刚-柔性机械臂动力学建模及其动力学特性研究

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Research of dynamic modeling and performance for rigid-flexible m anipulatorsGUO Zhen-feng -，JIN Guo-guang -，CHANG Bo-yan -，WANG Yan '(1.School of Mechanical Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China；2.Tianjin Key[boratory ofAdvanced Mechatronics Equipment Technology，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China)Abstract：Judged by the assumption mode method，configuration expression and kinematic analysis were used to investigatethe rigid-flexible manipulators system.Based on Kane S equation，the dynamic model of rigid-flexible manipula-tors system was established.Numerical simulation ilustrates that interception before the second-order modes canmeet the rigid-flexible manipulators system accuracy.The impact of diferent structures OH the dynamic perfor-mance of flexible manipulator such as physical parameters，material parameters and driving moments were dis-cussed.The results show that by using rectangular section，using larger elastic modulus of materials，reducingthe external pressure driving moment，avoiding driving moment producing mutations can efectively improve thedynamic performance of rigid-flexible manipulators system。

Key words：flexible manipulator；mode analysis；Kane S equation；dynamic performance柔性机械臂是-个高度非线性、强耦合、时变的动力学系统.与刚性机械臂相比较，柔性机械臂具有精度高、质量轻、操作空间大、成本低等优点，这使得柔性机械臂在精密仪器 、航空航天等领域应用越来越广泛.但是，由于柔性机械臂在运动过程中会产生弯曲、剪切等弹性变形，引起机械臂末端弹性变形误差 ，从而影响机械臂的工作精度.Korayem等l1I用有限元法和拉格朗日方程建立了二自由度柔性机械臂的动力学模型；王斌锐等[21基于假设模态法和Lagrangian原理建立了综合考虑关节和杆件柔性的刚柔耦合动力学方程 ；金国光等f I用有限元法对柔性曲线梁离散化处理并应用 Kane方程建立了动力学模型；Vakil等 I结合假设模态方法和拉格朗日方程对双柔性机械臂进行动力学建模；裴希伍等5基于假设模态法、拉格朗日法和系统动量守恒对柔性连杆进行近似描述 ，忽略高阶弹性振动模态，推导了-种自由浮动空间柔性机械臂操作刚性有效载荷的动力学模型；崔玲丽等l 1应用有限差分法和有限元法建立了匀质单连杆柔性机械臂系统的模型；代小林等I 7l运用凯恩方程推导了并联运动平台的多刚体动力学模型；孙占庚等s睬用假设收稿 日期：2012-09-18基金项目：国家自然科学基金项目(50675154)；天津市应用基窗前沿技术研究计划项目(09JCYBJC04600)第-作者：郭振锋(1987-)，男，硕士研究生。

通信作者：金国光(1963-)，男，教授，博士生导师.E-mail：jgg63###eyou.coin第 1期 郭振锋，等：刚-柔性机械臂动力学建模及其动力学特性研究 - 71-模态法和凯恩方程对建立了单 自由度柔性臂的模型。

本文基于假设模态法并结合 Kane方法对刚-柔性机械臂系统进行动力学建模，并应用 Matlab软件对其进行了仿真研究；根据仿真结果研究该系统的动力学特性，并分析影响弹性振动的因素。

1 刚-柔性机械臂动力学建模在对刚-柔性机械臂进行动力学建模之前，作如下假设：(1)只考虑柔性机械臂的横向振动，忽略其轴向变形和剪切变形；(2)柔性机械臂横向变形为小变形；(3)柔性机械臂的长度远大于其截面尺寸。

在水平面内作回转运动的刚-柔性机械臂系统如图 1所示。

图 1 刚-柔性机械臂的物理结构模型Fig.1 Rigid-flexible manipulators physicai structure model图 1中，杆 1为刚性杆，杆 2为柔性杆；关节 0 、D 均为转动副.在 t瞬时，质点 JP的横向变形用 u表示 ，则 U是点 P的坐标和时问 t的函数，可记为 UU( ，t).设笛卡尔坐标系 OXY为该机械臂系统的固定坐标系，坐标系 0 xX。Y。和 D Y：为该系统上分别固连在杆 1和杆 2上的动坐标系. 。、 分别为关节 D。

和关节0 处加载电机的驱动力矩，m 、m 分别为关节D 和关节 D 处电机的集中质量，f 、z 分别为刚-柔性机械臂系统上杆 1和杆 2的长度 ，h 、h 分别为杆 1和杆 2的截面高度，b 、b：分别为杆 l和杆 2的截面宽度，P 、P：分别为杆 1和杆2的密度，m为柔性杆 2末端所受的集中质量， 、 分别为杆 1和杆2的关节转角。

点为柔性机械臂杆2轴线上的任-点，U( ， )为轴 D 上距P点t时刻的横向变形.根据机械振动原理，均匀材料等截面梁弯曲自由振动微分方程为[9]：E2，2 0 (1)式中：p：为材料密度； 为横截面积； 为材料的弹性模量；，2为截面惯性矩。

式(1)的解可表达为：u(x，t) ( )·qi(t) (2)式中： ( )为柔性杆 2的第阶振型函数 ； 为与振型函数相对应的模态坐标。

柔性机械臂的边界条件为：(0，t)0掣 ：0dE2，2 ：0 (3)d E ：0d由式(3)可得系统的频率方程：cos(A/2)cosh(A/2)-1 (4)由频率方程式(4)可得：A11.875/l2A24.694/12A37.855/l2Aj ( -1)1T/(2lz) 4，5，)各阶的固有频率为：、/ (5)式中：i1，2，3，。

将柔性机械臂的边界条件(3)代人式(1)，得到振型函数：( )cosA-cosh A 旦 旦 (sinh A -s1n A ) (6)sin A sinh A f 、在实际应用 中，-般取前 n阶模态，同样可以得到较高的精度，所以将u(x，f)写成如下形式：u( ， )∑ ( )·g。( ) (7)柔性机械臂在水平面内的运动可以看作是大范围刚体运动和小范围弹性变形运动的叠加，因此P点位置在体坐标系O ：Y：中的坐标( ， )可表达为：XP1y ：窆 ) l i1柔性杆 2上任意-点P在变形后，在体坐标系- 72- 天 津 工 业 大 学 学 报 第 32卷o2x：Y：中其位置矢量为：·i Yp. ·i ∑ ( )·q ( )· (9)式中： ， 分别为柔性杆2在体坐标系 02x：Y 沿两个坐标轴的单位矢量。

若柔性机械臂上任意-点 P小变形 u(x，f)在体坐标系02x Y 中的速度为 ，则柔性机械臂上任意-点 P在惯性坐标系 OXY中的速度为：P 0 X rP (1O)式中： 为柔性机械臂的角速度。

柔性机械臂内力的广义主动力为：： -Kqi(t) (11)式中： 为柔性机械臂杆 2的模态刚度矩阵。

其中E2，[ 1 dx )对于刚-柔性机械臂系统外部施加的驱动力和驱动力矩的广义主动力：：r。(f) (13)： ( ) (14)：I (15)0 F. 对于刚-柔性机械臂系统，应用 Kane方法对其建立动力学方程，可得：0 F ： 0式中：r1，2；i1，2，，凡； 和 分别为刚-柔机械臂系统的广义惯性力 ； 、 和 分别为刚-柔机械臂系统的广义主动力。

选取广义速率为 ， ：，ql( ).进行线性化处理，忽略耦合项和非线性项，得到如下线性化方程十 -∑ qi(t)Jl101 J1202 ：'T1 (17) 0 ：∑ )：r2(t) (18) 1 1 22 g。( 0l 02Miqi(t)K qi( )0 (19)Jl-. 十号 -fI3mzrf2厶p zf - f23m212ml2J12- 23m/22 zf23mZ 厶 - ：123ml2p z J。 ( )d mlz (fzMiJ9 J。 ( )d m (z)式中： 、 分别为电机转子对关节 0 和 0 中心的转动惯量.将式(17)～式(19)写成矩阵的形式，得到如下的方程式： a (20)式中：广义质量阵为M .，I1 2 1 1 O-1 l l M1 0 O'n 盯 0 M n广义刚度阵为K O 00 00 0： ： - O 00 ··- 00 ··· 0kl 0 ： ：0 k式(20)即为刚-柔性机械臂动力学方程。

2 刚-柔性机械臂系统的仿真研究图 1中，刚性杆 1的长度 f。1.0 m，密度P 7800 kg/m ，截面宽度 b 0.04 m，截面高度 h1：0.04m，材料为普通碳钢.柔性杆 2的密度P 2 700 kg/m3，弹性模量E270 GPa，杆长f：2.0 m，截面宽度 6 0.04 1TI，截面高度h：0.04 m，铝制材料.关节0 处电机的集中质量m ：1.0 kg，柔性机械臂末端集中质量m3.4 kg.关节 0 处加载的力矩 0.8 N·m，关节0 处加载的力矩 r：(1-t)N-In。

初始条件：lIo02lo：0，qllfo：q2I q3l 0；lf002I瑚 0，ql 0：q2I 0q3I 00。

第 1期 郭振锋，等 ：刚-柔性机械臂动力学建模及其动力学特性研究 - 73-仿真时间 T2 S。

从理论上讲 ，柔性机械臂的动力学模型是连续无限维的，其中包括刚性大范围运动以及无数个模态坐标.-般来讲，对仅考虑柔性机械臂振动的离散化动力学方程，模态阶数取得越多，其数值求解结果就越逼近实际情况.然而随着模态阶数的增加，求解的计算量就越大，这在实际应用中是不必要的.分别取系统前-阶模态、前二阶模态和前三阶模态作运动仿真，其仿真结果如图2所示。

图 2 取不同阶模态柔性机械臂的动力学特性Fig.2 Dynamic performance with diferent modes of flexiblemanipulator从图2中可看出，随着保留系统的模态阶数增加 ，柔性机械臂末端弹性变形差异变小，取前二阶与前三阶模态之间的差异非常小.为节约计算资源，同时保障误差很小的情况下，取系统的前二阶模态即可满足精度要求。

2.1 结构参数对柔性机械臂动力学特性的影响柔性机械臂的结构参数包括柔性杆 2的横截面形状.保持柔性机械臂的其他参数不变，加载力矩如图2所示，分别取不同的截面形状(等面积的方形截面、矩形截面( 4b )和圆形截面 )时，代人式(20)中，进行动力学仿真，如图 3所示。

图3 取不同截面形状柔性机械臂的动力学特 眭Fig.3 Dynamic performance with diferent cross-sectionshapes of flexible manipulator仿真结果表明：在柔性机械臂的横截面积相等的条件下，圆形截面的振动频率最低，末端弹性变形量最大；矩形截面的振动频率最高，末端弹性变形量最小，抑制弹性变形效果最好。

2.2 材料参数对柔性机械臂动力学特性的影响柔性机械臂的材料参数主要包括柔性杆 2的密度和弹性模量.保持柔性机械臂的其他参数不变 ，加载力矩如图 2所示 ，分别取不同的密度 P 2 700kg/m 、p24 500 kg/m 和P26 600 kg/m ，不同的弹性模量 E 70 GPa、E：90 GPa和 E 110 GPa代人式(20)中，进行动力学仿真，如图4、图5所示。

图4 取不同密度柔性机械臂的动力学特性Fig.4 Dynamic performance wim diferent density of flexiblemanipulator可昌呈融臻4i∈ 弹性模量为 70 GPa- - 弹性模量为 90GPa- - 弹性模量为 110GPa. 菇O 0 5 1.0 1.5 2.0/s图5 取不同弹性模量柔性机械臂的动力学特性Fig.5 Dynamic performance with diferent elastic modulus offlexible manipulator仿真结果表明：(1)柔性机械臂的密度越大，振动频率越低，末端弹性变形程度对材料密度变化不敏感；(2)柔性机械臂的弹性模量越大，振动频率越高，末端弹性变形程度越小。

2.3 驱动力矩对柔性机械臂动力学特性的影响保持柔性机械臂的结构参数和物理参数不变，分别加载3种如图6所示不同的驱动力矩丁 (1-t)0 5 0 5 O O - - - - - 74--- 天 津 工 业 大 学 学 报 第 32卷Nm、丁：0.8 Nm和丁 t(2-t)Nm，代人式(20)中，进 3 结束语行动力学仿真，如图7所示。

图6 加载在柔性机械臂上不同的驱动力矩Fig6 Diferent driving moments loading in flexible manipulatorO.5 1.O 1.5 20t/s图 7 取不同的驱动力矩柔性机械臂的动力学特性Fig.7 Dynamic performance with diferent driving momentsof flexible manipulator仿真结果表明：随着时问的变化，柔性机械臂的弹性变形程度与施加的驱动力矩变化趋势-致，即柔性机械臂末端弹性变形量随驱动力矩增大 (减小)而增大(减小)；比较图6和图7，初始时刻加载的力矩有突变时，柔性机械臂的振动较大。

综上所述 ，考虑到柔性机械臂的结构参数、材料参数以及外部施加的驱动力矩对其影响，由上述分析可知：若要改善柔性机械臂的动力学性能，即减小柔性机械臂末端的弹性变形及其振动频率，可以通过采用矩形截面，采用较大弹性模量的材料，适当减小外部施加的驱动力矩，尽量避免驱动力矩产生突变。

本文运用假设模态法和 Kane方程建立了刚-柔性机械臂系统的动力学模型，并根据此模型对柔性机械臂系统进行动力学特性分析，研究了柔性机械臂的结构参数、材料参数和外加驱动力矩对系统动力学特性的影响，进而得出能有效减型抑制柔性机械臂系统的弹性变形和振动的方法，为进-步研究柔性机械臂的振动稳定性 、结构设计与结构参数优化提供了依据。