复合载荷作用下柔顺机构的PR伪刚体新模型

New PR Pseudo-rigid-body Model of Compliant Mechanisms Subj ect toCombined LoadsYU Yueqing XU Qiping ZHOU Peng(Colege of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology，Beijing University of Technology，Beijing 100124)Abstract：Based on the pseudo-rigid-body model(PRBM)，a new 2-Degree of freedom pseudo-rigid-body model with a prismaticpair is proposed.111e axial displacement and lateral displacement is presented by the prismatic pair an d revolute paJr，respectively，and SO the deflection of a compliant 1ink subject to a combined force and moment loads Can be simulad.The PR pseudo.rigid.bodymodel ofplanar compliant mechanism is developed.A three.dimensional optimization for the characteristic radius factors and a linearregression method for the spring stiffness coeficients are presented.The advan tage of the PR pseudo-rigid-body model is illustratednumericaly through the comparison with the 1R，2R PRBM models and complian t link。

Key words： Compliant mechanism Pseudo.rigid-body model Prismatic pair Combined loads0 前言柔顺机构是-种利用构件 自身的柔性变形来完成运动、力和能量的传递或转换的新型机构lj。

它与传统刚性机构相比，具有构件数量和装配时间少、加工工序简化、无运动副间隙及其带来的摩擦、磨损、振动和噪声等优点2J↑年来，柔顺机构已得到机械学者和工程师们的高度重视，研究成果在很多诚得到应用，如柔顺超越离合器、微型柔顺双稳态开关和微型发动机等，特别是在微机电系统(Micro electro.mechanical systems，MEMS)h有着巨大的优势和潜力2。正是由于其具有诸多优点和应用价值，柔顺机构引起了广泛的关注，成为机构学·国家自然科学基金资助项I(51175006)。20121031收到初稿，20130410收到修改稿的前沿领域和研究热点，已在柔顺机构的结构和运动分析与设计方面取得了大量成果。

由于柔顺机构中构件大变形引起的几何非线性使得柔顺机构的分析过程较为复杂。为了简化柔顺机构的分析过程，HOWELL等[3-5l提出了伪刚体模型”，如图 1a所示，将 自由端受力的柔顺杆等效为由 个转动rJ(R 副1连接的两个刚性杆件，并在铰接处安装-个扭转弹簧，用来模拟柔顺杆末端的运动轨迹。

LYON 等l6]把柔顺杆分解成了两段，每段用伪刚体模型来近似模拟。SAXAENA 等 通过引入两个线性弹簧来限制特征半径系数的方法对伪刚体模型进行了修正。但此1R模型的模拟精度不高，SU L8J提出了-种 3R伪刚体模型，如图 lb所示，它比 1R伪刚体模型的模拟精度高，并且不受载荷形式限制，但其运动学反解条件较为苛刻，导致迭代过程繁琐，10 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 15期计算量太大。冯忠磊等[91提出了-种2R伪刚体模型，如图1c所示，既弥补了1R伪刚体模型模拟精度的不足，又在较大程度上简化了3R伪刚体模型的迭代过程。然而，以上研究都没有反映出柔顺杆的轴向变形。

当柔顺杆受到力和力矩复合载荷作用时，柔顺杆会产生较大的轴向位移，而仅含有转动副 副)的伪刚体模型显然不能很好地反映出这种变形。

DD～ ～ 、、、(a)lR伪刚体模型D(b)3R伪刚体模型/(C)2R伪刚体模型图 1 三种伪刚体模型为解决上述问题，本文提出了-种用移动NIJ(p副)来描述柔顺杆的轴向变形，同时用R副来模拟柔顺杆横向变形的 PR伪刚体新模型。首先，建立末端受复合载荷作用下柔顺杆的 PR伪刚体模型，然后通过三维搜索得出模型的特征参数。最后，通过与柔顺杆、lR和2R伪刚体模型的数值分析对比，说明该模型的优越性。

1 PR伪刚体模型图 2a为-末端受复合载荷(力Fn和力矩 )的平面柔顺杆， 为柔顺杆的末端转角，a、b分别为柔顺杆末端点的水平坐标和竖直坐标，，为柔顺杆未变形时的长度， 为力的作用方向与水平方向之间的角度。

图2b为PR伪刚体模型，该模型由三个刚性杆组成，由-个移动NlJ(p)和-个转动副(R)连接，在两个运动副上分别加-个弹簧和-个扭簧。其中，各刚性构件的长度为 0，1)， 为各刚性杆的特征半径系数，满足 ，0 l。AYo为变特征半径系数，AYol为移动副的位移量。 ， 1分别为弹簧常数和扭簧常数， ，缸分别为扭簧刚度系数和弹簧刚度系数，表示储能能力。 为 PR伪刚体模型的末端倾角。归纳起来，以上特征系数 ，AYo，和刚度系数 %，缸可统称为 PR伪刚体模型的特征参数，下面分别确定。

D(a)受复合载荷的大变形柔顺杆(b)PR伪刚体模型图2 受复合载荷的大变形柔顺及其 PR伪刚体模型2 特征参数确定首先，进行运动和受力分析。PR伪刚体模型的末端倾角 O如图2b所示，垂直方向的分力为F，轴向分力为， ， 为总合力： F (1)由图 2a可得 PR 伪 刚体模型末端 点位置T ，2013年8月 余跃庆等：复合载荷作用下柔顺机构的PR伪刚体新模型 l1P( ， ) (aft，b/1)T为cos由式(2)可以得到arcs ㈢I A ： - cosO -1首先，通过椭圆积分 得出柔顺杆末端的位置，由式(3)得出伪刚体转角 。再分别计算单独受力f21 ( 0)和力矩( 0)情况下的刚度系数 ，所得两数值虽然不同，但是受复合载荷作用得到的 幻值必定介于这两数值之间。由式(5)可知，如果特征系数 给定，其刚度系数 %即可求出。因此，可以优(3) 选出某个特征系数，使得受力载荷和力矩载荷情况下的刚度系数差最小，即此时的特征系数为最优系然后，根据作用在 PR运动链末端的复合外载荷，可求出铰接处的转矩和横向作用力为ITFd(- sinO) ，( cosO)Mo ， 1 - KAYol水 平 和 垂 直 作用 力 分 别 为 ro cos#和 Fo sine。末端载荷 和 在铰链处产生转矩，使柔顺杆发生变形。转矩 为扭簧常数 与角变形 的乘积，即 1 。因此( - ( E， FM o柔顺杆的抗弯性和抗伸缩性可以用归-化的扭簧刚度系数 始和弹簧刚度系数 虹来描述EI- O，，、 EIOf二 -YICOSO-Fy129 EI ### EI oEIFx lAYo EI为了化简上式，力和力矩( ， 。)可以归-化为力和力矩载荷指数 For /2EI、 Mol/EI。

定义载荷指数if /4apfl/2(力矩和力的比例关系)可得由于复合载荷情况下特征参数的确定过程十分复杂，并不能直接由式(5)求出，所以，本文的解决思路：先由单独受力和力矩两种极端载荷( 0和 -)的情况得出相应的特征系数 O， 和Ag0，然后针对复合载荷情况进行优化，得到最优特征系数，最后，推导出刚度系数 ，缸。

- 厂 古是l通过椭圆积分得出柔顺杆末端点P的位置坐标，代入式(5)，计算ONA)，0。

将0、△yo和0 、卢、 代入式(5)，求得七。和hI l令pO， arctan(-l/n) 令 0，由式(5)由式(5)求得 ∽ 求得I Ir1) 苫≤( - )I/ 否/ .、： 。

LLIl图 3 特征半径系数优化框 图由图3得到的单独受力矩载荷作用下的刚度系数为 ，力载荷作用下的刚度系数为 满足条件 Imin( - ) 为最优特征半径系数。

通过以上方法得到 PR伪刚体模型的最优特征半径系数为7o0.177 0.823在力矩和力两种载荷下 PR模型的扭簧刚度系数分别为( )1.71 (F)1.32以上是对两种极端载荷状态下刚度系数的计算。下面将针对不同的载荷系数 ，计算相对应的得 ，整--S -0CS - ∞12 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 l5期扭簧刚度系数 。

图 4为选取不同载荷系数 ∈4，400所对应的刚度系数%∩以看出， 55之前 有小幅度的变化，但之后基本保持-个稳定数值。为此%可以取为由此得到 1.787对于不同的载荷系数 ，由式(3)可以得到不同的O，AYo，如图5所示。

籁载荷系数图4 不同载荷系数 时的刚度系数O 5 1.0 1.5 2.0柔顺杆的转角Oo/rad(a)不同载荷系数下的伪刚体转角伪刚体的转角(b)不同载荷系数下的变半径系数aro图 5 不同载荷系数下的伪刚体转角和变半径系数从图5a中可以看出，在不同载荷系数情况下，伪刚体转角 与柔顺杆转角 基本成线性关系。因此，可以通过线性回归方法得到 与 之间的近似线性关系，其可以表示为 co0.56 (6)式中，常数 为参量角系数(0

从图5b中也可以看出，不同载荷系数 下的特征长度系数AYo曲线基本重合。采用最小二乘多项式拟合方法对所得 Ⅳ组数据( ，△ )进行多项式拟合。选用四次多项式形式，拟合结果如下AYo-0.130 80 0.138 90 -0.112 802-t-0.01l 1O (7)这样，特征半径系数AYo可由式(7)确定。由于力载荷指数 可由椭圆积分得到，因此，由式(5)可得出弹簧刚度系数 20.15到此，PR伪刚体模型的特征参数全部确定。

3 精度分析为了检验 PR伪刚体模型的精确性，图6a分别给出了末端受复合载荷作用下 1R、2R和 PR伪刚体模型的末端轨迹以及用椭圆积分方法求出的柔顺杆末端变形轨迹，并将它们作对比。

从图 6a中可以看出，三种模型在较小变形范围a/l为0.9～1.0内基本都能跟随柔顺杆的末端轨迹。

但在大变形范围a/l为 0.5以下，1R模型末端轨迹偏离最大，这也是由于该模型只有 1个自由度所决定的。虽然 2自由度的 2R模型比 1R模型模拟的效果好，但与同样 2自由度的PR模型相比其模拟精度还是比较低的。由于 PR模型与 2R模型都是 2自由度模型，因而在模拟柔顺杆末端轨迹方面有-定程度的相似性，但 2R模型由于仅含有转动副，因此不能反映柔顺杆的轴向变形，而 PR模型中由于含有移动副，因此可以直接模拟柔顺杆的轴向变形情况，所以，从能否描述柔顺杆轴向变形的角度，PR模型与 2R模型具有较大的本质差别。虽然 2R甚至3R模型相对于1R模型在改进模拟精度上确实有较大的进展，但这些模型中都没有移动副，因此，都不能完整反映柔顺杆的真实变形状况，而 PR模型却在描述柔顺杆横向大变形的同时模拟了其轴向变形特征，所以，PR模型具有明显的先进性。

图 6b为各种模型的末端误差曲线，进-步分析可以看出，在 1.5 rad以前，PR模型比1R和2R模型的误差都有明显的降低，lR伪刚体模型的6 4 3 -∑lI4 2 O 8 6 4 2 0 1 1 1 0 0 O O 毒睾 -置翠2013年 8月 余跃庆等：复合载荷作用下柔顺机构的 PR伪刚体新模型 13最大相对误差 e6.18%，2R伪刚体模型为 3.09%，而PR伪刚体模型仅为0.3l%，相比 lR和2R模型分别降低了95%和 90%，模拟精度提高十分明显，说明在此变形范围内柔顺杆的轴向变形起着很重要的作用。但在末端转角超过 1.5 tad以后，PR模型的误差也逐渐增大，并有向 2R模型曲线靠拢的趋势，这说明在此变形区间内，轴向载荷的作用逐步减少，而横向载荷作用下的弯曲效果逐渐增强，这种随着柔顺杆变形增大而产生的横、纵载荷作用的非线性变化规律更真实地反映出柔顺杆在同时受力和力矩复合载荷作用时的变形状况，与 1R及 2R模型的线性变化规律有明显区别，因此，很好地显示出 PR模型的优势所在。

jIj嚣all(a)末端变形轨迹柔顺杆末端转角Oolrad(b)末端位置误差图 6 末端变形轨迹及末端位置误差由于移动副主要反映柔顺杆的轴向变形，所以，下面用轴向变形在整个柔顺杆轴向移动过程中所 占的比例进-步说明移动副的作用。 ，-a为柔顺杆末端的轴向移动分量，ATol为 PR伪刚体模型中移动副的位移量，它反映柔顺杆的轴向变形，因此，定义plIATol/xIlAyd/(1-口)I则可表示轴向变形在柔顺杆整个轴向位移中所占的比例。

如图7所示，当 1 rad时， 2.5%，可知在小范围变形内，轴向变形影响很小；而当 2 rad时，pf则上升为 16.9%，当 2.5 tad时， 达到35%，这说明柔顺杆在发生大变形时，轴向变形在整个轴向移动中所占的比例较大，已经不能忽略，采用带有移动副的 PR伪刚体模型可以很好地模拟柔顺杆的轴向位移，而仅采用转动副的1R及2R伪刚体模型则在此方面存在明显的不足。因此，PR伪刚体模型在提高柔顺机构分析精度方面起到了积极作用。

遥嚣4 结论柔顺杆末端转角o0/rad图 7 轴向变形的比例(1)与 lR及 2R伪刚体模型相比，PR模型的模拟精度有明显提高。

(2)PR 模型不仅能够模拟柔顺杆的横向大变形，而且能够真实地反映出轴向变形及其在整个变形中的作用。

因此，PR伪刚体新模型完整地描述了柔顺机构的变形特征，对于提高柔顺机构的分析精度与设计水平具有理论意义和应用价值。