基于2R伪刚体模型的柔顺机构动力学建模及特性分析

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Dynamic M odeling and Analysis of Compliant Mechanisms Based on 2RPseud0-rigid-bOdy M odelLI QianL YU Yueqing CHANG Xing(1.Colege of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology，Beijing University ofTechnology，Beijing 100124；2.Department of Mechanical Engineering，Shanxi Engineering Vocational Colege，Taiyuan 030009；3.Technical Center，Taiyuan Heavy Industry Co.，Ltd.，Taiyuan 030024)Abstract：As a new kind ofmechanisms，the compliant mechanism accomplishes the transmission or transformation ofmotion，forceand energy by the elastic deform ation of component itself.It is an advanced aspect in the study of the mechanisms.A new dynamicmodel of compliant links with different loads(end moment or vertical force)is proposed based on 2R pseudo·-rigid-body model(PRBM).The kinetic energy and deformation energy are obtained based on the new dynam ic mode1.The dynamic equations ofcompliant links are derived via Lagrange equation.Compared with the 1R pseudo-rigid-body dynamic model(PRBDM)，the equationproperty and dynamic response of each pseud-rigid-body dynamic model are analyzed.The superiority of the 2R pseudo-rigid-bodydynamic model is presented.The validity of the new model is verified in the exam ple of a planar compliant parallel-guidingmechanism.The numerical results indicate that not only the motion trend but also the internal local deformation of compliant link s aredescribed in the 2R pseudo-rigid-body dynamic mode1.The 2R pseudo-rigid-body dynam ic model can be used to show the dynamicbehavior of compliant mechanisms and is suitable for the dynam ics analysis and design of compliant mechanisms。

Key words： Compliant mechanisms 2R pseudo-rigid-body model Dyn am ics国家自然科学基金资助项11(50875002，51175006)。20110512收到初稿，20120507收到修改稿2012年 7月 李 茜等：基于2R伪刚体模型的柔顺机构动力学建模及特性分析 4l0 前言柔顺机构是主要依靠机构中的柔性构件(杆件)的变形来实现机构的主要运动和功能的机构，它能够实现运动、力和能量的传递和转换。与传统机构相比，柔顺机构积极地利用杆件变形来改善和提高机构的性能，在很多诚具有明显的优势 J。由于柔顺机构在结构上减少甚至没有运动副，因此柔顺机构在构件数 目上比传统机构要少得多，从而具有减小所需空间、间隙和摩擦、磨损等优势，达到降低成本和提高机构精度的目的。正是由于诸多优点，柔顺机构引起了广泛的关注，成为机构学界研究领域的新热点L2J。

目前，柔顺机构的研究工作主要集中在结构学和运 动学 方面 。为 了简化柔 顺机 构的分 析 ，HOWELLIl提出了 1R 伪刚体模型法(Pseudo-rigid。

body model，PRBM)，该文用具有等效力-变形关系的刚体构件来模拟柔性部件的变形，从而刚性机构的理论就可以用来分析柔顺机构。HOWELL 等[ ]将自由端受力的悬臂梁等效为铰接在-起的刚性杆件，并在关节处加-个扭转弹簧，由此得到悬臂梁末端受力载荷作用时的伪刚体模型，用来分析悬臂梁末端的运动轨迹。之后他们还提出了柔顺机构的分析与综合的封闭环理论，并应用伪刚体模型方法对柔顺机构进行分析4J。HETRIK等5拓扑优化方法也应用到柔顺机构的设计过程中，利用满足运动约束和能量最大化条件的目标函数对机构进行优化设计，得到高性能、高效率的机构。SU[6]针对 1R伪刚体模型存在的模拟精度较低的问题，提出-种 3R伪刚体模型，并用有限元软件作了误差分析，表明3R伪刚体模型具有更高的准确性。但是 3R伪刚体模型参数过多，计算过程复杂。针对此问题，冯忠磊等L7 J提出了以末端转角参数化近似方法为基础的2R伪刚体模型，得出了模型最优特征半径系数和刚度系数，结果表明 2R伪刚体模型既达到较高的模拟精度，同时也简化了 3R伪刚体模型复杂的迭代过程。目前，虽然 2R伪刚体模型停留在运动学方面的研究，但是可以预测它在动力学方面会有更加明显的优越性。

SCOTT等L8J以平行导向柔顺机构为例，运用伪刚体模型方法分析机构的固有频率等特性。LI等[9]采用有限元法对柔顺机构的动力学性能问题进行了分析，并通过动力学分析软件对 MEMS实例进行了分析。

谢先海等u UJ则采用基于刚体-弹簧模型的多刚体离散元方法建立柔顺机构的多刚体离散元模型，并进行了柔顺机构静力及动态分析。Yu 等lIJ基于动力学等效原理，建立了 伪刚体动力学模型”，并推导出平面柔顺机构的动力学方程。王华伟等Il ]在充分考虑柔性杆大变形特性的基础上，根据欧拉-伯努利方程，建立了平行导向柔顺机构的动力学模型。以上关于柔顺机动力学方面的研究都还比较初步，基本上都是基于单自由度模型的分析，不能完全反映出柔顺机构的动力学特性，也不能满足柔顺机构动力学分析和设计的要求，这将直接影响柔顺机构研究整体水平的提高，对于柔顺机构的研究和应用向纵深发展十分不利。本文研究 目的就是为解决这方面问题而进行的探索。

本文在 2R伪刚体运动学模型的基础上，提出柔顺机构的2自由度伪刚体动力学模型。首先以柔顺机构中的主要变形构件--柔顺杆为研究对象建立2自由度伪刚体动力学模型，分别推导其在两种载荷模式下的动力学方程，并进行动力学特性分析，通过与单 自由度伪刚体动力学模型比较，表明 2自由度伪刚体动力学模型的优越性。然后以平行导向柔顺机构为例，利用该模型进行动力学特性分析。

1 基于 2R伪刚体模型的动力学模型柔顺杆是柔顺机构中的主要变形构件，因此本文首先以柔顺杆为研究对象建立其 2自由度伪刚体：动力学模型。

图 1为柔顺杆末端受载荷作用及其 1R伪刚体模型，该模型是由两根刚性杆和-个扭簧组成的单自由度系统，简称单 自由度伪刚体模型，由于系统中含有 1个转动副，又简称为 1R伪刚体模型。图 1中柔顺杆的杆长为，，质量为m，柔顺杆末端受到力矩 作用后，其末端的坐标为(口，6)。扭簧的扭簧常数分别为 ，各刚性构件 0杆、1杆的长度分别为 ，fi0，1)， 为各刚性构件的特征半径系数，且 1。在末端受到力矩(垂直力)时，末端转角为 ， 为刚性杆等效转角， ，其中柔顺杆末端受力矩作用时C 1.516 4，柔顺杆末端受垂直力作用时C 1.2385。

图2为本文提出的柔顺杆末端受到载荷作用时基于 2R伪刚体模型的动力学模型，本文将针对末端受垂直力和力矩作用两种载荷进行统-建模。基于 2R伪刚体模型的动力学方程是由三根刚性杆和两个扭簧组成的2自由度系统，简称 2自由度伪刚体模型，由于系统中含有 2个转动副，又简称为 2R伪刚体模型。如图 2所示，柔顺杆的杆长为，，在末端受到力矩(垂直力)时，末端转角为 。两个扭簧的扭簧常数分别为 、 ，，各刚性构件 0杆、142 机 械 工 程 学 报 第 48卷第 13期(a)末端受力矩作片j (b)末端受垂互力作用图2 柔顺杆末端受载荷作用的2R伪刚体模型1.1 动能分析如图 1b、2b，各刚性构件 0杆、l杆、2杆对应的各质心点坐标分别为( ，Yi)(i0，1，2)，Ehl.-I以得出各点的位置方程如式(1)、(2)所示r 1IX1Yo!寺 ，cos (1)l YiYl/sin01由于 0杆部分固定，则系统的总动能由1杆、2杆两部分的动能构成，因此系统的总动能 。 。 。 馥 1，z (5)式中 --刚性构件i杆的速度- - 刚性构件i杆的转动惯量将式(3)、(4)代入式(5)，化简得 Aml Bml ， (6)式中 吉 12 12 c。s 13吉C 1 2 cosO21 31.2 变形能分析当柔顺杆振动时，柔顺杆的变形能储存在伪刚体模型的扭簧中，扭簧常数可由下式来确定： 式中 --刚度系数E--柔顺杆材料的弹性模量- J喷性矩 ]所以柔顺杆的总变形能 K 百EJ( KiS12 ) (7)1-3 动力学方程由分析力学可知，拉格朗日方程式为ft堕o4)dt 1-等鲁 f-1，2(8) a a -根据上述计算，将柔顺杆 2R伪刚体模型的动能和势能分别代入拉格朗日方程式，可以得到该柔顺杆的动力学方程。

j f c0s O1lTflcos(61 )(2)组为 l fsin fsin( )将式(6)和式(7)代入式(8)，整理得动力学方程D1。萌Dl： Dl 。 01： D1。： -t- D2 -I -I% (9)， 十D2 。 - o将方程式(9)写成矩阵形式为(D2Oil。D 2Jt，2) D 2)， o]JDl12 ( D。2]Jf，C 721J(-。 。 嘲 . 。

2012年7月 李 茜等：基于2R伪刚体模型的柔顺机构动力学建模及特性分析 43式中 Di --刚体杆f的有效惯量， 是刚体杆i的加速度 在刚体杆i上产生的惯性力矩( c。s ) ，： ，，z，- - 刚体杆 i和 J间的耦 合惯量 ， i≠， 、 是因为刚体杆f、 的加速度 、 ，在刚体杆J、i上产生的惯性力矩： 。( 十吉 c。s ) ，- - 向心加速度系数， 是刚体杆 的速度 在刚体杆f处引起的向心力l0 q2- 1 2 sin02mlDE22O DEl1 122 sin02ml- - 科氏加速度系数，f≠七，( % )是刚体杆 和k处的速度和 引起 的作用于刚体杆 i处的科氏力12- sinO2mlD121D212：D2210口--扣簧i处的变形能影响项Dl： 了EJD2所有这些系数均为广义坐标Ol和 的函数，同时也与质量 m、杆长，、特征半径系数 和刚度系数 有关。

式(9)、(10)为柔顺杆末端受到力矩或垂直力作用的动力学方程通式，由于柔顺杆末端受到力矩和垂直力作用时的特征半径和刚度系数各不相同，各参数见下表71，以下对两种载荷情况分别做讨论。

表 不同受力情况下的特征半径和刚度系数将表中参数代入式(9)化简如下。

(1)末端受垂直力作用(O.1730.07cosO2)ml (0.015 6O.035cosO2)ml。 -O.07sin82ml -0.035sin ， 1.838 3.Earo. ： 0。 。 l (o.015 60.035cosO2)ml 0.035sin ， 0.569 3 ：0(1 1)(2)末端受力矩作用(O.176 20.021 4cosO2)ml (O.001 90.010 7cosO2)ml -0.021 4sinO2ml -0.0107sinOzmz 1.357 7-EJ： 0(O.001 90.010 7cosO：)mt O.001 9ml 0.010 7sin ， 0.345 2 ：o(12)基于类似的方法可推导出柔顺杆的 1R伪刚体模型的动力学方程1 .. ÷ ml Kd ：0 (13)j式中， AkK。

柔顺杆末端受力矩时4 1.516 4，柔顺杆末端受垂直力时4 1.000 0l1J。

对比式(9)与式(13)可以看出，基于 1R伪刚体模型的动力学方程是只含有-个变量 的微分方程式，而基于 2R伪刚体模型的动力学方程是含有两个变量 ，o2的变系数二阶微分方程组。该方程组不仅包含有效惯量和变形能项，还包含有耦合惯量、向心加速度系数和科氏加速度系数。因此基于 2R伪刚体模型的动力学方程不仅能反映柔顺杆各部分的动力学特性，而且能表示出刚体杆f或 ，在刚体杆 ，或f处产生的惯性力矩、向心力和科氏力，从而反映了1杆与2杆的内在关联，即更真实地反映柔顺杆的变形状况。这是2自由度伪刚体动力学模型比单自由度伪刚体动力学模型在本质上的区别和改进。下面将通过数值算例做进-步说明。

2 动态响应分析设柔顺杆材料为聚丙烯 ，杆长 300ITI1TI，h-1.11mill，末端初始角度为73。，利用 Matlab求解各伪刚体动力学模型方程式的响应曲线。下面分别给出 1R伪刚体模型和 2R伪刚体模型的情况。

2.1 1R伪刚体模型利用 Matlab求解基于 1R伪刚体模型的动力学机 械 工 程 学 报 第 48卷第 13期方程式(13)得 (f)的响应曲线，如图3所示。

时间 s(a)末端受力矩作用时间 f/s(b)末端受垂直力作用图 3 1R伪刚体模型响应曲线由图 3可以看出，基于 1R伪刚体模型的动力学模型响应曲线是单-的简谐运动，这只表现出柔顺杆的整体振荡现象，而没有反映出其杆件局部的变形运动。

2.2 2R伪刚体模型2.2.1 末端受垂直力作用利用 Matlab求解式(11)得 (f)，02(t)转角、角速度及角加速度曲线，如图4～6所示。

鬈副蛙甚时间 s图 4 受垂直力作用的 2R伪刚体模型位移曲线O O 1 O 2 O 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 0时间 ∥s图5 受垂直力作用的 2R伪刚体模型角速度曲线0 0 1 O 2 O 3 04 0 5 06 0 7 0 8 0 9 l 0时间 f/s(a)角加速度 1时间 s(b)角加速度 2图6 受垂直力作用的2R伪刚体模型角加速度曲线由图 4可知， (f)做低频振荡， (f)依附于(f)上进行高频振荡，但 (f)的振幅小于 (f)。

在角速度及角加速度变化曲线中，o2(f)的角速度及角加速度大于 (f)的角速度及角加速度。而且对于各转角，角加速度的变化与其角速度的变化曲线相对应。这表明柔顺杆在末端受到垂直力作用的情况下，柔顺杆末端 2杆在随着柔顺杆整体部分做低频振荡的同时，2杆还在做高频振荡，且 2杆的振幅加 m 5 0 锄s意 J)/ 窜副 量∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ ∞2 2 3 4 --s、 J)/ 煅景嫂霉 屡qBJ， 姬辱聿到 吾零 ， 口Bj/ 辱毒 蔗零--S/p∞J)/ 最 害副 罾零2012年 7月 李 茜等：基于2R伪刚体模型的柔顺机构动力学建模及特性分析 45小于 1杆的振幅。这比较形象地表现了柔顺杆的变形运动过程。相比之下，采用 1R模型则只能得出如图 3所示的-维简谐振荡响应曲线，这充分说明了本文提出的 2R动力学模型在真实反映柔顺机构动力学特性方面所具有的优越性。

为了有利于更清晰地研究柔顺杆的实际振荡过程，根据柔顺杆 2R伪刚体模型可以得到各时刻点 2R伪刚体模型的 ，o2的取值，从而绘制出相应的位形图，如图 7所示。图 7a与 7b分别为末端转角由90。至-9O。和-90。至 9O。∩以看出，当 1杆由①运动到⑩完成 90。的摆动时，2杆已经完成若干个周期的摆动，这与图4相呼应，也表明了相对于1杆而言，2杆的运动周期较短，变化较快，反映出柔顺杆的变形及其振动情况。

图 7 受垂直力作用的2R伪刚体模型位形图2.2.2 末端受力矩作用与末端受垂直作用的初始条件相 同，利用Matlab求解式(12)得 ，o2的响应曲线，角速度曲线及角加速度曲线，如图8～lO所示。

蛋量时间图 8 受力矩作用的2R伪刚体模型转角曲线- - 0 0 l 02 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 O时间 f/s受力矩作用的 2R伪刚体模型角速度曲线0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 06 0 7 0 8 0 9 1 0时间 s(a)角加速度 1时间 s(b)角加速度 2图 10 受力矩作用的2R伪刚体模型加速度曲线0 O 0 O 0 O O O O 8 6 4 2 gpB 域娥器副il 爰O O O 0 O O O 0 O O 0 9 ∞ ∞ ∞ ∞ 加 加 ∞ ∞ 舳- - - -f，s/qBJ)/- 趟 曩 制i 藩5 O 5 0 5 O 5 O -s/ .I ×)/ 煨景嫒s副 嚣机 械 工 程 学 报 第48卷第 13期由图8～l0可以看出，与末端受垂直力的情况类似，末端受力矩的 2R伪刚体模型中， (f)也是在随着81(f)进行振荡的同时作高频振荡， (f)的振幅小于 (f)。但是在力矩作用时， (f)对 (f)的依附性不明显，此时 (f)的频率比末端受垂直力作用时 ( )的频率高。从速度及加速度曲线来看，(f)的速度及加速度明显大于 (f)的速度及加速度。 (f)与 (f)的变化差值比受垂直力作用时要大，说明柔顺杆在末端受力矩作用的情况下，末端2杆在随着柔顺杆整体部分做低频振荡的同时，2杆在做更明显的高频振荡，但是 2杆和 1杆振动频率的差值比垂直力作用下大。

图 l 1所示为柔顺杆末端受力矩的2R伪刚体模型在不同时刻下的位形图，图 1la、1lb分别为末端转角由90。～-90。和-90。～90。∩以看出，当 1杆从①运动到⑩完成90。的摆动时，2杆已经完成了多个周期的摆动，这与图8所示相符。同时表明相对于 1杆而言，2杆的运动周期短，变化快。

图 11 受力矩作用的 2R伪刚体模型位形图由图4～11可以看出，基于 2R伪刚体模型的动力学模型不仅可以描述出柔顺杆的整体大范围变形状况，而且描述出柔顺杆随着整体大范围运动的同时还存在局部变形运动，这与柔顺杆的真实变形运动状态相符。因此，基于 2R伪刚体模型的动力学模型比基于 1R伪刚体模型的动力学模型有明显的优越性。

3 平行导向柔顺机构分析平行导向柔顺机构是典型的柔顺机构。下面以该机构为例，建立其基于 2R伪刚体模型的动力学模型并作动力学特性分析。图 12所示为平行导向柔顺机构及其基于 2R伪刚体模型。 ，厶为刚性杆，，f4为柔顺杆。 和 f4的-端被固定，另-端被导向。此时柔顺杆的变形形状是关于中心线反对称的，其伪刚体模型可由两个反对称的半段杆组合而成，每个半段杆的末端受垂直力lj。

(a)平行导向柔顺机构(b)2R伪刚体模型图 12 平行导向柔顺机构及其伪刚体模型根据前面推导柔顺杆基于 2R伪刚体模型的动力学方程的方法，可得系统的动力学方程为( L)H Dl1笔 O112JtA 4 0 D2 z ：t J D2八 02012年7月 李 茜等：基于2R伪刚体模型的柔顺机构动力学建模及特性分析 47( 十 c。so2 3 2 c。so227"07"172 COSt2m2 ( 271y2 cos )： 。 (詈 c。s c。s c。s J， ( 7172 cos02)m3： ( ] z：2%：-( y-2 32 ] sin -ylY2m3lsin82D21l：(吉 32 ]sin 喇7172 sin82m3D11D220Dll2( 32 2 )m： sin -27172m3 sinO20121D212D210： D2： 8E-J机构的几何和物理参数分别为 m 11.0g，f2118.6 mil ， 1.8 mm ， 626.35 mm ， 1.38 GPa，，029.OxlO g/mm。。代入参数，利用Matlab求解 (f)，o2(t)的响应曲线，见图13。

七 群窨剥蛙最时 间图 13 平行导向柔顺机构的 2R伪刚体模型响应曲线由图 13可以看出， 与 的振动出现了类似的现象，这与之前柔顺杆受垂直力的情况不同。因为平行导向柔顺机构是反对称的机构，此时柔顺杆相当于两个反对称的半段杆组合而成，每个半段杆的末端都受垂直力，而两个半段杆的末端接连在-起， 的运动受到反向制约，造成 与 振动近似的现象。

如图 12b所示，以D为原点建立坐标系，绘制尸点的位移曲线如图 14所示∩以看出尸点在大幅度低频振荡的同时，还有高频的小幅度振荡。这是由于构件 ，，本身的高频振荡导致的♂果表明平行导向柔顺机构在做简谐振动的同时，机构内部还有高频的小幅振动，这与之前对柔顺杆的特性分析相符。

g吕翅 时间 f/s(a)x方向0时间 f/s(b) 方向图14 平行导向柔顺机构P点位移曲线4 结论(1)基于 2R 伪刚体模型的动力学方程是含有两个变量 ，o2的变系数二阶微分方程组，在动力学方程特征上与 1R伪刚体模型有本质区别和改进。

(2)基于 2R伪刚体模型的动力学模型不仅可以反映出柔顺杆的整体大幅度低频振荡，同时还表现出杆件的局部变形及其高频振荡的特性。因此基0 0 0 0 。

48 机 械 工 程 学 报 第 48卷第 13期于 2R伪刚体模型的动力学模型能更加真实地体现出柔顺机构的变形运动过程和动力学特性。下-步作者将继续深入研究基于 3R伪刚体模型的动力学建模，并通过与 2R模型对比，进-步确定出最适合柔顺机构动力学分析及设计的伪刚体模型。