焊接机器人运动学分析及轨迹规划研究

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随着工业 自动化技术的提高，焊接机器人技术 日趋成熟，现已大量应用到工业生产中。为实现对石化容器、梁构等大型焊件的自动焊接 ，笔者所在的课题组与北京中电华强焊接工程技术有限公司联合研制了7自由度大型焊接机器人中电-号”。

为了保证焊接质量，桓机器人作业过程中，不仅对末端执行器(焊丝)的位姿、速度及加速度有很高的要求，而且要求运动轨迹为连续平滑的曲线。因此研究者需要建立机器人运动模型，并对其运动轨鉴行规划，从而满足焊接工作的要求。

本研究运用D-H坐标系理论，分析该机器人的运动学问题；并在运动学分析的基础上，在关节空间采用三次多项式函数插值法，研究机器人轨迹规划的问题 ；最后在Matlab7.8平台上 ，运用机器人工具箱 进行仿真，以验证轨迹规划的合理性。

收稿日期 ：2012-11-19作者简介：刘 鹏(1989-)，男，江苏南通人，主要从事机器人技术方面的研究.E-mail：liupengbuaa###yeah.net通信联系人：负 超，男，教授，博士生导师.E-mail：cyun18###vip.sina.com第4期 刘 鹏，等：焊接机器人运动学分析及轨迹规划研究 .391 。

1 运动学分析1.1 机器人结构分析及D-H坐标系建立中电-号”是个7自由度关节式机器人 ，其结构图如图1所示。该机器人由腰部、大臂、小臂和腕部等部分组成，所有关节均为转动关节。

I图1 7自由度机器人结构图从理论上来说，该7自由度机器人为冗余度机器人。但是实际上，机器人的第7关节仅是为了满足焊接工艺需要 ，使焊枪在焊接过程中保持转动，不对机器人末端的运动轨迹产生影响。因此，研究者在进行运动学分析时，只需建立前6个关节的运动学模型。

本研究按照D-H方法建立其连杆坐标系，D-H坐标系的建立如图2所示。

图2 D-H坐标系的建立1.2 机器人正逆运动学分析1.2.1 运动学正解D-H参数表如表 1所示。

根据连杆坐标系和D-H参数表，机器人运动学方程可描述为：： 1223434565 (1)式中： - -第 i个连杆坐标系相对于第 i-1个连杆坐标系的齐次变换矩阵。

且有：㈣ ㈣ (0 ㈨ 置-sO cOI lcl0 0i(2)式 中：cO COS0 ，sO sin0 ，c COS ，s sina0，16)。

表1 D-H参数表将表 1中的连杆参数代人到式(1，2)中，得到机器人末端相对于基坐标系的位姿矩阵 。同时，末端在基座标系下的位姿亦可表示为：Ox 口 pI几，Oy口 P l (3) ： 0： 口 P：l10 0 0 1 l式中：17， cOtcO5cO6cO234c ls 6s 234s ls 5cO6；17，ysO1cO5cO6cO234s ls 6s 234-c 1s 5cO6；17，；-sO6cO234c 5c 6sO234；0 -cOIcO5sO6cO234c 1c 6s 2十34-s 1s 5sO6；0 -sO1cO5sO6cO234s lc 6s 234c ls 5sO6；0 -cO6cO234-c 5s 6sO234；0 cOlsO5cO234-s lcO5；0 sO1sO5cO234c 1cO5：n sO5sO234；P 300.OOcOlcO234525.OOcOlsO2342 040.37c lc 2366.50sO12 003.02c01c02165.OOcOlP 300.OOsO1cO234525.OOsOtsO23 2 040.37s lc 23-66.50c012 003.02sOlcO2165.OOsO1P 300.OOsO234-525.OOcO2342 040.3%0232 003.02sO21 000.O0。

1.2.2 运动学逆解机器人逆运动学求解-般有两种方法：封闭解法和数值解法b 。封闭解法计算速度快，效率高，便于实时控制；数值解法是-种迭代法，不能求出所有的0 · 392 · 机 电 工 程 第3O卷解。对于本研究设计的焊接机器人，由图2可以看出，其第2、3、4关节轴相互平行，在结构上满足Pieper准则 ，可以采用封闭解法。因此，本研究采用封闭解法来求解该逆运动学问题，则：Ox 。 PT-' Oy ar P l (4) Inz 0 a P l Lo 01-J(1)求解 0。。

在式(3)两端同乘以 ～，式(4)左边第2行第4yt]元素为常数，将等式对应元素等同起来，可得：- s lp c lP -66.5 (5)由三角代换可得：0≮tan 2(p ，P )-0 tan 2(-66.5，±、/p p；-66.5 )其中，正、负号对应的两个解对应着0 的两个可能。

在确定 0，的-个解之后，再观察方程式(4)两端第2行前3个元素，联立等式，可求得：05a tan 2(±√(-s ln cO1凡 ) (-sO10 cO10 ) ，- sO1a xO1a )(3)求解 0 。

令等式(4)两端第2行第1列及第2行第2列元素对应相等，则有：- SOlltzC01ny--S05CsO 0 cO 0 -sO sO (6) u/如果 sO ≠0，则可解得：06a tan 2(-sOl0 cOl0 ，-sOl凡 cOln )(4)求解 0 。

令式(4)左右两边第 l行第 3列、第3行第3列元素对应相等，则有：cO，asOt s z- (7) Ia sO5sO234若 sO，≠0，可解得：02m4a tan 2 "cOla sO1a )结合式(3)，可得下列关系式：I p sOl(300c0234525s02342 040.4c023)-6 .5c012 0， 3-s0：02：1，65 s0，P3s0 525c0 2 040.4sO ， (8) I 34 234 23 o2 003s021 ooo)若 sO ≠0，则令：4[p -sO1(300c0234525s0234)6B 3006s50 525c0： -1 000 p - 234 2十34 了/C 。-2 040.4 2 003 ]/4 006通过上式可解得：02atan2(A，-日)-atan2(C，±√ -C )(5)求解 0，。

结合式(8，9)，有：A 2 040：4。 ： ：2 03s0，1B sO OO (1o) l . w进而可解得：023atan2(B-2003s02，A-2003c02)，03023-02。

040234-023至此，6个关节变量的逆解均已求得。0。、0：以及0 有两个解，而 0 、0 和0 均只有-个解。因此满足Pieper准则的机器人最多有8组解，但受关节转动范围的限制，某些解是伪解，不可实现 。

1I3 雅克比求解焊接速度的均匀与否，直接关系着焊接质量的好坏 。因此，本研究必须通过雅克比对机器人进行速度的规划。对于 n个关节的机器人 ，雅可比矩阵是6×r/，矩阵，前3行代表对夹手线速度 v的传递比，后3行代表对夹手角速度 的传递比，即：豳 ： J式中：n6；雅克比矩阵- 6×6方阵；J ， -关节i的单位关节速度引起夹手线速度和角速度。

因为中电-号各个关节为转动关节，对于任意的关节 i，连杆 i相对于连杆 i-1绕坐标系 的 轴所作微分运动 ，其微分运动矢量为：ro] ro]dlot， l0ldO (12) L-J由微分变换公式 ，可解得夹手相应的微分运动矢量为：，86(p×(p×o)： l ×s)：ldO (13)因此，可得雅克比矩阵 ，(g)的第 i列如下：Tj ：I c14 f ×0)：l， lI(Px口J J第4期 刘 鹏，等：焊接机器人运动学分析及轨迹规划研究 ·393 ·式 (12～14)中 ： 1，26；，l，O，a，P- 的4个列矢量。

受篇幅所限，对于雅克比矩阵各元素的具体数值 ，本研究不再给以表述。下文将在机器人运动学分析的基础上，对其轨迹规划进行研究。

2 轨迹规划关节空间的轨迹规划具有计算简单、不发生机构奇异性等特点随 。关节空间的轨迹规划有抛物线过渡线性插值、三次多项式插值、五次多项式插值及B样条插值法曲 。综合考虑系统的稳定性及控制的实时性 ，本研究在三次多项式插值法的基础上，在关节空间构造了过路径点的三次多项运动路径。该算法简单、计算量小，且具有较高的控制精度，结合研究课题需要，本研究采用该算法进行关节空间轨迹规划的研究。

2.1 笛卡尔空间到关节空间转化假设笛卡尔空间有-连续轨迹被离散为n个空间位姿节点序列 ，其上任意两个相邻的节点的位姿可表示为 、 。，速度可表示为 ∞ 和Iv 09 ]T。

根据 1.3.2部分内容 ，可求得两节点所对应的两组关节角度为 、9 ；由l-4节部分的内容，可推导出：Fo，7Q J L2： Iv] (15)l由式(15)，从而求得其对应的关节速度为Ql和。 。 因此 ，对笛卡尔空间轨迹的规划可间接转化为对关节空间的轨迹规划。

2.2 过路径点的三次多项式插值根据2.1节中假设 ，在机械手运动过程中，需经过n个空间位姿点。这n个位姿点对应着关节空间的n组关节角度，也就意味着关节空间中各关节必过这n组关节角度。

对任意两组相邻的关节角度，本研究取其中某个关节进行分析，称该关节前-个关节角度0 为起始点0。，则后-个关节角度 0 为终止点 。该段运动轨迹的描述，可用起始点关节角度与终止点关节角度的- 个平滑插值函数 来表示， 在t。0时刻的值是 0。，在终端时刻 的值是终止关节角度 。

为了实现单个关节的平稳运动，轨迹函数 至少需要满足4个约束条件。其中，两个约束条件是起始点和终止点对应的关节角度：0； Oo ) 1 L为了满足关节速度的连续性要求，在起始点和终止点的关节速度须满足：o r ( ) 设三次多项式的表达式为：( a0a，ta2t2a3t3 (18)则结合式(16，17)可以求得三次多项式的系数如下式所示 ：口 0.。

a100口 ： 弓( - 。)-号 。- f6I (19)n ， -号 - 。)吉 。 )式中：0。，or， 。，or-起始点和终止点的角度和角速度。

3 仿真验证本研究以Matlab7.8为实验平台，运用机器人工具箱，对机器人运动学、轨迹规划进行仿真分析n 。

3.1 运动学建模笔者运用机器人工具箱 ，结合D-H参数 ，编写相关代码，以建立机器人模型：>>c1%link的前4个参数依次为O/。、a。、0 和d%最后-个参数为0L。link([pi/2 O.165 0 1 0])；L2link([0 2.003 0 0 0])；L link([O 2.040 0 0.0665 0])；L link([pi/2 0.3 0 0 0])；L link([pi/2 0 0 0.0525 0])；三 link([0 0 0 0 0])；/Jrobot(L1 L2 L3 L4 L5 L6)；drivebot(而，)；%生成机器人三维图形3.2 运动学仿真本 研 究 假 设 机 器 人 初 始 关 节 角 度 为 q。

[00000 0]，经历2 s运动到 N(2.386，-0.066，2.431)时的关节角度为q 0 1.625-1.644 0.019 1.57 ol。

由运动学方程，可求得机器人末端初始位姿矩阵为：l1 0 0 4.508 4l1) 0-01 01 ILo 0 0 0 l· 394 · 机 电 工 程 第30卷机器人末端终止位姿矩阵为：fo.000 8 0 1 2.396 5]41)Io 0-1 o.0 -2.430635I L0 0 0 j仿真中机器人将平稳地从初始位姿运动到终止位姿。机器人末端运动轨迹如图3所示。

- 2 0图3 机器人末端运动轨迹通过仿真，可以观察到机器人各关节运动平稳，验证了连杆参数设计的合理性和正解算法的正确性。

3.3 关节空间轨迹规划仿真根据机器人末端轨迹 ，本研究通过运动学反解得出各关节位移，由逆雅克比求出关节速度。再利用三次多项式进行插值 ，分别计算出6个关节各 自对应的a。，a。，a ，a，，实现各个关节的轨迹规划。

本研究以Robotics Toolbox为工具，验证关节空间三次多项式插值规划的合理性。假设机器人为刚体，末端没有负载，仿真时间为2 s，机器人各关节从g。

00000 0]，运动 到 g [pi/6pi/5 pi/4pi/3 pi/2pil1]，各变量随时间变化的曲线图如图4所示。

从图4中可以看出，各个关节的速度及加速度曲线连续且平滑 ，对各关节既无刚性冲击又无柔性冲击，故基本能够满足控制要求。同时也证明了机器人各连杆参数设计的合理性，以及基于关节空间的轨迹规划方法的可行性。该技术目前已应用于机器人点焊、角焊作业中，实际使用效果较好。

4 结束语本研究运用D-H坐标系理论，研究了中电-号”焊接机器人的运动学问题，并在运动学分析的基础上，采用过路径点的三次多项式函数插值法，实现了机器人在关节空间的轨迹规划。

在Matlab7.8平台上，本研究建立了机器人运动学模型，对机器人运动学问题和关节空间轨迹规划进行仿真验证。仿真结果表明，机器人连杆参数设计合理、运动学模型建立正确，同时也验证了基于关节空间的三次多项式函数插值算法的轨迹规划方法合理t/s(a)机器人各关节角速度-时间曲线tls(b)机器人各关节角加速度-时间曲线图4 各变量随时间变化的曲线图可行，为机器人动力学及焊接机器人今后在马鞍面多层多道焊接的研究打下了基矗