啮合刚度对人字齿行星传动系统动态载荷特性的影响研究

本资料包含pdf文件1个，下载需要1积分

1 系统的动力学模型行 星齿轮传动利用多个行星轮分担载荷 ，形成功率分流，具有体积孝质量轻、传动比大和寿命长等优点，广泛应用于冶金、矿山、航空、舰船等领域的机械传动系统。

动态载荷特性直接影响行星齿轮传动系统的稳定性和可靠性，国内外学者对此做了大量的研究工作。文献[1-4]研究了行星传动系统误差、转速等因素对系统动态载荷特性的影响 ，文献[5-8]研究了行星传动动态载荷的均载特性。啮合刚度是行星齿轮传动系统主要参数激励，啮合刚度激励是行星传动动力学研究的-项重要内容。文献[9-10]研究了啮合刚度对系统稳定性影 响，文献 [11-12]研究了啮合刚度对系统固有频率的影响。以上这些研究对象主要针对直齿轮行星传动系统；主要研究内容为误差 、转速对系统动态载荷特性的影响，传动系统动态载荷的均载特性以及啮合刚度对系统稳定性、固有频率的影响，而啮合刚度对行星传动系统动态载荷特性的影响，国 内外文献 中未见较深 入的研究。

人字齿行星传动系统中的人字齿载荷是逐渐加上，再逐渐卸掉的，与直齿轮载荷突然加上和卸掉完全不同，不能按直齿轮锯齿型啮合刚度曲线计算人字齿轮时变啮合刚度；人字齿行星传动系统内齿轮- 般不固定 ，双齿联轴器作为内齿轮与 固定齿 圈间的中间构件有周向 自由度 ，应把双齿联轴器纳入动力学模型中。

本文考虑了双齿联轴器的影响，基于集中参数振动理论，建立了人字齿行星传动系统动力学模型；引入斜齿轮啮合刚度公式按 2个斜齿刚度并联计算了人字齿时变啮合 刚度 ，获得 了时变啮合刚度交变分量幅值的精确值，改变了传统啮合刚度交变分量幅值按平均分量 进行估算的方法；从啮合刚度的平均分量和交变分量2个方面研究了内外啮合刚度对传动系统内外啮合动态载荷特性的影响。研究工作对人字齿行星传动系统内外啮合刚度的确定具有指导意义。

如图 1所示人字齿行星传动系统示意图。整个系统由太阳轮 z 行星轮 Z ；(i1，2，，n)、内齿轮 Z 、行星架 、双齿联轴器 z ，固定齿 圈 z 组成。

输入扭矩 通过太阳轮z 经行星架 日，传送到输出轴 上 。

图 1 人字齿行星传动系统示意图Fig.1 Sketch map of herringbone planet train太阳轮、行星轮采用人字齿，为便于加工，齿轮设有退刀槽 。内齿轮由2个齿向不同的斜齿齿圈组成，内齿轮 z 采用斜齿与双齿联轴器 z 连接，双齿联轴器z 采用直齿与浮动齿圈z 连接。

系统的动力学模型如图2所示。采用以行星架转速 旋转的动坐标系，以行星架的速度作为参照，按转化轮系法”计算各个齿轮的相对速度。

图 2中， 肌为联接行星架 口和输 出轴 的扭转刚度 ；K 、K 和 K 分别为齿 轮 z 、z 和 z 的支承刚度； 为行星架 日在行星轮 z。 公转半径 上的切向刚度； 和 fq分别为双齿联轴器 z 与齿轮 z 以及固定齿圈z 接触的切向刚度。

人字齿行星传动系统共有(93n)个 自由度，其广义位移列向量X ， ， ， ， ， ， ，， ， ， .1， ， (1)式 中： 、 i和 分 别为齿轮 z 、z 和 z 沿 基圆半兵 工 学 报 第34卷图2 人字齿行星传动系统动力学模型Fig.2 Dynamic model of herringbone planet train径扭转 的线位移 ； 为双齿联轴器 z 沿分度 圆半径扭转的线位移； 表示行星架 日在其半径 的线位移； 为输出轴 与行星架 日的半径 r 接触处的线位移；H 与 。、日 与 。和 日 与 分别为齿轮 z 、 。 和 的中心在旋转坐标系中的横向与纵向位移 。

2 系统的动力学方程行星传动系统行星轮 z。 与内齿轮 Z 间的啮合称为内啮合，太阳轮 Z 与行星轮 z 间的啮合称为外啮合，-起简称为内外啮合。令 P 和 P 分别为内外啮合的弹性啮合力，则P叫： K ( p - 日p COS(1T/2- 1)V。 COS(1T- 1)-日 COS(叮T/2- l-2耵(i-1)/n)-V COS(耵-O/l-2 (i-1)/n)-e ，Pp： Kp ( - p H。COS(订/2- 22竹(i-1)/n)V COS(0t2-21T(i-1)/n)-Hp COS(，rr/2- 2)-Vp COS 2-e p ，(2)式中：K 和K 分别为内外啮合的时变啮合刚度，分别称为内啮合刚度和外啮合刚度；O/ 和 分别为齿轮副内外啮合的啮合角；e 和 e 分别为内外啮合的啮合线上误差等效位移；2霄(i-1)/n表示第 个行星轮相对于第 1个行星轮的位置角。

令 D 和 D 分别为内外啮合的啮合阻尼力，则Dpl Crp( - 日pfCOS(w/2- 1)V。 COS(1T- 1)-H COS(1T/2-O/l-21T(i-1)/n)-frCOS(订- 1-2百(i-1)/n)- ，D C p( -x 日 COS(w/2- 22 (i-1)/n)V COS(Ol2-2竹(i-1)/n)-Hp COS(1T/2- 2)-VpiCOSOt2- 。pl，(3)式中 C rp和 c 。分别为内外啮合的阻尼系数，按文献[14]中方法计算。

考虑双齿联轴器的影响，建立 的人字齿行星传动系统动力学方程由(4)式 ～(9)式组成：m ∑(P。 D。 )P。，i 1M。i：1 ∑(P D spi)sin(a2-21T( -1)/n)KsH ：0， (4)M。 。 ∑(JP D sp1)c。s(a：-21T(i-1)/n)K V 0。

m -(P D )(P D pI)0，MpH plKpH pI-(P plD pI)sin 2(P D )sin Otl0，MpVp Kp(Vp - )-(P plD。 )COS. 2(P rpfD )C0S 0tl0。

(5)m - ∑(P叫Drp1)K ( -Xg)0，1M 日，-∑(P ；Drp1)sin( 2"tr(i-1)/n)K H 0，M Vr∑(.P D )c。s( l2竹(i-1)/n)K V ：0。

mg g-Kgq( - g)Kfq g：0，m ∑Kp x -Vpi)i 1KHLtx H/rH-x L/rH /rH0，，孔Lx L-KHL( /r日- L/rH)/rL-PL，(6)(7)(8)(9)第 6期 啮合刚度对人字齿行星传动系统动态载荷特性的影响研究 735其中：m 、m 和 m 分别为齿轮 z。、z 和 z 在各 自基圆半径上等效质量；m 为双齿联轴器 z 在其分度圆半径上等效质量；m 为行星架 日在行星架半径 r 上等效质量；m 为输出轴 与行星架 日接触处 r 上等效质量；M 、M 和 分别为齿轮 z 、 和 z 的质量；P。为输入转矩 。在齿轮 z 基圆半径 r 上的等效力，P。T。/r幽；P 为负载转矩 在输出轴 与行星架 口接触处 上等效力，P TL/r 。

3 人字齿轮副时变啮合刚度计算Maatar等 ” 基于齿轮副瞬时总接触线长度推导出斜齿轮时变啮合刚度。本文应用该公式按2个斜齿刚度并联计算人字齿啮合刚度k( )2k。L(Jr)， (10)式中： 为单位接触线长度的齿轮平均啮合刚度，按国标 GB/T3480-1997中斜齿轮平均啮合刚度计算公式计算； (r)为齿轮副瞬时总接触线长度；rt/T ，t为时间历程， 为啮合周期。L( )的计算公式为r∞ (f)I 1十∑ (Akcos(2xrkr- )B sin(2rkr- ))I ， (11)式中： 为各个行星轮与太阳轮之间啮合相位差，按Parker等 提出的方法计算。A k.B 和 具体含义见(12)式A 1 [cos(2rrkca)COS(27rk6 )-COS(21T ( 8)-1]，1 [sin(2竹 sin(2rke )-sin(21rk( 口)]，L b6 /cosflb。

(12)式中：6"a为齿轮副端面重合度；s 为齿轮副轴向重合度； 为齿轮基圆螺旋角；b为人字齿轮单边斜齿宽度。

由(11)式可见 ，人字齿轮副瞬时总接触线长度由平 均 分 量 和 交 变 分 量 2部 分 构 成： 和L ∑ (A eos(2kr- )Bksin(2，rkr- )).总接触线长度交变分量的第 1阶谐波幅值 A 随端面重合度 和轴向重合度 变化曲面如图3所示，随着齿轮副轴向重合度 增大，A mpl衰减很快。人字齿轮副轴向重合度 -般大于 2，所以A 。很校总接触线长度交变分量的其他阶谐波幅值随端面重合度 和轴向重合度 变化变化规律与图 3相似，其他阶谐波幅值远比第 1阶谐波幅值 A 校由此可知，人字齿轮副总接触线长度交变分量幅值很校150莹100、 500图 3 随P。和 变化的A mpI曲面Fig·3 Curved sulface ofA p1 VS s and 口与人字齿轮副瞬时总接触线长度的平均分量和交变分量相对应，时变啮合刚度由平均分量和交变分量2部分构成：2k0L 和2k0L ∑ (A cos(2rkr-)B sin(2，rkr- )).取前 5阶谐波按文中算例参数计算的人字齿轮副内外啮合刚度 rpl和 曲线如图4所示∩见，人字齿啮合刚度曲线变化平缓，啮合刚度交变分量的幅值很小，与直齿轮锯齿型啮合刚度曲线相 比区别 明显。

图 4 人字齿轮副 内/外 啮合 刚度Fig.4 Internal(externa1)mesh stiffnessof herringbone gear pair4 动载系数计算用动载系数反映行星传动系统的动态载荷特性。动载系数定义为实际齿轮副啮合时的最大作用力和纯由外加载荷所产生的相应作用力之比值 ]。

采用傅立叶级数法 引求解(4)式 ～(9)式，进而得内外啮合弹性力 P rpI和P 令 G (t)和 G (t)分别为各行星轮内外啮合动态载荷系数，则fG (f)P叫(Nrrb)/ ， ， .、G (t)P (Nr )/T。，736 兵 工 学 报 第34卷式中 为作用在内齿轮 Z 基园半径 r 上的扭矩 。

动态载荷系数的最大值为动载系数，则系统行星轮内外啮合动载系数f Gr ：Gr， - max十 ， (14).G (t)-1 f 1。

5 啮合刚度对系统动态载荷特性的影响分析针对某人字齿行星传动减速器进行分析。

减速器主要参数：模数 m5 mm，行星轮个数N3，太 阳轮齿数 Z。41，行星轮齿数 Z 22，内齿轮齿数 z 85，齿宽系数 1.3，压力角 O/：20。，螺旋角 22。；输入轴转速 n1 500 r/min，输入功率 P：400 kW；太阳轮、行星轮和内齿轮均使用合金结构钢 40Cr，弹性模量为 2.06×10N/m ；太阳轮、行星轮 和 内齿 轮支 撑 刚度 分 别 为 2×10 N/m、1×10 N/m和2×10 N/m；行星架与输出轴的扭转刚度为2.2×10 (N·m)/tad；双齿联轴器与内齿轮及 固定齿圈接触的切向刚度分别为 1.1×10 N/m、6，1×10”N/m；按(10)式计算的人字齿内外啮合刚度平均分量分别为 8.689×10 N/m和7.488×10 N/m。

各齿轮偏心误差分别为 20 Ixm，内外啮合的齿频误差分别为 10 m。

本文从啮合刚度平均分量和交变分量 2个方面研究行星传动系统内外啮合刚度对内外啮合动态载荷特性的影响。由于内啮合刚度对外啮合动载系数及外啮合刚度对内啮合动载系数的影响均很小，可以忽略，限于篇幅，不作赘述。

5.1 啮合刚度平均分量对动态载荷特性的影响分析在外/内啮合刚度不变情况下，假设内/外啮合刚度交变分量保持不变 ，按内/外啮合刚度平均分量80%和 100%计算内/外啮合动载系数随转速变化曲线如图5～图6所示∩见，在转速区间大部分区域，按啮合刚度平均分量 80%计算的内/外啮合动载系数明显减小，降低内/外啮合刚度平均分量可以减小内/外啮合动载系数。

啮合刚度平均分量越大，啮合线位移越小，通过改变啮合位移均衡载荷的能力越弱，载荷越不均衡，动载系数越大。所以降低内外啮合刚度平均分量可以增大啮合线位移的变化量，提高了啮合线位移变化均衡载荷的能力，减小了内外啮合动载系数。在转速区间的绝大部分区域，内外啮合刚度平均分量越大内外啮合动载系数越大，齿轮承担的动态载荷图5 不同内啮合刚度平均分量作用下内啮合动载系数Fig.5 Dynamic load coefi cients of internal mesh underaction of diferent average components of internalmesh stifness图 6 不同外啮合刚度平均分量作用下外啮合动载系数Fig.6 Dynamic load coeficients of external mesh underaction of different average components of externalmesh stiffness也越大。在转速区间很窄的局部 区域，由于存在共振，内外啮合刚度平均分量较小时，反而内外啮合动载系数较大。

5.2 啮合刚度交变分量对动态载荷特性的影响分析在外/内啮合刚度不变情况下，假设内/外啮合刚度平均分量保持不变，按内/外啮合刚度交变分量0%(不考交变分量)和 100%计算内/外啮合动载系数随转速变化曲线如图 7～图 8所示∩见，不考虑啮合刚度交变分量的内外啮合动载系数曲线与算例情况下动载系数曲线基本重合，所以图7～图 8中仅显示-条曲线。

为清楚显示内外啮合刚度交变分量变化对内外啮合动 载 系数 的影 响，分 别提 取 图 7和 图 8中1 450～1 550 r/min部分 ，如 图 9～图 10所示∩见，不考虑交变分量计算的动载系数曲线与算例情况下动载系数曲线实际上不重合，内啮合刚度交变分量变化对内啮合动载系数的影响很校人字齿接触线长度交变分量幅值很小，对应的第 6期 啮合刚度对人字齿行星传动系统动态载荷特性的影响研究 737人字齿啮合刚度交变分量幅值同样很小，算例中人字齿轮副内外啮合刚度交变分量幅值分别为0.24×10 N/m和 0.29×10 N/m，仅为对应平均分量的2.76%和 3.87% ，远小于直齿轮啮合刚度交变分量幅值 ，所以人字齿行星传动系统啮合刚度交变分量变化对动载系数影响很小 ，见图 7-图 l0.这也是人字齿轮相比直齿轮啮合平稳 、振动较小的原因。

图7 不同内啮合刚度交变分量作用下内啮合动载系数Fig.7 Dynamic load coefficients of internal mesh underaction of different alternate components of internalmesh stiffness图 8 不J司外啮合刚度交变分量作用 F外 啮合动载 系数Fig.8 Dynamic load coefficients of external mesh underaction of different alternate components of externalmesh stifness对于人字齿行星传动系统 ，由于人字齿啮合刚度交变分量对动载 系数影响很小 ，所 以进行动力学方程求解时不考虑啮合刚度的交变分量，以啮合刚度平均分量代替啮合刚度计算的动载系数与准确值偏差不大，在计算精度要求不太高的情况下是可行的。

6 结论1)啮合刚度平均分量越大，啮合线位移越小，通过改变啮合位移均衡载荷的能力越弱，动载系数越大。在不考虑共振的情况下，内外啮合刚度平均分量越大，内外啮合动载系数越大，齿轮承担的动态图 9 局部转 速区间内啮合 动载 系数Fig.9 Dynamic load coeficients of internalmesh in local speed range图 10 局部转速区间外啮合动载系数Fig.1 0 Dynamic load coeficients of externalmesh in local speed range载荷也越大。

2)由于人字齿接触线长度交变分量幅值较小，与此相对应的人字齿啮合刚度交变分量幅值同样较小，所以人字齿啮合刚度交变分量对动载系数的影响很小，这也是人字齿轮运转平稳，振动较小 的原因。

3)进行人字齿行星传动系统动载系数计算，在精度要求不太高的情况下，求解动力学方程时以啮合刚度平均分量表示啮合刚度是可行的。