初论现代数学在机构学研究中的作用与影响

Role and Influence of M odern M athematics in M echanismsⅥ NG Guobiao LIU Xinjun(1.Nional Natural Science Foundation ofChina，Beijing 100085；2.Department ofPrecision Instruments and Mechanology，Tsinghua University，Beijing 100084)Abstract：Since mechanisms became an independent discipline，mathematics has been playing a key role in the mechanisms research。

Especially，as mechan isms is developed into the phase of the advanced mechamsms，the role of mathematics has been geting moreand more prominent due to the increasing demand on the self-design and innovation ofmechanical eqmpmems.Taking the screwtheory and diferential manifold，which are the most active mathematic tools used currently in the field of mechanisms，as exam ples，the key role of modern mathematics in mechanisms research is expounded.By analyzing the research progress and remarkableachievements in the field of mechan isms in China，the positive efect of modem mathematics on the development of mechanisms ofChina is outlined.The role of mathematics in mechan isms in future is finally expected。

Key words： Mechanisms and robotics Modem mathemics Screw theory Diferential manifold Degree of freedomType synthesis Performan ce index0 前言机构学在广义上又称机构与机器科学，是机械设计及理论二级学科的重要研究分支，在机械工程- 级学科中占有重要的基础研究地位。机构学研究的最高任务就是揭示自然和人造机械的机构组成原理，发明新机构，研究基于特定功能的机构分析与设计理论，为现代机械与机器人的设计、创新和发明提供系统的基础理论和有效方法。因此，机构学的研究对提高机械产品的自主设计和创新有着十分重要的意义u J。

18世纪下半叶，在第-次工业革命的推动下，机构学在力学基础上发展成为-门独立的学科，通20120723收到初稿，20121107收到修改稿过对机构的结构学、运动学和动力学的研究形成了机构学独立的研究体系。如果说机构学是力学的衍生体，那么数学则是机构学诞生与发展的助推器。

18～19世纪涌现了众多数学分支，包括集合论、线性代数、解析几何、微分几何、拓扑与群、图论、线几何、旋量理论等，它们先后被应用到了机构学领域，促进了机构学的发展。 从机构学的发展历史上来看，机构学的诞生及早期发展与数学息息相关。标志性的成果：瑞士数学家 EULER提出了平面运动可看成是-点的平动和绕该点的转动的叠加理论，奠定了平面机构运动学分析的基矗l875年德国的 REULEAUX在其专著 (Kinematics of Machinery)中阐述了机构的符号表示法和构型综合。1888年德国的BURMESTER在其专著 (Lehrbuch der Kinematik)提出了将几何方法2 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 3期用于机构的位移、速度和加速度的分析，开创了机构分析的运动几何学。

进入 2O世纪以后，不仅又涌现了-些新的数学分支如运筹学、规划论等，18～19世纪诞生的各种经典数学也相继完善成熟，并逐渐用在各类工程应用中。这些都标志着数学迈入了现代数学”时代L2J。

与之相对应的，20世纪后半叶，控制与信息技术促进了机构学的快速发展，特别是与计算机技术相结合，大大提高了机构分析与综合过程中的计算效率。

标志性的成果：20世纪 50"60年代，美国哥伦比亚大学 FREUDENSTEIN 教授引入图论描述机构拓扑结构，深入研究了平面机构和空间机构的构型综合；基于解析方法进行机构运动学和动力学分析与综合，从而开辟了用计算机进行机构运动学综合的道路。之后，线几何、四元数、旋量理论、位移群、微分流形等现代数学工具也相继被引入到机构的分析与综合中。

随着机械系统向高速高精、智能高效等方向发展，比如五轴联动机床、超精密定位平台、智能灵巧医疗装置等，催生了现代机构学的形成3J，出现了并/混联机构[4]、柔顺机构[ 、变胞机构[6J等-批新兴研究领域。而以Stewart/Delta/Z3等并联机构为基础的混联装备在商业上 的成功，以及柔性机构在MEMS/NEMS上的广泛应用，将机构学的创新成果及时转化为生产力，成为基础理论研究成果走向工程应用的典型代表。目前，寻求并/混联、柔顺、变胞等机构设计的普适性理论与方法，建立面向工程应用的机构性能分析与评价方法已成为现代机构学的研究热点和难点 J↑年来的研究表明：现代数学是解决上述问题的有效工具。

本文首先以当前最为活跃的旋量理论和微分流形等数学工具为例，阐述现代数学对机构学研究中所起的 道”之作用；然后从中国机构学研究现状出发，简述现代数学对中国机构学发展的影响；最后展望- 下现代数学在未来机构学研究中的价值。

1 微分流形与旋量理论概述1.1 微分流形微分流形理论源于德国数学家 GAUSS和RIEMANN。微分流形是具有微分结构的拓扑流形，简单说就是-个 弯曲”的空间[80常见的微分流形包括欧几里得空间、圆、球面、环面等。机器人的工作空间-般都是微分流形，如虎克铰、2自由度旋转机械臂的任务空间都是二维环面厂 S ×S ，而6 自由度 PUMA 机器人 的工作空间是六维环面厂 ：S × ×S 。

欧几里得空间(简称欧氏空间1具有线性结构，其曲率为零，两点之间的距离直线最短，是-种特殊的微分流形。除了欧氏空间之外，李群、齐次空问、Grassmann流形、Riemann流形等也都是具有特殊性质的微分流形。例如，李群是-类具有代数群结构的微分流形，其定义的群运算是无限可微的。挪威数学家 LIE奠定了李群理论的基础，并因此得名 J。

- 个刚体的自由运动具有三维移动和三维旋转，其位形空间准确的描述是特殊欧氏群 se(3)。与此相对应，其位形空间的切空间(速度空间)称为李代数se(3)，在几何上代表瞬时的运动旋量20世纪 80年代初，BROCKETT[z]开始尝试采用微分流形和李群理论建立机器人学、控制、机构学和制造学科的统-理论。之后，MURRAY等 ”、HERVIt 、SELIGt 引、PARK等㈣、李泽湘等㈣对李群与李代数理论在机器人和机构学领域的应用进行了广泛而深入的研究。

1.2 旋量理论旋量理论起源于 l9世纪，与微分几何、李群李代数作为纯数学不太相同，旋量理论的物理意义更加明确。按照 BALLu 6J的定义，旋量是指具有-定节距的直线。CHASLES证明任何刚体从-种位姿到达另-种位姿都可通过绕某直线转动和沿该直线移动复合实现，并将这种复合运动称为螺旋运动，该螺旋运动的无穷小量即为运动旋量 另-方面，POINs0T证明刚体上的任何力系都可以合成为-个沿某直线的集中力和绕该直线的力矩，这-广义力称为力旋量 F。PLI)CKER则提出任-直线都可以用6个坐标表示方向及位置，后人称之为直线的Plficker坐标。GRASSMANN对不同维数不同几何特性的直线系进行了分类研究，后人称之为 Grassmann线几何。BALL提出了旋量系的概念，并指出运动旋量系与约束力旋量系之间存在互易关系，从而给出了运动与约束之间的定量表达。因此，无论直线还是直线系，都是-类特殊的旋量或旋量系。此后，DIM ENTBERG 、 HUNT 、 PHILLIPS、 DUFFY 、LIPKIN、KUMAR、TSAI、黄真、戴建生、熊有伦、朱向阳、黄田、丁希仑等学者[1 在旋量理论及应用方面开展了许多工作，进-步推动了旋量理论的发展▲入到21世纪，旋量理论在机构学、机器人学、多体动力学、机械设计、计算几何等多个领域的应用越来越广泛。在分析复杂的空间机构时，由于采用旋量理论可以将问题的描述和解决变得十分2013年2月 王国彪等：初论现代数学在机构学研究中的作用与影响 3简洁、统-，既可以用解析方法描述，也可以用几何图谱形象化表达，而且易于和其他方法如矢量法、矩阵法等相互转换，旋量理论已成为机构学研究中- 种非常重要的数学工具。

1.3 旋量理论与微分流形之间的联系物理上对机构运动的描述通常有两个层面：-个是位移层面；-个是速度层面。其中位移层面的描述属于连续或有限运动范畴，而速度层面的描述则属于瞬时或微小运动范畴。对机构施力或受力的描述可以与速度处于同-层面，也属于瞬时范畴。

用李群李代数来系统描述刚体运动，最早出现在 1978年。HERV][ 指出刚体运动的位形空间满足李群的代数结构，并基于代数结构的不同类别，给出了全部12种刚体位移子群。由于位移群是在刚体位移层面上进行的操作，因此具有有限运动的特性。

此后，HERVI等讨论了位移子群的集合运算法则及机械生成元问题，为位移群在机构分析与综合中的应用奠定了理论基矗不过，由于许多刚体运动都不满足群的代数结构，因此位移群也很难涵盖所有刚体运动的特征。为解决这-问题，李秦川与HERVI等27J以及李泽湘等[15J借助现代微分几何工具，以位移流形来描述各种刚体运动类型，提出了并联机构的位移流形综合理论。该思想在继承了位移群所具有的运动连续等优点的同时，也解决了普适性不足所带来的问题。不过，无论位移群还是微分流形，都是在位移层面上来考虑机构运动，因此很难描述刚体运动与力之间的关系。

由于旋量理论是在速度层面上来描述刚体运动，并与力(包括约束力)建立了有机联系，因此可以很好地描述涉及运动与约束、运动与力之间的议题。

另外，与位移子群及规则子流形的几何不变特性-样，旋量系与其反旋量系之间的互易关系也满足几何不变特性，而它们之间的互易关系可以通过线性代数甚至几何图谱法得到，使分析与综合过程变得更加简单、直观。该方法的不如意之处在于速度具有瞬时性，因此还需要给出非瞬时运动的条件或者进-步作瞬时性的判断。

事实上，旋量理论与位移群及微分流形也有着十分密切的联系。数学上已经明确给出了李群与李代数之间的微分关系，两者之间可以相互映射，而某些特殊旋量系就是对应某种位移群的李代数。

2 现代数学在机构学中的典型应用现代数学在机构学中的应用体现在机构学研究中的方方面面，尤其是在并联机器人机构学中应用居多，这里仅以并联机构的结构分析与综合以及性能分析与评价两个典型的问题为例，阐述其应用与效果。

2.1 结构分析与综合机构创新是机械设计中永恒的主题。人们要设计出新颖、合理、有用的机构，不仅要有丰富的实践经验，更要熟悉机构的组成原理。包括并联机构、柔性机构、变胞机构等在内几乎所有新型机构都首先要考虑自由度分析与构型综合问题f统称为结构拓扑学)。自由度分析是指由给定的机构求取自由度数和性质，又称正问题。而构型综合正好相反，是指由给定的自由度数、自由度性质求冗体的构型，又称反问题。前者被誉为 机构学领域 150年间悬而未决的公认难题[28”；后者则属于最富创造力的概念设计范畴。

这两类问题从机构学诞生伊始就为机构学者们所关注，并借助各类数学工具开展研究工作，既包括传统意义上的集合论、线性代数与矩阵理论、图论等，也包括线几何、旋量理论、微分流形等现代数学工具。目前对机构结构拓扑学的研究基本建立在：① 用简单的符号表示机构中的构件或运动副；② 基于简单的自由度计算公式(如G-K公式)；③ 机构的运动本质。因此，机构学中用到的数学工具首先要处理好自身的严谨性与外在表现上简洁直观性之间的矛盾，其次是能将纷繁复杂的拓扑结构(平面及空间中的构件运动副组合1统-起来，且能反映出机构的运动特性。图论法曾-度承载起这项任务，但在反映机构运动特性上先天不足。而以旋量理论和微分流形为代表的现代数学工具可以很好地完成此项任务。

机构自由度计算-般采用传统的Grfibler-Kutzbach(G.K)公式，但应用到-些特殊机构上常常得不到正确的结果。其根本原因在于对决定机构自由度的-些基本要素缺乏清晰的定义和正确 的计算判别方法↑年来，在黄真、RICO、戴建生等学者[ 。，的不懈努力下，借用旋量理论和微分流形等数学工具，使得在复杂刚性机构的自由度通用计算及分析方法研究上得到突破。特别指出的是黄真教授等在这-领域开展了系统深入的研究工作，不仅给出了分布于古典、现代各类复杂机构内部的局部自由度、公共约束及冗余约束的旋量解析，更为重要的是以- 种 通 用 的 方 法 及 计 算 公 式 解 决 了 自CHEBYSHEV、GROBLER和 KUTZBACH以来困惑机构学界百余年的疑难问题I28]”。

而复杂机构的构型综合问题更为突出，这里分别以并联机构和柔性机构为例进行说明。

4 机 械 工 程 学 报 第49卷第 3期对并联机构的研究始于 20世纪 8O年代初，但20年间学术界却很少涉及这类机构的构型综合问题。法国学者MERLET[3]指出：并联机构的构型综合是-个非常困难的问题”。这种困难主要体现在：运动支链多、运动链中的运动副多甚至支链中还含有闭环子链，这些运动支链、运动副、闭环子链的类型与空间分布都会影响机构的末端运动。但从 21世纪初开始，学者们开始寻找某种通用的方法进行系统化的构型发明，尤其是设想借助现代数学工具对其进行结构综合，使得少自由度并联机构构型综合理论的研究逐渐成为学术界的-个热点。特别是旋量理论、微分流形等数学工具，为机构学中的并联机构构型综合这-难题打开了-扇明亮的天窗。

黄真、孔宪文、方跃法等[31-34]基于运动旋量、约束旋量和等效旋量系等概念，建立了-套并联机构构型综合的旋量理论法，并成功地综合出了大量新型少自由度并联机构，尤其是4、5自由度对称并联机构的新构型。

HERVI[351在采用李群理论研究并联机构的构型综合方面作出了开创性的工作。后来李秦川、李泽湘等l 5， 刀将其扩展到微分流形领域，提出了机构构型综合的微分流形法。利用该方法同样成功地综合出了大量新型少 自由度并联机构，其中包括商联机构[ 。

与少自由度并联机构构型综合 的发展轨迹类似，在旋量理论出现之前并没有系统化的柔性机构构型综合方法。大多数沿用刚性机构的构型综合方法，或者直接简单地套用刚性机构的构型，或者基于对称设计原理或经验来获取新构型。而利用现代数学工具导引柔性机构的构型综合在最近几年才有突破。受 BLANDING[”的约束设计理论启发，HOPKINS等Ij驯将旋量系可视化，提出了基于旋量理论的自由度与约束空间拓扑综合(FACT)方法。后通过 SU、YU等[39-401渐完善，已发展成为-种系统化的柔性机构构型综合方法。该方法从旋量理论出发，引入了-系列具有特定维度的自由度空间Fs、约束空间CS和几何线图表达，以及FS与CS之间的对偶图谱。利用 FACT方法，可以实现对多自由度并联、串联、混联柔性机构的构型综合，极大丰富了原有柔性机构的构型。

总之，通过将旋量理论与微分流形引入到并联、柔性等现代机构的结构分析与构型综合中，不仅对这些新机构的本质有了更深-层的理解，而且对发明新机构、促进机构应用起到了非常重要的作用。

外在表现为，近 lO年间，无论是各类涉及新机构的发明专利还是发表在国内外重要期刊上的相关论文数量，都呈几何级数增长。

2.2 性能分析与评价旋量理论使并联、柔性等机构的构型综合变得简单直观、多样化，并在后续的性能分析与评价中发挥着重要的作用。

建模是对机构进行性能分析与评价的基础，强有力的建模工具及方法变得十分重要。黄田等25J以旋量理论和线性代数为基本数学工具，通过定义受约束刚体的变分空间、力旋量空间及其子空间等概念，明确给出了刚体中受限(及可能)运动与这些空间及其子空间之间的映射机制和内在联系。在此基础上，提出了-套基于广义雅可比矩阵的少自由度串联与并联运动链速度、加速度、精度、力/刚度、刚体动力学普适性建模方法，从而实现了同-数学框架下的-体化建模思想，提高了建模与设计的效率。

另外，在并联机构中，国际上普遍采用的性能指标是雅可比矩阵条件数的倒数也即局部条件数指标(Local condition indicators，LCI)，该指标通常被用来评价并联机构的灵巧度以及距离奇异的远近。然而，MERLETt41]经研究发现雅可比矩阵法及相应的LCI不能用于混合(移动和转动)自由度类型的并联机构性能评价中。究其原因是混合自由度并联机构雅可比矩阵的量纲不-致，将导致条件数没有明确的物理意义。WANG等4zJ研究发现，应用到具有纯移动并联机构(如 5R机构)中，LCI在工作空间内的分布会出现积聚现象，同样表现出 LCI值大小物理意义不明确的问题。因此，如果仍然按照 LCI及其相关指标来设计并联机构及其装备，显然不合适。

对机器人而言，就是将运动和力从关节空间传递到末端执行器上。因此，评价机构性能的指标应该能够反映其传递运动和力的优劣。自20世纪 30年代以来，传动角”就己作为机构设计的-个重要指标，用于评价平面四杆机构的运动和力传递效率。然而，在空间机构尤其是复杂的空间并联机构中，构件的运动往往是移动和转动的耦合运动，构件所受的力往往是力和力矩的耦合力，很难定义相应的 传动角”来评价机构的运动和力传递特性。旋量可同时表示刚体运动的速度和角速度以及作用在刚体上的力和力矩，还可以描述运动与约束、运动与力之间的关系。因此，在复杂空间机构的运动和力传递特性分析与评价中，采用旋量理论优势明显。

以n自由度非冗余并联机构为例。在运动或力的传递过程中，每个支链内部会产生-个广义力2013年2月 王国彪等：初论现代数学在机构学研究中的作用与影响(称作传递力旋量)。每个驱动关节对应有-个传递力旋量。用于描述第 个驱动关节运动的输入运动旋量 正是在其对应的传递力旋量 的作用下传递到机构末端使动平台产生-个输出运动旋量s0 。

利用旋量理论中的互易积来描述传递力旋量对相应运动旋量做功的功率。功率越大，意味着运动和力的传递效率越高。为此，定义传递力旋量 与输入及输出运动旋量勖 之间的能效系数 与rh.，前者的物理意义是第 f个传递力旋量对第i个驱动关节的运动传递效率，后者则反映了传递力旋量 在输出运动旋量 f方向上的运动和力传递效率[43。为了评价并联机构整体的运动和力传递性能，定义机构的局部传递指标(Local transfer indicators，LTI)min2，-，rh) f：l，2，，上述传递指标的值与坐标系的选取无关，这为并联机构性能分析与尺度综合中设计指标的建立提供了新思路。

通过将 LTI引入对各种并联机构进行性能指标评价 J，研究发现：基于旋量理论所定义的运动和力传递性能指标在并联机构的性能评价中克服了以往常用指标如局部条件数指标的局限性，为机构的性能分析与评价以及尺度综合提供了新思路。

3 现代数学对中国机构学研究的作用3.1 中国机构学研究的里程碑中国机构学的研究走过了近百年的历史。刘仙洲教授是中国机构学的先驱者，他开创了中国古代机械的研究先河。20世纪 50年代，前苏联模式的机构学开始影响中国的机构学研究。1962年中国机构学的领军人物张启先院士就开始了有自身特色的空间机构分析与综合的研究。由张启先院士编著，于1984年出版的 《空间机构的分析与综合》是我国第- 本较为系统地阐述空间机构分析与综合方法的学术著作。特别值得提出的是近 20年，中国的机构学取得了长足的进步。研究主要集中在并联机器人机构学、空间连杆机构、机构弹性动力学、灵巧手操作、移动机器人、精微机器人等方面，在机构构型综合与尺度综合、并联机器人机构学理论、机构弹性动力学、变胞机构、柔顺机构等方面十分活跃，已接近或达到国际领先水平。期间产生了大量的学术论文及专著，也不乏具国际影响力的学者，其中最具代表性的人物是国内机构学的泰斗张启先院士、被誉为解决机构学珠穆朗玛峰问题”的北京邮电大学梁崇高教授以及并联机器人机构学专