耦合型3自由度并联稳定平台机构动力学分析

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Dynamics Analysis of a 3-DOF Coupling Parallel M echanismf0r Stabilized PlatformLIU Xiao ， ZHAO Tieshi ， BIAN Hui ， LUO Erjuan YUAN Feihu ，(1.Paralel Robot and Mechatronic System Laboratory of Hebei Province，Yanshan University，Qinhuangdao 066004；2.Key Laboratory of Advanced Forging& Stamping Technology and Science of Ministry of Education，Yanshan University，Qinhuangdao 066004；3.CFHI Tianjin Heavy Equipment Engineering Research Co.，Ltd.，Tianjin 300457)Abstract：Based on the coupling dynamics characteristics of ship motions，the influence produced by coupling force/torque toperformance of mechan ism dyn amics and modeling of dyn am ics of 3-SRR/SRU 3-DOF coupling parallel mechanism is analyzed，each branch is even borne by using actuation redundancy，the goal of using less-axis drivers to compensate multi-axis motions of themoving platform is achieved.By using the method of equivalent tran sform of parameters of coupling dynamics，the coupling force/torque of platform and bran ch are described in inertial coordinate fram e.By the target of minimum input power，combined withrate-of-virtual work form of DAlembert principle，the general equation of coupling dynam ics is established.The num erical exam pleshows that the coupling parallel mechanism with actuation redun dancy is suitable for multi-axis compensation of stabilized platform 。

The index ofdynam ic performance ofthe system is also efectively improved.All these works lays a foundation to the further studieson the dyn amics optimization and real-time control of the coupling paralel mechanism。

Key words：Coupling parallel mechanism Coupling dynamics characteristics Dyn amics model Actuation redun dancy0 前言受海面风浪影响，舰船会产生-定幅值与频率·国家自然科学基金(50975244)和河北势技计划(11215636)资助项目。

20120309收到初稿，20121022收到修改稿的多维耦合运动，通常采用多轴稳定平台来抵消横尧纵尧垂荡及横纵向移动对舰载装备的指向扰动。国内外已开展了多项关于稳定平台的研究，并取得了-定的成果，但多为承载能力较低的2、3轴串联稳定平台。这种稳定平台只能满足姿态的稳定要求，不能对舰船的耦合移动进行补偿 j。并联机 械 工 程 学 报 第 49卷第 1期机构在结构刚度、负载能力等方面优于串联机构，且可以实现转动和移动的运动耦合，使其在舰船重载、高精度稳定平台的研发中具有广阔的应用前景。

同时在浪高涌大、忽恶劣时，系统需提供很大的驱动功率，采用冗余驱动能够有效地改善系统动力学性能指标。

针对舰载稳定平台的需求，提出-种新型耦合型 3-SRR/SRU并联稳定平台机构 J，采用冗余驱动保证各分支均匀承载，实现少驱动、动平台多轴联动补偿的目标。而并联稳定平台机构动力学模型是进行动力学性能优化及实时控制的必要条件 〃立并联机构动力学模型的方法有多种，常用的有Lagrange法 J、凯恩法、牛顿欧拉法o 以及影响系数法等 J。LEE 对3-RPS机构作了动力学分析，并将此机构作为3自由度机器人的操作主臂。李剑锋J UJ以系统微分运动关系，分析了 3-RRS、3-RSR等并联机构的动力学问题。NAHON 等[1-12]研究指出冗余驱动的主要作用是通过调整驱动力，使机器人的动力学性能指标得到优化。黄真等J刮最早提出了超确定问题，应用并联机器人机构理论和影响系数理论，建立了并联机构动力学模型，得到了具有普遍意义的结论。

本文基于耦合型并联机构特殊的运动特征，采用耦合运动参数等效变换方法，以系统驱动功率和最小为优化目标，结合虚功率形式达朗贝尔原理建立机构的耦合动力学普遍方程，并绘出动力学性能指标曲线，为进-步研究耦合型并联机构动力学优化及控制奠定了基矗1 稳定平台摇荡耦合动力学特征1.1 舰船摇荡耦合动力学特征在舰船 6自由度摇荡运动中，对直升机安全起降影响严重的是舰船的横尧纵彝垂荡。由于舰船摇荡 自由度之间非线性耦合，舰船发生横、纵摇的同时将产生横荡、纵荡和垂荡，这将导致舰船产生额外的耦合力/力矩，其质心点D 处受力如图 l所示。图 l中 为舰船重力； 为舰船横、纵摇运动时的惯性力矩；而 、 分别为舰船运动过程中产生的耦合力/力矩。

1.2 稳定平台机构摇荡耦合动力学特征本文研究的新型耦合型 3 自由度 5轴联动3.SRR/SRU并联机构如图2所示，其中第 1、2、4分支为 SRR广义驱动分支，第 3分支为 6自由度SRU 非广义驱动(冗余驱动)分支，用以实现各运动图 1 舰船摇荡受力图2 3-SRR/SRU并联机构分支均匀承载动平台受力。惯性坐标系 OXYZ建立于铰链点 1，2，3，4)组成的平面上，坐标系原点为直线 与直线 的交点， 轴为B4指向B2的方向，y轴为 指向 的方向，z轴垂直向上；在铰链点 组成的平面上建立物体坐标系 pxyz，坐标系原点为直线4 和直线 的交点，初始位姿时物体坐标系各坐标轴与惯性坐标系对应轴平行。

由机构的运动特征可知，稳定平台动平台以轴为横摇轴转动tZ后，此时动平台转动轴线为空间内与转动后 y轴平行的直线，转动中心为D 。动平台运动轨迹如图 3所示，面 为动平台参考点P的运动轨迹；面 为动平台参考点P与转动中心 D构成的包络线集合；面 为转动中心0 在工作空间内的轨迹。运动轨迹表明：动平台参考点P在面内移动产生了与此面相切的耦合力 ；同时动平台包络线与圆环相切摆动产生了耦合力矩 ，上述耦合力/力矩大小与稳定平台载荷和动态性能参数有关。

由于稳定平台机构摇荡运动之间相互耦合，面中包络线够成的域不是连通的且包络线始终相切于圆环，参考点P轨迹圆直径d，、转动中心D 轨2013年 1月 刘 晓等：耦合型 3自由度并联稳定平台机构动力学分析 47迹圆直径 、圆环直径 以及包络线长度与稳定平台机构结构参数和横、纵摇转动范围有关。图 4a为横、纵摇姿态角在-、三象限时的包络线投影图；图 4b为另-组横、纵摇姿态角在二、四象限时的包络线投影图。

图 3 稳定平台机构运动轨迹(a)-、三象限包络线投影 (b)二 、四象限包络线投影图4 稳定平台机构包络线投影上述分析可知，采用耦合型3自由度并联稳定平台机构补偿舰船的摇荡运动时，需要补偿由于耦合运动产生的耦合力/力矩，同时在重载、高动态响应、大工作空间的要求前提下，这部分作用力对稳定平台驱动力矩影响也较大，外载荷的这种耦合动力学特征使得耦合型并联稳定平台机构动力学建模方法与传统的方法不同。

2 耦合型并联稳定平台动力学分析2.1 稳定平台耦合动力学参数等效变换本文研究的耦合型 3自由度 5轴联动并联机构其独立自由度运动构成三维位形空间，群空间元素exp(fl1)exp(鲁6c)exp( )eXp( z)与横摇 、纵摇 以及垂荡z有关；同时机构伴随产生2个自由度运动，故机构具有五维位形空间，其群空间元素由横尧纵尧横荡、纵荡以及垂荡构成，形式为exp(O)exp( a)exp(。f1)exp( x)exp( y)exp( z1，机构耦合运动约束方程 为xZS dis Sa-ZS c - dls： (1)zc cp CaC#-dIsaCa式中， sina、cBcosfl，dl为并联机构定平台直径。

稳定平台机构运动过程如图 5所示，动平台与物体坐标系 P绕惯性坐标系 轴转动 后，依据耦合型 3。S SRU并联机构的运动特征，此时机构的连续转轴为过铰链点 且与 )系Y轴平行的直线k，转动中心为0 ；动平台按上述转轴和转动中心转动 ，转动过程中P)系Y轴始终与直线k平行。

图 5 稳定平台机构运动描述动 平 台质 心 点在 D系 中 的位 置 矢 量 为f( ， ， ) ，其相对于质心点的转动惯量在P系中的描述为常数矩阵 。

(1)动平台绕惯性坐标系0的 轴转动 0，此时转动中心为惯性坐标系原点D，动平台相对于惯性坐标系原点的转动惯量在 0系中的描述为[I[exp(ka)] ( ， )(Ixp(曼0c)式中，exp(a)为动平台横摇运动时 系相对于0系的姿态；[ [ ：mf厂，其余[ ]0。

(2)动平台以k为连续转轴转动 ，此时转动中心为D ，其质心点与转动中心连线在D系中的位置矢量为，，h，其中h(0，- ：， ) 。

将动平台耦合运动等效为以过惯性坐标系原点且与转动轴线k平行的直线k 为转轴、以惯性坐标系原点为转动中心转动 。

机 械 工 程 学 报 第49卷第 1期由几何关系得到 aretan(z )tan( )/z)，同理，动平台相对于惯性坐标系原点的转动惯量在D)系中描述为[ [exp(3ca)exp(.fl )] ( )[exp(3：a)exp(.fl )](3)动平台沿z轴移动时，因物体坐标系P与惯性坐标系D姿态保持不变，故只改变动平台相对于定平台的位置关系，而不会改变动平台姿态和转动惯量。

综上所述，当平台独立 自由度为( ， ，z) 时，平台相对于D系的等效独立自由度为( ， ，z) ，其相对于惯性坐标系原点的转动惯量在惯性坐标系D中描述为[I[exp(&a)exp(fl ) ( I p)[eXp(妃)eXp( )](2)2.2 平台受力分析由第 1.2节分析可知，耦合型并联稳定平台机构平台耦合力/力矩大小与稳定平台载荷和动态参数有关。由刚体欧拉方程，得到载荷由于独立自由度运动作用于平台的受力表达式G[ ×(砌)] (3)式中，tO、分别为动平台角速度、角加速度。

由牛顿第二定律，载荷由于耦合自由度运动作用于动平台的耦合力/力矩表达式如下：耦合力FC～(ma)耦合力矩Mcf×FG (5)式中， 、a分别为动平台重力、线加速度。

(1)由刚体动力学，动平台角速度m与等效欧拉角( ， ) 对时间的导数(吱， 有关，结合第 2.1节得到其表达式为tOexp(Sca)(1 0 0) 吱exp(Sca)exp(jfl )(0 1 0)T 6(a 0) (6)式(6)两边对时间求导得到动平台角加速度8a(a 0) (吱 O)H(a 0) (7)(2)机构耦合运动过程中，动平台位置矢量.厂对时间的-、二阶导数就是动平台线速度、线加速度，其表达式分别为.1，( )### 三) ]T ： .(8)f ](等 ]将式(1)、(2)、(6)～(8)代入式(3)～(5)中，建立动平台所受外力在惯性坐标系下的表达式F：( ； ) (9)2.3 运动分支连杆受力分析运动分支各连杆质量为 ，其转动惯量在连杆坐标系下的描述为 ，建立广义驱动副速度与运动分支中各连杆速度之间的映射关系，并得到连杆角速度∞( ) 、角加速度s( )， 和线加速度口( ，按第 2.2节同样的方法分析得到运动分支各连杆所受外力在惯性坐标系下的描述，(，) 。

3 耦合型并联稳定平台动力学模型当机构具有确定的位姿时，由并联机器人理论建立并联稳定平台机构广义坐标对动平台的影响系数矩阵 ；广义坐标对广义驱动分支连杆的影响系数矩阵 ；广义坐标对非广义关节坐标的影响系数矩阵 。故动平台受力，对广义坐标的等效驱动力矩，/- P( ) F (10)运动分支连杆受力F(r)，i对广义坐标的等效驱动力矩f ( ) F (11)非广义关节坐标驱动力矩f 对广义坐标的等效驱动力矩f；( ) (12)根据虚功率形式达朗贝尔原理，广义驱动分支驱动力矩与等效驱动力矩平衡，结合式(9)～(12)建立系统动力学平衡方程4 /，2 、f f ∑I∑f If；口 03)rl、i1 /式中，f 为广义驱动分支驱动力矩。

以系统驱动功率和最小为优化目标，采用关节驱动力矩的加权最小二乘法协调分配系统载荷。定义系统驱动力矩加权平方和为bj：( f ) ( f ) (14)2013年 1月 刘 晓等：耦合型3自由度并联稳定平台机构动力学分析 49式中，加权矩阵 /ol o：lq2 4， 曹， 。) -( T T ) ×[f P喜(喜f )])opt-，-( ) [ ( ) T ] -×T [f P喜(喜f ](15)将相应参数代入式(13)，机构运动分支驱动力矩表达式f( 0pt )呲：，sopt )opt3：) (16)若机构无非广义驱动分支时，同理根据虚功率形式达朗贝尔原理建立系统动力学平衡方程4 ， 2 、ff ∑l∑f I口) (17)rl i1 /式中，f为机构无非广义驱动分支时各广义驱动分支驱动力矩。

4 耦合型并联机构动力学数值算例本文涉及的稳定平台用于某舰载直升机起降，机构主要参数如下3.定、动平台直径分别为dl3 700 lrlrfl、dE3 000 mil，分支连杆长度分别为，22300mm，平台处于工作位时，动、定平台距离为zo2 000 Im ；动平台连同直升机质量为 m10000kg，分支连杆质量分别为 ：743 kg，其相对于质心点的转动惯量在自身坐标系中的描述分别为f3 280 0 0] l 0 3 280 0 l kg·m0 0 6 560，Jf850 0 0] l 0 83 0 I kg·ITI1 0 0 844J l7级忽下，排水量为7 000 t的科考船将发生30。横摇以及8。纵摇 ，舰船横、纵仪按正弦激励处理 ，横摇周期为 8～20 S、纵摇周期为 5～l0 S o本文采用正弦波叠加技术模拟实际海浪运动，则动平台独立自由度运动规律为4 sin (2 ]胁 ( ]式中， 为横、纵摇幅值； 为横、纵摇周 期 ； ：为 横 、 纵 摇 初 始 相 位 。 取430。、 8。、 8 s、仍仍0。

4.1 平台动力学指标分析对于系统给定的运动规律以及平台耦合运动特征，动平台等效转动惯量变化趋势如图6所示。

由于动平台绕 y轴转动范围小，故转动惯量分量的最大值与最小值的差值仅为0.16×10 kg·m ，而其余转动惯量分量值变化范围较大，等效转动惯量的这种特性决定了耦合型并联机构的动态特性和驱动力矩变化趋势。

昌岛- ×删整需婢图6 耦合型并联机构等效转动惯量变化曲线对于系统给定的运动规律，耦合型并联机构平台由于耦合作用产生的耦合力/力矩如图7所示，分析 曲线可知 ，其最大值分别为 1.65×10 N 、1.46×10 N.m，同时由于动平台 5轴联动，故在 z方向的力矩始终为零。

稳定平台除了受重力、横摇运动时的惯性力矩以外，还受到由于耦合运动产生的耦合力/力矩，其受力大宣表 1，数据分析表明：与动平台载荷以及独立自由度产生的力/力矩相比，稳定平台机构由于耦合自由度产生的耦合力/力矩较大，特别在高海况海情下，这部分作用力将会变得更大。稳定平台采用耦合型并联机构可使这部分作用力完全由运动分支驱动力承担，而不需要机构结构承担，进而在50 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 1期动力学上有效地消减舰船扰动对舰载设备的影响。

三之×-R表 1 耦合特征对并联机构动平台受力影响 10注：表中数据均为原始数据求绝对值后的处理结果。

4.2 运动分支动力学指标分析对于系统给定的运动规律，得到机构在有、无非广义驱动分支时各运动分支驱动力矩(图8)、驱动功率平方和变化曲线(图 9)，具体分析见表 2。分析表明：机构有非广义驱动分支时，系统动力学特性曲线变化平稳，驱动力矩最大值和平均值分别降低了 32.2%、42.9%，驱动功率平方和最大值和平均值分别降低了49.4%、54.3%，机构动力学特性得到了明显的改善。

机构按给定运动规律的最大速度、最大加速度在姿态工作空间内运动，各运动分支驱动功率平方和随横、纵摇姿态角的变化曲面如图 10所示。从图10中可以看出：机构驱动功率平方和变化范围较小，曲面光滑平稳而且关于XO、YO基本对称，数据分析见表 3，在位姿(30。，8。) 、(30，-8。) 处驱动功率平方和达到最大值6.29×10 kW ，在平衡位姿(0。，0。) 处达到最小值0.58×10 kW 。

机构按不同组横、纵摇周期所对应的最大速度、加速度在姿态工作空间内运动，机构各运动分支驱动功率平方和随横、纵摇的变化曲面如图ll所示，数据分析见表4。分析表明，机构各分支驱动功率平方和随横、纵摇周期增加而减小，在(8 s，5 s) 、(20 S，10 s) 处 分 别 达 到 极 值 6.67×10 kW 、5.02×10 kW。。由此可见，横、纵摇周期对机构动力学指标影响较小，舰船在不同忽中运动时，耦合型并联式稳定平台各项动力特性指标变化平稳。

- ×椒褥雷需运行时间(a)无非广义驱动分支运行时间 s(b)有非广义驱动分支图8 耦合型并联机构驱动力矩变化曲线运行时间 f/s图9 耦合型并联机构驱动功率平方和变化 曲线表 2 运动分支动力学指标比较注：表中数据均为原始数据求绝对值后的处理结果。

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作者简介：刘晓，男，1986年出生，博士研究生。主要研究方向为并联机器人理论及应用、并联装备。

E-mail：liuxiao###ysu.edu.cn赵铁石(通信作者)，男，1963年出生，博士，教授，博士研究生导师主要研究方向为并联机器人、机电-体化、并联装备。