周期局域共振蜂窝板的弯曲振动特性研究

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Flexural vibration properties of a periodic honeycomb sandwich plateHUANG Lijuan，CHENG Zhi-xin，LIAO Xue-bing，HUANG Lin-hao(Wuhan Ordnancy N.C.O Oficer Academy of PLA，Wuhan 430075，China)Abstract： Based on local resonance principle of phononic crystals，a honeycomb sandwich plate with vibrationabsorbers atached periodically was designed.Utilizing the modal synthetic technology，the frequency response function(FRF)of the periodic honeycomb sandwich plate(PHSP)was calculated and its modal shapes were presented.Theeffects of vibration absorber parameters，such as，stiffness，and mass on the vibration band gap were analyzed，and thequalitative changing law of the vibrational band gaps was obtained. Finally，the vibration response of the PHSP withpinned supports in time domain was compated.Results showed that the propagation of flexural vibration in the PHSP calbe effectively atenuated.The study results provided a new way for vibration control of plates and shells。

Key words：periodic locally resonant vibration；honeycomb sandwich plate；modal synthetic technology；flexuralvibration；frequency response蜂窝复合材料卞广泛应用于航空、航天等领域。

但是，蜂窝板在使用过程中，可能受到比较严重的振动，振动会影响精密仪器设备的功能、加剧构件的疲劳和磨损，缩短机器的使用寿命，甚至影响结构本身的安全和正常使用。所以，对卞振动特性进行研究，进而控制卞的振动，具有广阔的工程应用前景，国内外学者 对蜂窝夹层板的等效弹性常数和振动特性已经进行r大量的研究。

近年来，凝聚态物理领域中声子晶体理论的出现为板壳振动控制研究注入了新的活力 。声子晶体是指存在弹性波带隙，弹性常数及密度周期分布的材料或结构。弹性波在带隙频率范围内，其传播将会被抑制 。声子晶体的带隙特性可以抑制特定频率范围内弹性波的传播，且频率范围可人为设计，这使得声子晶体在减振降噪领域具有广阔的应用前景。声子晶体带隙机理主要有布拉格散射带隙机理和局域共振带收稿 lIj：2011-08-I6 修改稿收到 日期：2011-12-09第-作者 黄丽娟 女，硕士，助教，1986年生隙机理两种。布拉格散射带隙的最低 中心频率约为c/2a(其中C为基体材料中的弹性波波速，a为周期尺寸，即晶体常数)，即最低带隙中心频率对应的弹性波波长约为晶格常数的2倍。由于-般介质中的弹性波波速较快，因而要获得较低频率的带隙，就需要使用尺寸较大的声子晶体，这将使带隙特性在尺寸要求比较苛刻的低频减振降噪领域中的应用面临困难。而局域共振带隙特性有望解决这-问题。局域共振机理认为，在特定频率的弹性波激励下，各个散射体产生共振，并与弹性波长波行波相互作用，从而抑制其传播。

局域共振带隙频率对应的弹性波波长比晶格尺寸小两个数量级，突破了布拉格散射机理的限制，实现了小尺寸控制大波长”，为声子晶体的低频减振降噪应用奠定了理论基矗本文把声子晶体局域共振带隙机理引入到薄壁蜂窝板的结构设计中，在蜂窝夹层板上附加局域共振周期结构，将蜂窝板设计成周期局域共振蜂窝板。由于周期局域共振蜂窝板结构复杂，-般的计算方法无法完成其动力学特性计算。而模态综合法通过模态坐标第 24期 黄丽娟等：周期局域共振蜂窝板的弯曲振动特性研究变换，缩减 自由度，可以计算复杂结构的动力学特性，在工程中得到有效的应用。因此，本文利用双协调自由界面模态综合法，计算周期局域共振蜂窝板弯曲振动的频响特性，并给出蜂窝板的振型图。分析局域振子刚度、质量等参数对振动带隙的影响特性，得出带隙变化的定性规律。研究表明在振动带隙频率范围内，弯曲振动在此蜂窝板能得到有效的抑制。

1 双协调自由界面模态综合法假设周期局域共振蜂窝板整体结构划分为 1、2、3n个子结构，如图 1(a)～(b)所示。当整个结构作自由振动时，子结构只有对接界面上才有力作用，对于整体结构中的子结构 i，其动力学方程为 ：[ ]/2 [ ] [ r (1)其中：[ 是从子结构 自由度中提如面 自由度的布尔矩阵，. ，是界面力列阵。

图 1 周期局域共振蜂窝板结构与子结构示意图Fig.1 The sketch map of the honeycomb sandwich plate withvibration absorbers atached periodically(PHSP)将式(1)进行模态坐标变换，得：[ ] [ ]fI.P i1J[i k]T 1川 (2)其中：P [ ]P P 为模态坐标，[A ]和[以 ]分别是低阶主模态[ ]和高阶主模态[ ]集所对应的特征对角矩阵。P 是子结构低阶分量的位移列向量，P 是子结构高阶分量∩以对式(2)高阶模态的动力学方程近似地用它 的静态方程表示 ，即：[A ]P [ ]r[B ] P [A ] [ ] [ ] 厶 (3)将式(3)代入式(2)，得：u [ ]P (4)式中：[ ][ ][以 ] [ ] [B ] 。剩余模态[ ]代表高阶截断模态的静态贡献，故用[ ]参与综合可大大提高自由界面模态综合法的精度。双协调自由界面模态综合法计算精度的提高就在于用高阶主模态推导出了剩余模态[ ]，并以此来代替略去的高阶主模态以改进 Ritz基的近似程度，提高自由界面模态综合法的精度。

下面将各个子结构的动力学方程进行综合，求整体结构 的动力学方程。各个子结构 的动力学方程如下 ：[ ]/2 [K ] [B ] ，[ ]/2 [ ]u [B2jI] .厂2儿[B 肛] [ ] ] [B ] 厶(5)各子结构界面节点位移向量可以用布尔矩阵乘以物理坐标得到，并代人式(4)得：u。，[B ]([ ]P [ ] ) 、 皿[B ]([ ]P： [ ] ) 伸[日 ]([ ： ]P [ ]厶 ) 儿[ ]([ ]P [ ] lJ) I.[B ]([ ]P [ ] ) [B ]([ ]P [ ]厶) J(6)各子结构界面位移和力的协调条件为：M1， 且，，M - 胛：M -。儿，M -1 ， ， 儿0，， - 肛 - 儿0 (7)厂n- ，[日 - 儿] - 儿[日 - 肛] - 肺将各子结构界面位移和力的协调条件代人式(6)，并消去多余变量，可得：口[ ]P (8)其中：PP P： P ～式(4)代入子结构动力学方程式 (5)，并左乘模态矩阵，可得：[ ] [ ]p f (9)再利用式(8)对式(9)进得坐标变换，并化简∩以证明式(9)右端在不受外力时，左乘[ ] 后式(9)右端为零 ，得 ：[M] [ ]g0 (10)由式(10)可计算整体结构的固有频率。而当子结构有受到除了界面里以外的外力作用时：[M] [ ]q[F] (11)其中：[ ][卢][ n 曰 ] 凡[ ：]r[ ] 厶[ ]T[B ] 由式 (11)可 以得到整体结构在外力作用下 的振动响应。

1l0 振 动 与 冲 击 2012年第 31卷2 计算与讨论本文将声子晶体局域共振带隙机理引入到薄壁蜂窝板的结构设计中，在蜂窝夹层板上周期附加局域振子(动力吸振器)，构成周期局域共振蜂窝夹层板，如图1所示，单个周期元胞结构示意图如图2所示。并利用双协调自由界面模态综合法计算此周期局域共振蜂窝夹层板的弯曲振动特性。在利用模态综合法求解结构的振动特性前，要求各子结构的模态信息已有现成的计算资料，或可用试验模态分析技术获得子结构的模态信息，或可理论计算。本文利用有 限元分析软件ANSYS仿真计算来获得各个子结构的模态信息。由于蜂窝夹层板结构复杂，在复杂结构有限元建模时，工程上经常把蜂窝芯等效成正交各向异性材料来研究其构成结构的振动特性，理论和实验证明此方法确实可行，并具有较高的精度 ]。下面给出蜂窝芯的等效参数计算式。设蜂窝芯的组成材料的杨氏模量为 ，则其在 xyz方向的等效杨氏模量为：E。 54 。( -詈E(-v f 1-3%1冬 (12)图2 单个周期元胞结构示意图及振子等效弹簧质量模型Fig.2 The sketch map of single PHSP cel structure andthe corresponding spring-mass equivalence model对于标准六角形蜂窝 ，0 60。，则蜂窝芯相当密度的计算公式为 ：p -3 3( )po-1.54(鲁)p。 c 3蜂窝芯的面内泊松比为 ：1- 8- ， 1)y1-4兰； (14)夹层板受横向剪力 Q 和 Q 作用时，剪力在蜂窝芯上的传递情况是不同的，相当剪切模量 G- G 是不同的，剪切模量 Gcx，G 和 Gcxy分别为 ，引：G 鲁 ，G 3 a G。，G ：0.493 8E。 (15)其中 G，为蜂窝芯原材料的剪切模量。

利用式(12～15)就可以获得蜂窝芯的等效参数，然后在将等效参数在 ANSYS进行周期局域共振复合夹层板的有限元建模，求取子结构的模态信息。计算中，戎域振子质量块的密度为 17 800 ks/m ；振子橡胶块杨氏模量为 60 MPa，密度和泊松比分别为 1 300ks/m 和0.5；振子质量块和橡胶块为边长 。和 b均为6on，厚度 h 和 h 均为 1.6 cm；蜂窝芯厚度 h为 1.8mm，夹板厚 t为 0.6 mm，蜂窝芯及夹板材料均为铝材料，其杨氏模量、密度和泊松比分别为：27 GPa、2 700ks/m 和0.28。蜂窝夹层板的宽度和长度分别为 36om和60(3m，在夹层板上均匀安置 l5(3×5)个局域振子，并将板划分成五个结构-样的子结构(子结构示意图如图 1(b)所示)。图3所示为上述参数下的周期局域共振蜂窝夹层板的弯曲振动频率响应。图中实线和粗点划线分别对应双协调 自由界面模态综合法和ANSYS仿真计算，对比实线和粗点划线，可以看出此模态综合法与 ANSYS仿真计算的频响曲线基本重合在- 起，这有力地证明本文的双协调 自由界面模态综合法的正确性。从图中频响曲线可以看出，此周期局域共振蜂窝夹层板在 0～2 000 Hz频率范围内出现了-个较宽的弯曲振动带隙：750～1 400 Hz，在带隙频率范围内，弯曲振动能得到较大的衰减，最大衰减值为23.8dB。由声子晶体理论知当周期元胞数量增加时，在带隙频率范围内的振动衰减更大。图3中细点划线对应为六个子结构(即3×6个局域振子)下的弯曲振动频率响应，从图中可以看出在六个子结构情况下，周期局域共振蜂窝夹层板对弯曲振动最大衰减值为27 dB。图4所示为五个子结构周期局域共振蜂窝夹层板在210 Hz(带隙外)、1 020 Hz(带隙内)和 1 450Hz(带隙外)频率下的弯曲振动振型图，从图中町以看出，在带隙频率范围内，弯曲振动在周期局域共振蜂窝夹层板中无法传播，而在带隙频率范围外，弯曲振动的传播基本不受衰减。

局域共振机理认为，在特定频率的弹性波激励下，各个散射体产生共振，并与弹性波长波行波相互作用， 1∞ 墨-12 ix 10 /Hz图3 周期局域共振蜂窝夹层板的弯曲振动频率响应Fig.3 The flexural FRF of the PHSP第 24期 黄丽娟等：周期局域共振蜂窝板的弯曲振动特性研究图 4 五个子结构 F的刷期局域共振蜂窝夹层板弯曲振动振型图Fig.4 The vibration modes of the PHSP with five substructures产生带隙并抑制相应的波传播。因此根据局域共振机理，局域共振带隙的产生主要由局域振子的固有频率决定。而此周期局域共振蜂窝夹层板的局域振子可等效成图2中的弹簧质量振动模型，其固有频率为 1 1 - /2 /m， /6 k/21，fl和 分别为振子上下振厶 II 厶 a动和绕质心 O偏转振动的固有频率，k、m和 ，分别为振子的弹性刚度、质量和绕 O的转动惯量。在上述参数下，易得图 2中弹簧振子的固有频率为. 557.5Hz 1.000 3×10。Hz；对比图4中的中心带隙频率，可以发现带隙的中心频率与弹簧振子绕质心 0偏转振动的固有频率基本-样，而弹簧振子上下振动的固有频率只是在带边频率处，这容易得出此周期局域共振蜂窝夹层板在弯曲振动激励下产生的弯曲振动带隙主由弹簧振子绕质心 0偏转振动的固有频率决定，这是因为弯曲波在蜂窝板中传播时激起了各个弹簧振子绕质心 0偏转的振动模态，从而产生了带隙。

分析弹簧振子绕质心 0偏转振动的固有频率的表达式.厂2，可以知道改变局域振子橡胶刚度 k、转动惯量 ，和振子宽度 b均可以改变.厂2。首先，改变橡胶刚度，研究其对弯曲振动带隙的影响～橡胶刚度由原来的60 MPa增加为 80 MPa，计算周期局域共振蜂窝夹层板的弯曲振动频率响应，如图5所示，实线和粗点划线分别对应局域振子橡胶杨氏模量为 60 MPa和 80 MPa的情况。

观察图中实线和粗点划线，局域振子橡胶刚度增加使得带隙向高频移动，同时带隙频率范围略有所增大。

计算此参数下的弹簧振子绕质心O偏转振动固有频率为 1.155×10 Hz，这与图中的粗点划线所呈现出的带隙中心频率基本吻合，再-次证明局域共振带隙理论的正确性。由弹簧振子绕质心 0偏转振动固有频率计算式，可以定性地给出此周期局域共振蜂窝夹层板带隙的变化规律。

，。×102/Hz图5 橡胶刚度改变下的周期局域共振蜂窝夹层板弯曲振动频率响应Fig.5 The flexural FRFs of the PHSP withvarious parameter of the rubber stifness戎域振子橡胶杨氏模量为原来 60 MPa的情况，将局域振子质量块密度变为26 700 kg/m ，计算此参数下弹簧振子的偏转振动固有频率为 816.7Hz和周期局域共振蜂窝夹层板的弯曲振动频率响应，如图6点划线所示，实线对应参数为原始参数下的弯曲振动频率响应。对比图中实线与点划线可知，局域振子质量的增加使得带隙向低频移动，这有利于弯曲振动的低频控制。由弹簧振子绕质心 O偏转振动固有频率表达式. 计算的结果与图中的中心带隙频率基本吻合。

l， ×10VHz图6 振子质量改变下的周期局域共振蜂窝夹层板弯曲振动频率响应Fig.6 The fiexural FRFs of the PHSP withvarious parameter of the absorber mass3 结 论本文将声子晶体局域共振带隙机理引入到薄壁蜂窝板的结构设计中，把蜂窝夹层板设计成周期结构，利用双协调 自由界面模态综合法，研究了周期局域共振蜂窝板弯曲振动的频响特性，并给出了蜂窝板的振型图。研究表明此周期局域共振蜂窝夹层板存在弯曲振动带隙，在带隙频率范围内，弯曲振动能得到较大的衰(下转第160页)160 振 动 与 冲 击 2012年第 31卷在硬件系统基础上，结合变步长寻优控制算法，开发了LabVIEW人机交互界面，在保证控制精度和稳定性的同时，实现了减振控制过程可视化。

利用该控制系统，在多模态实验平台上进行了吸振器减振控制实验，结果表明，控制系统能够对该吸振器进行嵌入式控制，人机界面友好便捷，并且减振效果良好。