基于基尔霍夫定律的轮系拓扑运动学分析

拓扑理论引入轮系机构设计的重要阶段是概念设计，建立相关的概念和理论应用于轮系拓扑分析，最终通过各种方式验证此理论的正确性最终进入实践验证。拓扑理论引入行星传动机构以来，在型综合 ]、同构判断 。 等方面都取得了-定的成绩，但对于周转轮系拓扑运动学及动力学分析上尚无有效且可广泛应用的理论，有鉴于此，提出了能够对简单拓扑及复杂拓扑进行运动学及动力学分析的理论，即建立于电网络参数进行参数关联的拓扑分析理论，应用电网络的基尔霍夫定律解决轮系拓扑的相关参数求解问题，利用建立的回路矩阵解决轮系运动学及动力学问题，并实例验证了此理论方法的正确性和普遍性。

- - 64 --1 周转轮系拓扑模型的建立首先建立便于轮系动力学及运动学分析的拓扑模型。依据轮系中构件的性质对轮系进行功能元件分离，并用相关符号代表不同的功能元件，之后放置相关元件在不同的层次，形成轮系拓扑，具体过程如下。

功能部件的符号表示方法及分层结构参见文献[1，4]，除此之外，对拓扑模型做了如下改进，使改进之后的拓扑不仅能实现动力学参数的分析，更易于计算机自动分析的实现，本文对构件之间的关系收稿日期：2013-03-12基金项目：陕西庶民融合研究基金资助项目(12JMR15)；渭南市科技计划项目(2001KYJ-5)；渭南师范学院科研计划育苗项 目(13YKP024)作者简介：史晓影(1977-)，女，讲师，硕士，研究方向为机械设计。

④粗虚线表示构件之间特殊的关系，如两个构件具有相同的角速度或两个不同层次渐渐构件的固接。

⑤用点划线表示轮系中形成的各回转副在同轴输入输出上的代替表示。

依据上述描述，图1(a)所示的轮系结构图对应的拓扑图如图1(b)所示，分层结构如图1(c)所示。

(a)轮系结构1 3 4 7 8 6(b)轮系拓扑图 (c)拓扑分层图 1 轮 系结构 图完善后的拓扑模型与文献[1]有-定的区别，但拓扑变换的本质不变，即此图形完全适用于文献[1]中所有的分析。

2 周转轮系与电网络相关物理量分析要实现基于电网络的轮系拓扑分析，首先要解决电网络中物理量与周转轮系中对应参数的关系，即建立参数关联，进而为应用电网络相关理论解决周转轮系运动学及动力学问题奠定基矗- 是周转轮系角速度与电网络中电压关系便于分析，文中以2K-H型行星轮系为例，对轮系的角速度与电网络电压关系进行了具体分析，对于图2(il1.)所示的轮系拓扑首先建立对应的拓扑模型，如图2(b)所示。

廿1 上l(a)轮系拓扑1 3 H(b)对应的拓扑模型图2 轮系拓扑图由相对运动原理 可知，用 ∞ 表示转臂日的角速度，-to 是加载在整个齿轮传动上的与 大小相等、方向相反的角速度，则t转化机构中各个构件相对于转臂的角速度为：∞ 1 O1- Ⅳ '∞ 2 ∞ 2 - ∞ H∞ 3 ∞ 3- 日 ， Ⅳ 日 - ∞由上推出对应的角速度之比：日 I .// O)113 - H 12 - H∞ 3 ∞ 2由此可知，周转轮系传动的任意两齿轮设为A、，相对转臂日角速度的比与齿轮齿数间通用关系可表示为：/-/-tOA. -n - ∞ 脂 -∞-∞ 口 - ∞ 日由此推出构件 1、2相对于转臂日运动时的角速度比为： ： (1) - -∞ 2 - ∞ lr构件1、H相对构件2角速度比为：-2 2： (2) lH-∞ Ⅳ- H - ∞ 2二，将公式(1)和公式(2)两边对应相加得： 1即：tO1 tO111 c，日将其化简得到如下公式： o (3)同理可得：；∞ ∞ 0 (4)在图2(b)中，两个回路(H，1，2)和(日，2，3)其角速度变化满足公式(3)和公式(4)，即任意回路中角速度的相对变化值为0，与基尔霍夫定律中电压定律完全-致，由此得到周转轮系的角速度与电路中电压是对应的。

二是周转轮系的力矩与电网络中电流关系图(2)中，将齿轮l、3设定为系统输入，系杆设定为系统输出，则在摩擦忽略不计的前提下，外转矩及功率的代数和公式如下：1 坞 0 (5)P1PⅣP30 (6)通过公式(5)-(6)可知，行星轮2即中间轮其力矩的和为零，对于其它构件如系杆或非中间轮更好理解。由此可见在轮系拓扑模型中，任-节点输入力矩与输出力矩是相等的，即该节点流人及流出力矩的代数和为零，这与基尔霍夫定律中的电流定律也是完全相符的。

- 65 - 胃3 电网络理论在周转轮系中的实际应用在说明了电网络与周转轮系拓扑之间内在联系之后，就可以应用基尔霍夫定律建立行星轮系拓扑模型的回路方程和切割方程解决轮系拓扑的运动学和力学问题，并用具体事例的方式来证明观点的正确性。

电网络有向图C，它是以变量 s对应的函数I(S)、 (s)与 G的对应边建立联系，且有向图 G满足如下公式：曰。V(s)0(基尔霍夫电压定律 KIRCHHOFF[1847]) (7)公式中的V(s)表示对应边的电压矢量，称之为有向图G的之路电压矢量。曰。表示回路 -边关连矩阵。

3.1 回路 -边关联矩阵(简称回路矩阵)在建立关联矩阵前，做如下定义：回路：将有向图G中的每-个闭合的路径称之为回路。

有向回路：在有向图中依据-个节点按回路循环的定向顺序称之为有向图的有向回路。

连支：将同层的系杆与齿轮的连接符号转换成为数的连支。

连支数：独立回路数 hn-(ni-1)，其中n表示拓扑图中总边数，n 为拓扑图中的节点个数。

基本回路：在有向图 c中，将由-条连支和对应相连的树支构成的闭合回路称为基本回路。

当回路数为c时，回路 -边关联矩阵曰 是-个c×n阶的矩阵，则矩阵中各数值口 ，满足如下关系：①口 l：若边 Z，在回路 i中，且边与回路方向相同时。

②口 -1：若边 f，在回路 i中，且边与回路方向相反时。

在图3中，依据拓扑建立其运动特性模型，图中用箭头指向表示轮系机构的运动传递方向；赋线以权值，将相邻构件的角速度矢量( )差值矢量作为线的权值，即权值oy， -∞ ，其中∞ 为拓扑图中箭头起点之角速度， ，为箭头终点之角速度。

根据基尔霍夫电压定律即公式(7)建立轮系拓扑的对应角速度矢量为：B。 0 (8)其中，曰 为回路 -边关联矩阵， 为边的角速度矢量。

- 66 - 图3 周转轮系传动拓扑模型表示成矩阵形式：2 2 H H H0) 1 0)3 3 0) 2 ∞ 10 0 -1 11- 1 1 -1 0j20) 120)30) 3H0) 2Ⅳ0) I0将公式(8)转换成用齿轮齿数表达的矩阵G。表示传动比矩阵，即：G。∞ 0 (9)公式中G。是传动矩阵，其值依据传动比公式推导得出，∞ 为连支矢量，用此公式推出图3的矢量矩阵为：0 0 -1 11- 1 l -1 oJ01-2l32彳20。

(1O)利用电网络理论与拓扑关系不但比常见的传动比容易求解，还可推导出其它常用的重要公式：1- ，‰ 1-.A 1 .B lGlIB W--tfIA W-tBIt I，AH3.2 实例求解证明了电网络中电压和周转轮系的角速度对应关系后，在回路矩阵的帮助下就可以解决构件角速度的大小，现以简单实例进行演示求解的方法，对图3给出的传动拓扑图，若 z。27，Z218， 63，当构件 l、3的转数为rt1200r/min，/7，3-100r/min(设逆时针的转向为正)，求/'t 和 的值。

解：在图3所示的传动拓扑中有两个基本回路，分别为回路1-2-H和回路2-3-H，如图3所示有5个边，所以回路矩阵应该是 2×5的矩阵，传动方向与连支方向同，如果为逆时针，则传动矩阵为：1- 2 - 2 ： o 0 - 。

∞ ； ∞Bo ：二 20 -l 1 -1oJ因B。 0中的 可以通过齿轮齿数求解，所以：. ∞： ∞。-096-0b --(De2 -H H 1同理得：2 H∞ 1- )在利用公式(10)中的传动比矩阵G。与连支变量关系.可以表示成如下公式：r-1 0 0 -1 110 -l l -1 0 J1 三L0O12l01-.Z L2120(11)因轮系自由度 F2，求解矩阵式(11)可得7，H 0，将已知条件带人得 n -1or/min，与传统理论求解的结果-致，相应的传动比亦可求出： - 0i3H- n3 -10对于更复杂的周转轮系，只要在传统拓扑图中给出它的传动方向，找到基本回路，再添加相应的边权值并利用回路矩阵，很容易算出轮系结构的相关运动参数，这解决了拓扑变换过程中轮系拓扑的运动参数如何求得的难题。

4 结束语首先提出了更为完善的拓扑模型，在此模型建立成功的基础上建立了传动拓扑模型，并依据传动拓扑模型成功地建立了回路矩阵，在证明了拓扑模型参数角速度与电网络电压，拓扑模型参数力矩和电网络电流的对应关系的基础上，利用电网络的电压理论成功解决了简单及复杂拓扑模型中角速度的求解难题，为周转轮系拓扑优化提供了理论依据，因篇幅所限对于拓扑模型力矩与电网络电流对应关系的利用文中没有给出。