拍频激励下冲击钻进系统的运动分析

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Kinematic analysis of an impact-progressive system under beat frequency excitationLU Xiao-hong，LUO Guan-wei(School of Mechanical Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China)Abstract： A mechanical model of an impact-progressive system considering both vibration and progressive motionand capable of transferring a high-frequency low-amplitude excitation into a low-frequency high·amplitude response wasdeveloped.Conditions for synchronous and non-synchronous motions of the system components after impact were analyzed。

An asymmetric beat frequency kinematic excitation was adopted，i.e.，only the positive part of a modulated signal excitedthe mass M2.The results indicated that an effective impact forces，i.e.，a hammer effect is generated by the excitation；two different ways to achieve a steady progression are given without additional control conditions，however，in these twocases the progression rates are relatively low；a simple control strategy enhancing the progression rates is implemented，and the beter progression rates are achieved。

Key words：non-smooth system；vibration；impact；beat frequency excitation近年来，国内外学者研究了机械振动系统的稳定性与分岔 J、奇异性2 J、亚谐振动 及混沌控制E4]等问题。随着振动冲击动力学理论研究的日益深人，对含间隙机械系统及冲击振动系统的应用研究 也已迅速开展。此外，利用冲击原理进行工作的惯性振动机已广泛地应用于工程实际，如振动锤、振动钻探机、振动夯土机、冲击振动成型机以及小型打桩机等。

目前对机械振动系统动力学的研究通常是建立在简谐激励的基础之上，而且是低频激励，如文献[6]对振动锤的研究，文献[7]对振动破碎机的动力学分析，文献[8]对振动冲击式打桩机的动力学分析，文献[9-10]研究了以油作为介质建立的粘 -弹性模型的钻进基金项目：国家自然科学基金项 目(11172119，10972095)；lj 肃省自然科学基金重点项目(1107RJZAll5)；兰州交通大学青年科学研究基金项 目(2011014)收稿日期：2011-10-13 修改稿收到日期：2011-1l-27第-作者 吕徐 男，博士生，讲师，1977年生通讯作者 吕徐运动等。然而在实际工程应用中，如冲击钻探机-般采用高频率的外部冲击力驱动钻头钻进，这种高频率的外部激励可以采用压电式换能器实现。但这种高频率的外部激励会使得系统的动力学行为更加复杂，而且系统在振动的同时伴随有钻进运动。文献[11]研究了-类冲击钻进机械振动系统的周期运动和分岔规律。该类系统的基本工作机理是滑块克服干摩擦力向下运动，因此，有限时间内的最佳钻进量对此类系统的有效工作非常重要。研究结果表明：在低激励频率范围内，系统呈现稳定的周期 1单碰撞运动，且在周期 1单碰撞运动速度的峰值附近，系统具有最佳钻进效果。

Wiercigroch等在文献[12]中指出，低频激励所产生的稳定周期 1振动 -钻进运动可以用拍频激励的方式来实现。

近年来，冲击振动系统从实践角度得到了国内外学者的普遍关注。但将冲击振动和钻进运动同时考虑的研究仍开展尚少。实际上，钻进运动对系统的振动是有影响的，这就要求建立考虑两种运动的综合性模2 振 动 与 冲 击 2012年第 31卷型。因此，本文建立了冲击钻进机械振动系统的力学模型，并考虑将高频低幅激励转化为低频高幅响应。

这种转化要求冲击振动系统能够产生-种合理的内部作用力，以克服介质的阻力发生钻进运动。为了进-步改善钻进效果，加入了-种简单的控制策略，获得了比较好的钻进效果。

1 力学模型与运动微分方程冲击钻进机械系统 ，的力学模 型如 图 1所示，该系统能在高频低幅激励 的作用下产生低频高幅的响应。两个不考虑质量的卞组成运动基，其间距 可以根据实际要求的激励模式随时间发生变化。上卞由刚度为 的线 图1性弹簧 和阻尼系数为《l IIF冲击钻进系统的力学模型Fig.1 Dynamic model ofC2的线性 阻尼器连接 impact-progressive system于质块 ，质块 和质块 M (含机架和滑块)由刚度为 的线性弹簧和阻尼系数为 c 的线性阻尼器相联接。当质块 对 进行冲击以后，质块 克服干摩擦力 F发生钻进运动，即向下移动。质块 ， 和运动基下卞的位移分别由五， ：和 表示，下卞的速度用 表示。当质块 M 和 M 的位移差 - L时，质块 对 进行冲击，假设这种碰撞是塑性碰撞。冲击后，两者或同步运动，直至分离；或冲击后两者立即分离。当质块 对 进行第 i次冲击后，质块 于此次冲击后瞬间钻进的深度为 L (i1，2，3，，凡)，整个系统于瞬间向下平移 ，J 。当 的钻进过程结束后， 与土壤间的摩擦力 F由滑动摩擦力变为静摩擦力， 在土壤中不再发生滑移，直到下-次冲击来临为止。此刻 M 已钻进的深度为 ， ，， L 并且不能够回弹，即整个系统向下平移了 L。， ，， 。系统的静平衡位置相对 而言并没有改变。

考虑系统最基本的功能是能够克服阻力并向下移动。如上文所述，当质块 对 进行冲击以后，质块M∷服干摩擦力 F向下移动。现在面临的主要问题是：运动基下卞选择怎样的运动形式才能使得整个系统有效地向下移动值得注意的是，在运动基下薄板上加-个外力对系统的钻进运动并不有益，这就相当于在质块 M 上直接加了-个外力，意味着实际中的高频激励是没有效果的。这样，就应该仔细选择运动基下卞的运动形式。本文假定运动基下卞的速度为-先验的确定函数 ，其具体形式下文讨论。

分析质块 和 在任意相邻两次碰撞间的运动过程。以振动体在重力作用下的平衡位置为坐标轴原点，并设两质块的碰撞时刻为系统运动的初始时刻。

如果质块 M 冲击 M 以后，两者同步运动，则两者的加速度在此阶段是相同的，质块 和 的合力分别为：F1 1-N (1a)F2N- 2 3IZ-2 ( 2-正3- )-tx l(1b)式中：Ⅳ为两质块之间的相互作用力；由 F 得：(1Ix )NIx f1 ( 2- 3-1，)2 (正2- 3- ) ， Z (2)同步运动时，N>0，同步运动结束瞬间，N0，- 1f，叠2互1。

如果质块 冲击 后，两者非同步运动，质块和 的加速度是不相同的。

式(1)和(2)中，·”表示对无量纲时间 求导，其中无量纲量为：lK1 Cl，LK2m ， ， c -C2， ，√惫， ， 觋， C2，Xt1 T M2丁 ， √丁 在任意的连续两次冲击之间，系统可能存在三种不同性质的运动状态：(1) - >f，，质块 。静止，此时系统的无量纲运动微分方程可表示为：10， l02戈2- 3- 2 (互2- 3- )( 2- 1)2 203 (3)(2) ：- f，质块 。和 同步运动，且质块钻进运动，此时系统的无量纲运动微分方程可表示为：1 2-l(1Ixm) 2 2- 3- 2 ( 2-叠3- )1.03 V(4)(3) ：- >f，质块 和 非同步运动，且质块钻进运动，此时系统的无量纲运动微分方程可表示为 ：m 1 ( 1- 2)2 ( 1-正2)1.02 ( 2- 1)2 ( 2- 1)2- 3-2 (五2- 3- )03 (5)第 24期 吕徐等 ：拍频激励下冲击钻进系统的运动分析质块 和 的冲击方程为：(1 ) 1- 2- (6)因塑性碰撞，碰撞后 的瞬时速度为 ： 。

根据文献[12]，其高频激励 (t)可表示为：u(t)al COS(tot)-COS(COtAwt)la J cos(tOt)-COS(tOtt)l (7)式中：。 ， 为高频，而 △ 为低频，要求等于固有频率，即 △ 1是为了满足共振条件。选取无量纲参数： 0.005，a：0.1， 0.01， 0.O1和 20，当运动基下卞静止时高频低幅激励 (t)作用在质块 上的力 2 五如图2所示，根据方程(3)计算质块 的响应图如图 3所示。通过图 2和 3可以发现系统将高频低幅激励转化为低频高幅响应，另外，激励是非对称的，即只用调制波正值部分激励质块 。

-q.J0.05(0O50 20f4o 6O图2 施加于质块 M：的力Fig.2 Excitation applied to the mass M2 versus time t(a) 运动基下卞的速度等于质块 的速度图 3 质块 和下卞静止时质块 的响应图Fig.3 Time trajectory of the mass M2 when themass M1 and the lower plate are stationary2 运动基下卞速度函数在质块 钻进之前，假定运动基下卞的速度等于0。即在无钻进的运动过程中，令运动基下卞的速度 等于0。在系统发生钻进的运动过程中，令运动基下卞的速度 等于质块 的速度，即V 。

选取无量纲参数： 4.0， 0.O1， 0.O1， 0.005，f0.1，a0.8和 20。图1所示系统的响应图如图4(a)所示。由图可见，在任意的连续两次冲击之间系统存在如下的运动过程：质块 静止，自由运动-碰撞-同步运动伴随有钻进运动-非同步运动伴随有钻进运动-质块 .静止，Mz自由运动。

随着系统钻进运动，位移值 (i1，2，3)的绝对值也会随之增加。此时，下卞的位移 等于质块 的位移 1。

(b) 外加载荷 达到某临界值时下卞被释放图 4 无附加控制时的响应图Fig.4 Time trajectories without additional control现在考虑驱动下卞所需的能量。当下卞固定时，随着质块 钻进量的增加和质块 振动幅值的增大，作用在运动基上的力的绝对值也增加。保持下卞固定不动所需的外加载荷 为：/ ：2 ( 3it- 2) 31，- 2 (8)但是，当 x 0时，这个力并不做功。当Lx >0时，弹簧 眨 伸长并趋于将运动基向下拉。如果此时下卞向下移动，即x <0，外力将做负功，也就是说外部能量不能补充到系统中。如果这种情况发生在下卞(c) 系数口对钻进效果的影响的速度等于质块 的速度，即系统发生钻进的情况下，那就很令人满意，因为要保持下卞预期的运动并不需要额外的能量。但是，下卞的运动可以是不同的。当. >0，弹簧趋于将运动基向下拉时，移动下薄板自然会减小. 到0，并使其向下移动。

现在讨论控制下卞运动的另-种替代方法。-旦外力 达到某临界值 下卞被释放。但是，为了防止运动基出现不合需要的大跳动，外力用-个系数 来减小，而非完全释放(fex 0)，即：4 振 动 与 冲 击 2012年第 31卷厶 m，/3<1 (9)它可以通过下面的算法实现。假定下卞的速度等于0，则外加载荷 为：l ：02 ( - 2) 3 - 2 (10)如果满足下式的条件：m I ，：。≤ m (11)则下卞的速度可由方程(8)和(9)决定：13： 2- (届 - 3- 2) (12)厶S选取无量纲参数： 4.0， 0.O1， 。0.O1， 0.005，f0.1，n0.8，∞20，fc 2和 0.85。

质块 ， 和下卞的响应图如图4(b)所示。由图可见，在任意的连续两次冲击之间系统存在如下的运动过程：质块 静止，M2自由运动-碰撞-非同步运动伴随有钻进运动-质块 静止， 自由运动。这说明，质块 对 进行冲击后，两者立即分离。质块，在碰撞后速度的作用下克服干摩擦力向下运动，即系统发生钻进运动。下卞的运动和质块 的运动并不-致。图4(c)为系数 分别等于0.85、0.8和0.7时下卞的响应图，由图可见，系数 越小，跳动次数越少，而跳动位移越大，但系数 对钻进效果的影响极校3 -种提高钻进量的简单控制策略图l所示系统要求提供克服干摩擦力和形成稳定钻进运动的条件。根据前面的分析，有两种途径在无附加控制的条件下能够使得系统向下移动。但是，这两种条件下得到的钻进量都比较低，因此，为了改善系统钻进的效果，需要提供使得作用在质块 的冲击力保持在-个较高水平的条件。这可以通过引入-种简单的控制来实现，即给下卞施加-个额外的激励。

这个额外的激励必须给系统提供额外的能量，并改善钻进的效果。

当质块 运动至正的较大位移，即质块 的位移满足：2- 3g-s (13)时，下卞以速度 向下移动，速度 可用两个 Heavi-side函数描述为：五3vH(t-t 1)H(-t n) (14)式中：时刻 tt 时的速度 等于常值，系数 《g表示质块 接近正的最大位移。实际上，当满足条件(13)时，质块 仍然向上运动。 t △ 为下卞以速度 向下移动的最后时刻。计算中令 △ 1/4，即下薄板向下移动四分之-个周期。当质块 仍然向上移动，但即将接近其正的最大位移时让下卞向下移动。

和上文-样假定在系统发生钻进的运动过程中，下薄板与质块 的运动速度相等。因此，在系统钻进运动结束的瞬间，下卞的位移大于质块 的位移，这就意味着下卞和质块 之间的距离将会减小，最终将会影响质块 的振动幅值和与质块 下次接触时作用在质块 的力，并影响钻入的深度。为了保持下薄板和质块 之间具有相同的距离，需要将下卞反向移回〃议在系统发生钻进运动的时刻开始以速度- 移动下卞，则：正3 l-vH(t-t 2)/t(-t ，2) (15)式中：tt 为下卞移动的开始时刻，与每次系统发生钻进运动的时刻相同。 t ：△ 为移动下卞的最后时刻，A：为这-运动的持续时间，仍被设置为 1/4。

选取无量纲参数： 4.0， 0.O1， 。0.O1， 0.005，f0.1，。0.8， 20， -0.08和 0.1。质块 ， 和下卞的响应图如图5所示。比较图4(a)和图5可知，采蓉制以后显著提高了系统钻进的效果。

4 结 论图5 控制后的响应图Fig.5 Time trajectories with control本文建立了冲击钻进机械振动系统的力学模型。

为了使得系统能够发生钻进运动，且能够将高频低幅激励转化为低频高幅响应输出，选用了-种特殊的拍频运动激励。该拍频运动激励有两个主要特征：① 低频调制激励与振动系统的固有频率(所期望的低频)吻合；② 激励是非对称的，即只用调制波正值部分激励质块 ，结果表明该激励能够产生有效的冲击力，即锤击效应。

合理选择运动基下卞的运动形式才能使得整个系统有效地向下移动。在无附加控制条件下，保持下卞预期的运动并不需要额外的能量，也就没有额外的能量输入系统，因此，系统虽然能够发生稳定钻进运动，但是钻进量比较低。采用简单的控制给下卞施加-个额外的激励，这个额外的激励能给系统提供额外的能量，就能改善钻进的效果。

(下转第 15页)第 24期 李 泉等：人群节律性运动下大跨楼盖的随机振动问题研究可得以下结论： of the dynamical performance of composite slabs[J]。

(1)本文提出的评价节律性激励下楼盖随机振动 Computers＆Structures，2003，81(18-19)：1905-1913·模型具有较高的效率和精度，可用于评估楼盖最不禾IJ 共振响应。 AISC.1997。

(2)对于模态频率密集分布的楼盖，多模态共振 [7]Wyat T A.Design guide on the vibrati。 of floors[M].Ste。1决定其最不利振动响应，采用传统单模态共振验算方 Construction Institute，Ascot，UK，1989。

竺 量 . 振动响应，本文提出的随机振动 S南Om 2i6。 32：Ev alua：tion of h udm。ahn∞e xpLUIUU Ib0 模型可以弥补该缺陷。 l ( 。

。8 H )[s] ： ：(3)接触持时比大于0.45时，楼盖最大均方根加 Standardizati。 .1989。

速度变化比较平缓，适当增大阻尼比可满足楼盖振动 [9]林家浩，张亚辉.随机振动的虚拟激励法[M].北京：科舒适度要求；接触持时比在 0.4～0.8范围内时，可以. 学出版社，2004·通过基于随机振动模型的楼盖动力验算来确定满足振 0。 E。l lis B，i。J i[ ].F 。 b1y99d4an。

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