轮齿啮合综合刚度的计算方法研究

本资料包含pdf文件1个，下载需要1积分

Research on Methods of Gear M eshing StifnessLIU Yue， LIU Da-kun， ZHANG Zu-zhi， GE Hong-xia(Science and Technology on Vehicle Transmission Laboratory，China North VehicleResearch Institute，Beijing 100072，China)Abstract：The meshing stifness of gears is one of the keys in the analysis of dynamic in gear systemincluding tooth contact analysis，tooth deformation and the calculation of system stifness.Three methods oftooth stifness，which are calculation by national standard，numerical an alysis and finite calculation，arediscussed in this paper.Th e programme is developed by the method of numerical analysis.Th e toth stifnessis calculated by three methods，an d an example illuminates that the mothed of num erical analysis，whichobtains the c1.ne of toth stifness，is most veracious an d applied.Through contrasting the result of threemethods，it is proved that the programme is veracious and feasible，which is also basis for tooth modifcation。

Key words：tooth stiffness；stiffness calculation；national standard；numerical analysis；finite element齿轮系统的动态激励分为内部激励和外部激励两大类，其中内部激励包括刚度激励、误差激励和啮合冲击激励.刚度激励表现为因轮齿啮合位置不同、啮合齿对数变化导致啮合综合刚度随时间周期变化，从而引起齿轮轮齿啮合力周期变化.主要与齿轮副的设计参数 (如模数、重合度、齿廓修形参数，等等)有关.刚度激励是造成齿轮振动的主要因素之-.轮齿啮合综合刚度的计算，是齿轮系统扭振计算、系统变形计算、啮合误差计算收稿日期：2013-05-13作者简介：刘越 (1987-)，男，硕士，主要研究方向为传动技术。

以及轮齿修形的基础.通过查阅资料 ，目前求解齿轮的啮合综合 刚度主要有 3种方法：1)GB/T3480-1997提供 的计算方 ；2)数值计算方法 ；3)有限元法。

1 GB/T 3480-1997提供的计算方法轮齿的啮合刚度是动载系数 K 的重要影响因素，GB/T 3480.1997作为齿轮强度校核计算的依第3期 刘 越等：轮齿啮合综合刚度的计算方法研究据，也提供了-套完整的轮齿刚度计算方法.标准中对轮齿刚度定义为使-对或几对同时啮合的精确轮齿在 1 mm齿宽上产生 1 lxm挠度所需要的啮合线上的载荷，所以，标准中单对齿刚度 c 的单位是N/(mm- m).其计算公式如下：C c thCMCRCBCOS . (1)式中：C 为单对齿刚度的理论值，N/(mm· m)；c 为理论修正系数；C 为齿坯结构系数；C 为基本齿廓系数； 为螺旋角。

其中，单对齿刚度的理论值 c 的计算公式如下：c ÷. (2)式中：g 为轮齿柔度的最小值，mm·Ixm/N。

。，：0.04723 ： Q： Z -1 20.00635 l-0.11654 T-O.00193 2-T-1O.24188 0.00529 0.00182x；. (3)2 。

式中： ， ：分别为孝大齿轮的齿数； 。， 分别为孝大齿轮的变位系数，T- 中 -”用于外啮合，”用于内啮合。

需要指出的是：式 (1)适用于单位齿宽载荷/b≥100 N/mm 的情况，对 于 F /b<100N/mm的情况，c 应按如下公式计算：c cMCRcBc0s卢( . (4)式中：Ka为使用系数；F 为分度圆周上的切向力；b为齿轮齿宽。

2 数值计算方法2.1 计算方法分析数值计算方法是将轮齿简化为变截面悬臂梁，把啮合齿轮的综合弹性变形分成 3部分求解：轮齿的弯曲变形和剪切变形、齿根弹性引起的附加变形、啮合点的接触变形。

2.1.1 轮齿的弯曲变形和剪切变形如图 1所示，将轮齿沿 轴方向分割成-系列的长方形微单元，用符号 i表示，啮合力 F 作用于载荷点 ，载荷点半齿厚为， ，与Y轴的夹角为， 则微单元 i在 作用下的弯曲变形 、剪切变形6 为：‰ ( - n ( 丛)sin ( cos (5)式中：E 为等效弹性模量；Ii为微单元截面模量；S 为微单元截面积；A为材料泊松比；其余符号如图 1 序呆 D图1 轮齿变形计算模型等效弹性模量E 的大型轮齿几何形状有关，若齿宽 b与节圆齿厚 之比大于 5，则为宽齿，轮齿为平面应变状态，等效弹性模量为：E . (6)式中： 为材料的弹性模量。

若6//t，<5，则为窄齿，轮齿为平面应力状态，等效弹性模量为E E。

将啮合力引起的各微单元弯曲、剪切变形叠加，即可得到轮齿齿部的弯曲剪切变形 即：8 ∑8 (7)2.1.2 齿根弹性引起的附加变形依据 Comel的理论，对于 6/ >5的宽齿，即平面应变问题，由齿根引起的附加变形 为： (1-A )×[5.306( ) 2( )( )34( o.4 )]. (8)对于 6/ <5，即平面应力问题，则有：车辆与动力技术 2013盈[5.306(生二 ) 2 A )1.534(10.4l67 )] (9)式中： 、X 、 如图1所示。

2.1.3 啮合点的接触变形根据 Lin的计算公式，齿面啮合点的接触变形6c 为 ：q . (10)将以上3种变形叠加，即可以得到数值计算方法计算的啮合点总变形 6 ，即： 、 6 . (11)轮齿的刚度值 为：FKc -3. (12)oj2.2 数值计算方法的程序实现用数值计算方法计算轮齿刚度的准确性，在-定程度上依赖矩形微单元的个数和危险截面基点M的确定 ].本文定义的M点在齿根圆上，是过渡曲线和根圆交点与渐开线延长后和根圆交点之间的中点.数值计算轮齿刚度的流程如图2所示。

齿轮几何参数、材料参数和载荷输入轮齿坐标和过渡曲线坐标计算危险截面 拘确定加载点(啮合点)和加载方向的确定微单元弯曲变形计算弯曲变形叠加计算齿根弹性变形和啮合点接触变形计算弯曲变形叠加计算该啮合点下的刚度计算输出啮合刚度曲线图2 数值计算轮齿刚度流程框图移动加载点3 有限元法有限元法是在弹性力学的基础上发展起来的，将轮齿分割成-系列的体单元 ，求解单元刚度矩阵，根据各单元节点间的变形协调关系，集成整体的刚度矩阵，引入边界条件后，求解各节点的位移.对于轮齿啮合刚度的有限元法求解，多是借助- 些成熟的有限元软件。

相比较于传统方法，有限元法能处理更为复杂的轮齿几何模型，使得齿轮的应力和变形分析更为可靠，有限元法的计算精度依赖于模型建立和边界载荷施加的准确性，建立模型的方法可参阅文献[4]。

采用ANSYS作为有限元分析工具，利用 APDL语言建立参数化模型4j，齿廓曲线采用齿条型刀具加工齿轮的方式，过渡曲线采用文献[5]构建，建立的有限元模型如图3所示.此时，齿轮对啮合点的位置处在两轮中心的连接线上，即单齿啮合区域。

4 实例分析图3 有限元模型取-对直齿圆柱齿轮，参数如下：孝大轮齿数 129、Z253，变位系数 1O.2、Xz-0.2，模数m4，齿顶高系数 ： 1，间隙系数 C0.25，齿宽b12 mm，压力角 20。，法向载荷FN1 315.5 N，弹性模量 E206 000，泊松比 0.3。

根据式(1)～式(3)进行计算，可以得到：轮齿柔度的最小值 g 0.057 m·mm/N，单对齿刚度的理论值C ：17.554 N/( m·mm)，单对齿刚度 c ：14.324 N/( m·mm)，啮合刚度c 21.651 N/( m·mm)。

第 3期 刘 越等：轮齿啮合综合刚度的计算方法研究根据 数 值 计 算方 法，运 用数 值 分 析 软 件MATLAB编写程序，计算结果如图4所示.在啮合过程中，由于单、双齿啮合的交替，会使原来由两对轮齿承担的载荷分配到单对齿上面，产生载荷突变，从而对齿轮系统产生动态激励。

f言吕- 吕Z 甚Ⅱ-、言吕g邑云≈Ⅱ粤啮合转角/rad(a)单齿啮合刚度啮合转角/rad(b)啮合刚度图4 啮合刚度计算结果图4中单齿啮合刚度 的最大值 为 17.64 N/( m·mm)，最小值为 10.31 N/(Ixm·mm)，平均值为 13.975 N/( m·mm).啮合刚度的最大值为28.04 N/( m·mm)，最小值为 15.76 N/(Ixm·mm)，平均值为21.9 N/(Ixm·mm)。

图5是 ANSYS中轮齿变形的计算结果，提取啮合点的位移：Ux-0.042 5 m，U 6.023 0Ixm，Uz-0.146 7 m，UsuM6.024 9 Ixm，啮合刚度为 18.195 3 N/(ixm·mm)。

图5 有限元的轮齿变形由于齿轮对啮合点的位置处在两轮中心的连接线上，因此计算的啮合刚度是单齿啮合刚度的最大值.国标计算方法、数值计算方法与有限元计算结果比较接近.因此，对于齿轮啮合刚度的计算完全可以用较简单的方法替代有限元法，减少计算量，可直观地发现轮齿刚度变化规律。

通过轮齿刚度计算的数值分析方法推导，轮齿的啮合刚度与齿轮的齿数、变位系数、模数、齿宽、齿顶高系数、间隙系数、压力角、重合度和材料参数有关，并且和啮合力之间存在非线性的关系，但国标计算中对啮合刚度的计算进行了简化处理，轮齿的理论刚度仅与齿轮的齿数和变位系数有关，修正后的啮合刚度增加了材料参数和基本的外型参数。

国标计算方法计算结果是轮齿啮合刚度的平均值；有限元计算结果得到的是齿轮在啮合点处的啮合刚度，但是在齿轮系统动力学分析中，刚度激励是由于重合度不是整数引起的刚度阶梯变化，造成内部激励为周期性阶梯载荷突变，继而引发齿轮的啮合误差和振动；数值计算方法不仅可以得到单齿啮合刚度，还可以得到轮齿综合啮合刚度曲线，更有利于齿轮动力学问题的分析和研究。

表 1是利用国家标准计算、数值计算和有限元进行计算的结果对比。

通过上述对比可以发现，数值方法计算结果与有限元结果是比较吻合，在 50个齿以下，国标计算具有较好的吻合性，但随着齿数的增加，国标的计算结果与数值方法和有限元方法的差异增大。

-· 10 车辆与动力技术 2013年5 结 论1)阐述了轮齿刚度的3种常见计算方法，并通过实例对计算结果进行对比，数值计算结果与有限元结果具有较好的-致性，而国标计算在齿数较少时与有限元方法计算结果较为接近。

2)数值计算方法计算结果准确、计算速度快，并且可得到齿轮的啮合刚度曲线和啮合误差曲线，为轮齿的修形提供了判断依据，可进-步计算修形后的轮齿刚度和啮合误差。