1.347，1.294，1.239，1.18 4J1I129，1.072，1.015，O.958，0.901，0.84《J0.786，0.729，0l673，0.6l8J 0.563J 0.5l，0.459。0.409，0.36l。0.315，0.272，0.231，0.19310.158，0.127，0.098，0.074，0.052，0.034，0.02，0。01，0.003，0，0，0.004，0。012，0.023 0.037，0.0 54j 0.04J 0.097，0.123，0.152，0.18 3J0.216，0.251，0.28 9J0I 328，0.369，0.412，0.456，0.5O1，0.548，0.596，0.645，O。694，0.745，O.797，0.849J 0.90l，0.954，1.08，1.062，1.116，1.17，1.2 5JlI 27 9j1.334，1.38，1.42，1.496，1.5，1。603，1.65，1.707，1.758，1.808I1.858，1.906I1.953，1.99，2。043I2.08 6J2I127，2.167，2.205，2.241，2.27 5I2I 307，2.37，2.365，2.391，2.414J 2.435，2.454J 2.41I2I 485，2.4912I 507，2.515，2.52，2.524I 2.525，2.52 4J2I 52如下图1，假设 悬点” 下只挂光杆。悬点 的运动过程：t0时刻，曲柄滑块D位于上顶点( 0)，仰平行于水平面， 对应坐标原点 (即 的下死点)，E的位移为o；D运动到下顶点 )时，E的位移到达最大 (即E的上死点)；D接着运动到上顶点l 27)时，E又回到位移为0的位置，完成-个周期 (即冲程)。

已知前臂AO4315rnm，后臂 O2495mm，连杆BD3675mm，曲柄半径O'D：950ram。

176 2013.VOL.513.NO.3二、问题求解(- )问题分析对抽油机悬点位移、速度和加速度变化规律的研究，本文用精确分析法所对应模型分析悬点运动。

图1为抽油机的四连杆简化结构的几何关系和运动特点，如此建立摆动方程用以求解悬点的运动参数 。

(二 )符号说明图1中所用符号具体意义如下：a：游梁前臂长度；b：游梁后臂长度； ：曲柄半径；： 连杆长度；K：OO的距离；H：K在竖直方向上投影；I：K在水平方向上投影；J：OD的距离；0：悬梁后臂在竖直向上方向的夹角；lc，：J与竖直向下方向的夹角； ：曲柄与竖直向上方向的夹角； ：K与竖直向下方向的夹角。

(三 )问题求解为了表述方便，我们将杆水平截面抽象称为 点”。

电机旋转运动通过四连杆机构转变为抽油杆的垂直运动。不考虑抽油杆柱的弹性表现，假设柱塞与抽油机悬点具有相同的运动规律。已知曲柄以角速度 匀速运动，以上死禾斗教论坛 YOUNG青年与社会点( o)为起点，假设口AO bBO，L：BD，r0D，KO0，I为 在水平面上投影，H为游梁定点0距离地面垂直距离。则可得到悬点运动规律。

悬点 A在曲柄转过 角时位移 、速度 、加速度a 可分别由下列式给出：口( -00)；v ia- 日；.：ao2r 竺 ±查2± !竺 二 ： ± 2b Jsin(以上三个式子所用到的参数的关系式如下：① 09t② ③蔬 缸叫 l④怖 ★ - ⑤-，√(Jr s.m)： -G-rcosex-arcc。《 ctal l⑦ act稿 (四 )结果分析口4315m，b2.495m，L3.675m，，0.950m，同时又由题设数据中冲次求得 。I、H的值确定时，可得到以上、 v 、 的竖直解与图形。在此，根据要求，假定H3.542m，，2.845m，可求的方程的图像如下图2、图3所示。

3532.52∞1.540 60 80 100 120 140 160t图 2 模型求出的 与t的关系与速度的变化曲线。由图中可以看出，-个冲程周期内，悬点位移变化趋近于抛物线，速度变化趋近于正弦曲线。

对比精确分析法结果与题设所给数据的结果如下：∞ 图4 模型给出的位移图形32 52∞ 1.510 50O 50 1oo 15o图5 由题设数据求出的位移图形可以直观发现，横坐标t所表示的冲程周期在两者之问误差可忽略。对比图2与图5发现两者的纵坐标误差较大。

当反复验证所提供的四连杆游梁各个尺寸时发现，所提供的尺寸存在-定的不足，并且题设中数据所表现的状况与所提供的抽油机各尺寸之间同样存在不符现象。因此，将原始的悬点位移曲线乘以-个系数后所得曲线如图4所示，此时发现图4与图5之间误差下降。

在此问题的求解过程中，假设了 与，两个常量，这两个常量题设并未提供但却非常重要，在反复验证并比较之后在-个范围之内选取了较为合适的值，其值假定为：3.542m， 2 845m。这两个值的选取在-定程度上影响最终的结果曲线。