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一类悬挂碰撞振动系统的动力学分析

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  • 发布时间:2014-12-27
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机械动力系统的冲击振动通常是由内部或边界上的间隙产生,即在零部件间或零部件与边界间的往复碰撞冲击。对于这类含间隙系统 的理论研究已引起国内外学者的普遍关注。文献[4]研究了碰撞振动系统Jacobian矩阵有两个-1特征值时的余维二分岔,发现了周期 1、2点的Hopf分岔现象,数值仿真揭示了概周期运动经有限次环面倍化与伴随锁相过渡到混沌响应的全局动力学行为。文献[5]分析了-类两 自由度碰撞振动系统存在周期倍化分岔和Hopf分岔,并简明地讨论了系统通 向混沌的道路。

文献[6]研究了-类三自由度含问隙系统的周期分岔和权式分岔向混沌演化路径。

笔者建立了悬挂碰撞振动系统的力学模型和Poincar6映射,通过对系统周期运动的解析解的求解,数值模拟了系统 Hopf分岔和混沌的发展演化过程。

2 力学模型及微分方程图1是-个两自由度振动系统与固定约束发生碰撞的力学模型。质量为 和 :的质块分别由刚度为 、K2和 的线性弹簧和阻尼系数为c 、c:和c 的线性阻尼器连接与支承,两个质块只作水平运动,并分别受到简谐激振力 P sin( )(i1,2)的作用。当质块 的位移 (t)等于间隙B时,质块 将于刚性约束A发生碰撞,改变速度方向后,又以新的初值运动,然后再与约束A碰撞,如此反复。假设力学模型中的阻尼是 Rayleigh型比例阻尼,碰撞过程由碰撞恢复系数 尺确定,碰撞持续时间略去不计。

图 1 悬挂碰撞振动系统模型图相邻两次碰撞之间(f I< ),振动系统的无量纲运动微分方程为:。1二] :)[-主 2 。 三 ] )[- : ] ) )sin cwTr(1)收稿日期:2013-O1-02作者简介:张其武(1986-),男,甘肃会宁人,在读硕士,研究方向:车辆工程、非线性系统动力学。

· 18·· 杌械研究与应用 ·2013年第1期(第26卷,总第123期) 研究与分析质块 .的冲击方程为:l-Rxl- ( lb) (2)在式(1)、(2)中, ”(i1,2)表示振子 M 的位移 对无量纲时间 t求两阶导数; ”表示振子的位移 对无量纲时间 t求-阶导数; -,Xl分别表示质块M 与约束A碰撞前后的瞬时速度;设M≠0,K ≠0,C ≠0,其中无量纲量为:M2 K2 K3m M-l, 肛k2 ,/xkC2 Cc2 , c3 -CI, /Xk2 /Xc2~ √ -- -,- - -2 KIM1Y20-P1P26 ,xi箍 l,2) (3) j令 表示方程(1)的正则模态矩阵, 和 (c):表示在无碰撞情况下振动系统的固有频率。取 为变换矩阵,做如下的坐标变换 : (4)将方程解耦为:C亭以 Fsin(O)t ) (5)式中: ( , ) ; ( 。, ) ;,是-个 2x2阶单位矩阵,C和 /l是 2 X 2阶对角矩 阵,Cdiag[2 ,2 i];Adiag[ , i];F(f/ ) P ,P (1-,2。,Lo) 。通过模态叠加法可以得到方程(1)的解。方程(1)的通解为:xi( )∑ t(ajeoso) tbjsino )A sin(oJt丁)B,COS(o)t下)] (6)xi(t)∑ e- [(bjo - )eoso t-( (J )sinoJt]Ajo)cos(o)t丁)-B ∞sin(∞tr),(i:1,2) (7)式中: 是正则模态矩阵 的元素; ;∞4√ - ; 和bj是积分常数,由振动系统的初始条件和模态参数确定; ,和 为振幅常数,且:嚣 (8)面 (9)用qp/n表示图1碰撞振动系统的周期运动;n表示力周期数;p表示碰撞振子 与左右约束 的碰撞次数。取 Oo)t,选择 Poincar截面:f( 1,戈 1, 2, 2,0)∈R4×Js1 b, J构造悬挂碰撞振动系统的Poincar映射:X 厂(M, ) (10)式中:u为实数,M∈R 。

m : ( 1, 2, 2, ) -- X ( 1 , 2 , 2 , ) (11)3 系统周期运动的分岔及混沌演化选取悬挂碰撞振动系统的-组参数: 0.0,/x 3.043728,/zk21.000008,/xk31.0,Ao0.0,R0。

8,b2.4。特征值如图2所示 ,当∞0.52079时,Ja-cobi矩阵的-对共轭特征值穿越单位圆周,剩下的特征值滞留于单位圆内,满足 Hopf分岔条件。

(b) 0.520501(c)COO.52034 (d)030.5201图3 投影的 Poincar6映射图取 ( 1, l, 2, 2, )∈R xSl 16)作为Poincar截面,当 < 0.52079时系统具有稳定的q1/1周期运动,在 Poincar截面上生成 1个 q1/1不动点;当 0.52079时,稳定的q1/1周期运动失稳发生 Hopf分岔,在 Poincar截面上形成 1个周期g1/1的吸引不变圈,如图3(a);分岔参数 继· l9·研究与分析 2013年第1期(g 26卷,总第123期)·杌械研究与应用 ·续减小,系统发生倍化分岔,在 Poincar6截面图上形成两个 q1/1吸引不变环,如图3(b);参数 to再次减小,系统再次发生倍化分岔,在 Poincar6截面上形成 4个 q1/1吸引不变环,如图3(c);参数 to继续减小,进入混沌运动,如图3(d)。

选取悬挂碰撞振动系统的-组参数:/x 6.4, 0.0, k22.0, lc32.0,Ao0.0,R0.8,b3.6。

特征值图4所示,当to 0.66826时,Jacobi矩阵的-对共轭特征值横截单位圆周,剩下的特征值滞留于单位圆内,满足 Hopf分岔条件。

图4 特征值图(a) o 66826(c) 0.67965(b) :a 67951Xo(d) 0 679742图5 投影的Poincar6映射图取 ( 1, 1, 2, 2,0)∈R xSx16)作 为Poincar6截面,当to>to 0.66826时系统具有稳定的q1/1周期运动,在 Poincar6截面上生成 1个 g:I/1不动点;当to0.66826时,稳定的q1/1周期运动失稳发生 Hopf分岔,在 Poincar6截面上形成 1个周期 q1/1的吸引不变圈,如图5(a);随着激励频率∞递增,q1/1吸引不变圈开始失稳,吸引不变圈发生变形,如图5(b);当激励频率to递增,q1/1吸引不变圈开始失稳,发生环面倍化分岔,生成 2个 q:1/1吸引不变圈,如图 5(c);当激励频率 to0.679742时,g1/1吸引不变圈失稳,发生二次环面倍化分岔,形成4个 q1/1吸引不变圈,如图5(d);当激励频率 to不断递增,系统最终进入混沌运动,如图5(e)和(f)。

4 结 论(1)选择合理的系统参数,通过解析法,证明悬挂碰撞振动系统中存在 Hopf分岔。

(2)在悬挂碰撞振动系统中,由于间隙的存在,系统的动力学特性有了本质的变化。含间隙约束系统的稳态非线性解-般具有多值性,即对于相同参数下的同-个激振频率,将可能有多个稳态解存在。

(3)悬挂碰撞振动系统的混沌控制最好参照论文所提供的轨道,使设备工作在最佳状态。

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