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基于杆组邻接矩阵的平面机构综合方法

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Structural Synthesis M ethod of Planar M echanisms Using the Assur-groupBased Adj acency MatrixLI Shujun DAI Jiansheng ,(1.Colege ofMechanical Engineering and Automation,Northeastem University,Shenyang 1 10004;2.Key Laboratory for M echanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education,Tianjin University,Tianjin 300072;3.KingS Colege,University ofLondon,London WC2R 2LS,UIOAbstract:In order to obtain al1 kinds of kinematic chains that bclm with R and P ioints in the structural synthesis of planarmechan isms,a new structural synthesis method of planar mechanisms is developed by integrating Assur groups as elements in themodifed adjacency matrix.A modifed group-based adjacency matrix is hence proposed based on the previous study.All assemblyforms of Assur groups in the modified group-based adjacency marx can be determined.The connection forms of all R joints of theAssur groups in the assembly forms are permutated step by step folowing the proposed connection constrains an d isomohism isdetected in the process.Structural forms with R and P joints are hence obtained using permutation of al types of Assur groups in theconnection forms,and the inverse problems are revealed in the syn thesis.This generates a total of 364 kinds of structural forms of6-bar linkages with R and P joints which are determ ined for the first time using the proposed method and demonstrates the eficiencyan d practicality of the proposed method。

Key words:Group-based adjacent marx Structural synthesis Synthesis by stage Isomohism detecting in the stages0 前言从最初应用观察法到图论理论和邻接矩阵的引入,特别是计算机辅助分析技术的应用,平面机·国家自然科学基金资助项IEI(50875038,51175069)。20111021收到初稿,20120423收到修改稿构的构型综合研究不断取得新进展。主要有以构件、运动副为结构拓扑单元的构型综合,如DAVIES等L1 基于 Franke标,(FrankeS condensed notation)的综合方法,HAAS等 添加二副杆的综合方法,MANOLESCU 等[3-61提出和发展的二副杆转化法,以 Assur杆组为主的添加构件组的综合方法 ,TUTTLE等L1 提出的对称群法,CAO等L1 提出的l4 机 械 工 程 学 报 第 48卷第 13期考虑复合铰链的综合方法,LIU4I提出-种空间机构构型综合方法等,这些工作都为机构的结构构型综合做出了贡献。

基于 Asuur杆组的结构组成理论是-种机构设计与机构综合相结合的设计方法和设计过程,这种在主动件和机架上添加 Assur杆组的机构组成方法,使机构结构综合过程直观、便捷和实用。通常的平面机构的结构拓扑描述用邻接矩阵表示,提供构件问的连接信息,这种描述虽便于计算机处理,但不便于直观构造运动链 。然而到目前为止,应用 Assur杆组进行结构构型综合时还没有相应的邻接矩阵描述,其在构型综合过程中具有随意性,同时也难以求出给定杆组对应的全部机构。本文前期研究引入了扩展 Assur杆组的概念l9并且把Assur杆组作为-个元素,替代通常的邻接矩阵中的构件元素,构建了-种杆组邻接矩阵[2。。本文研究基于该杆组邻接矩阵的机构综合方法和相关的同构体辨识问题,有效解决上述不足,进-步完善基于 Assur杆组的结构构型综合理论和方法,使其应用进-步系统化和计算机化。

1 Assur杆组元素的表述基础1.1 杆组中运动副节点的表示设用f表示杆组中构件⑦的外运动副, 表示连接构件①和⑦的内运动副,i表示⑦构件上其他节点。杆组中运动副节点的表示如图 1所示。

1图 1 杆组中运动副节点的表不1.2 II级Assur杆组的构件编号及类型表示I级 Assur杆组是应用最多的基本杆组,共有 5种类型。根据第 1.1节对运动副节点的规定,为保证杆组中对应节点的唯-性,要建立杆组中构件的编号规则,使后续的矩阵描述具有唯-性。构件编号的基本规则:以外运动副为起点,由外副至内副,与小编号构件接续编号。I级 Assur杆组的构件编号及用符号 ( 1,2,)表示其级和类型,如图 2所示。

1.3 主动件和机架的编号与类型图3给出了转动形式和移动形式的两种主动件和机架的编号,并分别用符号D 和D 表示其类型。

(a)A (b) ; (c) ;(d) (e) 5图2 II级 Assur杆组构件编号和符号表示①(a)D (b)D图 3 主动件和机架的编号及符号表示2 改进的平面机构的杆组邻接矩阵为了便于描述机构的结构和分步构造杆组邻接矩阵,按机架、主动件和杆组的顺序描述平面机构,因此将文献[20给出的杆组邻接矩阵改写为下述形式F J JD i ag J J 式中,对角线元素表示机构的组成元素,即机架、主动件、Assur杆组及其扩展杆组。非对角线元素表示各元素间的连接关系和连接运动副的类型。本文称式(1)为改进的杆组邻接矩阵。D为主动件,上标tl,2,为主动件的类型。F为机架构件。 为Assur及扩展杆组的级和类型。其中CI,m,分别代表I级,II级,Assur杆组;CAII,AAI,,分别代表扩展II级,III级,Assur杆组;对应上标t1,2,代表杆组类型。例如 为类型为 1的II级Assur杆组,根据前述规定即为RRR杆组; Ⅱ为类型为 2的扩展II级 Assur杆组。 为杆组间的连接关系及运动副的类型。 为对角线元素相互连接的运动副的符号(如R,P,); k为后-元素的外运动副的节点号,k0时为与机架构件连接。P为连接在前-元素的位置处的节点号。根据前述规定,当Pi,i1,2,为前-元素的外运动副的节点号;当P/j,i,,1,2,;,≠f为前-元素中连2012年7月 李树军等:基于杆组邻接矩阵的平面机构综合方法 15接构件 i和 的内运动副的节点号;当Ji时为前- 元素 i构件上的节点号。当二元素间无连接时, 0。

3 基于杆组邻接矩阵的机构综合方法3.1 逐级构造杆组邻接矩阵与同步辨识同构体策略基于 Assur杆组的平面机构的组成原理,根据式(1),选-个主动件 D连接在机架 F上,依次添加 个 Assur杆组和/或扩展 Assur杆组,将其连接到主动件和机架上,或连接到前-级(或几级1杆组和机架上。其约束条件如下。

f1)后-杆组连接到前面杆组和机架上的节点数和杆组的外运动副数 目相同,且必有-个节点与非机架构件相连接。

(2)要保证添加的每级杆组的外运动副的运动参数是逐级确定的。

(3)同-杆组的两个或以上外运动副不能与除机架构件外的同-构件连接。

基于式(1)的逐级构造杆组邻接矩阵及同步辨识同构体的机构综合方法总体过程如下。

(1)求解杆组元素的装配连接组合:即求给定杆组的所有连接组合,此时可仅考虑式(1)对角线元素 的可能排列形式,并同步辨识同构体。

(2)逐级求解杆组间的可行连接关系:将上步求出的结果,根据前述约束条件,采取逐级添加杆组构造杆组邻接矩阵,即逐级构成子机构杆组邻接矩阵的方法,获取 tl时的杆组元素间的所有可能连接方式,并同步辨识同构体,获取杆组间连接关系的全部构型。

f3)确定不同类型杆组可构成的机构构型~t2,3,,分别代入 tl获取的构型中的 ,获取对应的机构构型。

采取这种逐级构造杆组邻接矩阵与同步辨识同构体的综合方法,可以提高机构综合的效率和准确性。

3.2 机构综合方法与示例设求 自由度为 杆件数为 n、单主动件的平面机构的全部构型。

3.2.1 给定杆组的全部装配组合3.2.1.1 单自由度机构构件数和杆组数关系主动件和机架各有-个构件,I级 Assur杆组有2个构件,II级和Ⅳ级 Assur杆组有4个构件,因此机构的构件数 n和杆组数有下述关系式中,4为 i级 Assur杆组的数 目(iII,II,)。

3. 1.2 变胞机构构件数和杆组数关系变胞机构中扩展 Assur杆组的数 目就是主动件以外的自由度数,若扩展 Assur杆组数为m ,则m M -1 (3)扩展I级 Assur杆组有 3个构件,扩展II级和I、,级 Assur杆组有 5个构件,因此变胞机构的构件数 和杆组数有下述关系n-2 3 I5 Ⅲ5AAIv (4)式中, 为代表 f级扩展 Assur杆组的数目(iI,III, 1。

3.2.13 的全部装配组合根据排列组合原理,m个杆组,每次取 的排列 (5)式中,,.m-l,m-2, ,l。

因此 的全部装配组合 ∑ . (6)例如 6杆机构,根据式(2)可知,可由主动件、机架和 2个I级杆组(m2,,.1),或-个II级杆组或-个Ⅳ级杆组(m1, 1)组成。由式(6)知,6杆机构 的全部装配组合T∑ 2P1 4表示其装配组合关系的杆组邻接矩阵为41F 、 f FAr2D4,[F。 ] 4 :c,。 ]A 2F 、 l F:D。J 缸 Ar1变换和对比4 和4 对应元素可知,AT。Ar ,即其之-为同构体,即全铰链平面 6杆机构共有 3种装配组合形式。

根据 求出主动件与机架的所有可行连接关由于仅表述 D 与 F间的连接关系,因此式(1)16 机 械 工 程 学 报 第 48卷第 13期中的连接关系用JR1表示。

组合形式,平面 6: 杆机构D与 F间的连接方式为 ADlF 11 D。

f,F 1 ] l~ j1 1 ]根据Ao 和第 4.2.1节的约束条件,求出第-级杆组与主动件和机架间的所有可行连接关系。

AG1F 1 11 D 11 1 Aili1椎AG2:A3F 1 l 01 D 1 01 1 l 10 0 1F 1 1 01 D 1 11 1 l 10 1 1 A1A2A4F l l 11 D 1 01 1 1 11 0 1F l l 11 D 1 11 1 1 01 1 0和 与 :和 间的可行连接方式A5AG2 A6AG3若( ) 为最后-个杆组,则所获结果即为所求机构的可行连接构型。

3.2.4 外副与前杆组元素不同构件的连接在上述的连接方式中, 外副与前杆组中不同构连接,若获取不同的环路,则对应不同的机构构型。因此,为了区分连接的不同构件,用pi为杆组的构件号,即为连接节点号)替代表示连接关系的符号 1。

例如上述 和 中的前-杆组的二构件分别与主动件和机架连接,后-杆组外副与其不同构件连接将构成不同的环路,因此考虑连接构件的不同, 和4 具有下述形式辨识同构体:由于为全铰链杆组,则: AG2F 1 11 D 11 1 A1 AG1变换和对比 和 :对应元素连接关系可知A。 AG ,即其之-为同构体,即 对应-种独立连接关系。

由AD 和 3,对应杆组与前元素D和 F可行的连接方式f F2l 111 1]D 1 l1 。j : f1 1 1、 D l1 J即A ,和 m各对应-种独立连接关系。

3.23.2 任意杆组与前各元素间的连接方式求第 f个杆组与前所有元素间的可行连接关系,即求后-杆组与 间的可行连接关系。

对于平面6杆机构,后-杆组 与由A ,间的连接方式A3将 pl 1和 p22分别代入式(7),获取对应的(p11),A2(p22),A3(p11)和 (p22)共4种构型。即全铰链 6杆机构共有 8种连接矩阵(不含复合铰链连接),即组成 8种全铰链 6杆机构,由(i1,2,)获取的对应8种连接构型如图4所示。

结果表明,本文提出的综合方法获取的6杆机构连接构型,同时完成了包括机架变换和主动件的选择问题的平面机构综合问题。对于构件数更多的机构的连接构型综合,可依上述方法和步骤,将对应矩阵元素设定对应的数字或符号,根据约束条件搜索和判断连接节点,由计算机辅助完成。

3.2.5 考虑杆组类型时的构型综合将上步获取的构型4(i1,2,)的D 和 用D 和 替换,构成连接关系的-般形式~ tl,2代入D 和 t-I,2,分别代入 ,经排列组合,并同时代入对应杆组的外运动副符号,可获取对应杆组类型的全部机构构型。

2 O 砧 p1 D 1 11 1 0 2 0 p砧 p1 D 1 01 1 l 2 1 D 1F l 12 砧 l D 1F l 12012年 7月 李树军等:基于杆组邻接矩阵的平面机构综合方法(a)A1 (b)A2(pl1)(c)A 2(p22) (d)A 3( 11)(e)A 3(p22) (f)A4(g)A 5 (h) 6图4 平面 6杆机构的 8种连接构型将D 的t-I,2和 的 tl,2,,5分别代入6杆机构由II级Assur杆组组成的6种连接构型,即由4~ 可获(5×5×2)×6300种。根据文献[21]II级杆组有 l9种类型,由 可获由II级杆组组成的 6杆机构(19X2)×138种。根据文献[22]IV级杆组有 13种类型,由 可获由Ⅳ级杆组组成的 6杆机构(13×2)×126种。即运动副类型为转动副和移动副,包含主动件的选择和机架变换问题的6杆机构的所有构型为 364种。

4 结论(1)给出了改进的杆组邻接矩阵,更方便直观对机构进行分步描述,建立了系统应用 Assur结构组成理论进行机构综合的基矗(2)给出-种基于杆组邻接矩阵的平面机构综合方法。提出了逐级构建杆组邻接矩阵和逐级同步辨识同构体的综合方法,系统地给出了具体过程和步骤。

(3)实例演示了机构综合过程。应用该方法,首次求出运动副类型为转动副和移动副,包含主动件和机架变换问题的6杆机构的所有构型为364种。

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