POWELL优化算法在混合气体轴承数值计算中的应用

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Application of PoW ELL Optimization Algorithm in NumericalCalculation of Hybrid Gas BearingYan Panyun Liang Guozhu(School of Astronautics，Bering University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China)Abstract：The diferential equation of representative control volume of hybrid gas journal bearing was derived based onthe principle of flow conservation，and was solved by Newton-Raphson method.For the difcult orifice boundary condi-tions，the objective function was constructed by regional flow equilibrium and solved by the POWELL optimization algo-rithm.The calculation results were compared with the experimental results from Powell and the calculation results from oth-er theoretical analysis methods.Th e results indicate that，by using POWELL optimization algorithm to process the orificeboundary conditions，the problem of orifice pseudo baekflow was solved successfully when regarding the flow of orifice asthe source term.Th is method has high precision and Can be used to calculate the perform ance of self-acting bearing，hydro-static bearing and hybrid bearing in the high speed accurately.The best relaxation factor do not need to be confirm ed whencalculating the pressure distribution using Newton-Raphson method，therefore the calculation results are well consistentwith the experimental results in all eccentricity conditions。

Keywords：hybrid gas journal bearing；POWELL optimization algorithm；Newton-Raphson method；numerical calculation气体轴承由于无摩擦、无磨损、不发热，对使用环境和使用部位没有任何污染。同时，它还具有回转精度高，能耐低温和高温及辐射等优良特性，因此是- 种理想的支撑元件。

气体动静压轴承的数值计算主要是求解雷诺方程，通常是将求解区域展开成平面，采用的数值离散方法包括有限差分法 、有限元法 和边界元法 ，有限差分法由于计算简便，得到了广泛应用。

2006年刘宾等人 采用有限差分法，根据流量平衡条件反复修正凶出口压力来求解凶边界条件，但收稿 日期 ：2013-02-04作者简介：闫攀运 (1987-)，男，硕士研究生，主要从事流体动静压轴承研究.E-mail：yanpanyun###163.corn。

2008年彭万欢等 以雷诺方程为基础，针对小孑L节流静压气体轴承性能计算中的3种隐式边界条件分别提出了-种迭代方法和收敛判据，得到了较好的结果。但是在求解 Reynolds方程时，最佳松弛因子不能事先确定，需要根据离心率的变化进行调整，计算效率和通用性两方面很难取得平衡，而且在高离心率下Reynolds方程计算结果不收敛。本文作者将根据质量守恒原理推导出微元控制体的差分方程，并用牛顿 -拉 夫逊方法求解此方程，将微分方程的求解转化为求解线性方程组，其迭代不超过5次，即可得到整个轴承的气膜压力分布，并且在所有离心率下均收敛。对于较难处理而又对数值计算结果影响很大的小孔边界条件，根据凶区域流量平衡构造目标函数，2013年第8期 闫攀运等：POWELL优化算法在混合气体轴承数值计算中的应用 97采用 POWELL优化方法进行计算。应用本文方法计算的轴承承载力与 Powel的实验结果 和基于 FLU。

ENT的三维稳态可压缩模型有限体积法的理论计算结果 进行对比，结果符合得很好。

1 流量平衡方程的建立动静压气体轴承的数值计算通常是直接离散Reynolds方程 ，而本文作者将从流量平衡方程出发，通过求解方程组得到轴承气膜压力分布。气体轴承中任意给定位置上气膜断面的气体速度为 ： (·-音)-(詈) (1)1)- -(警)式中： 为流体黏性系数；h为气膜厚度； 方向速度为1，；Z方向速度为 。

将式 (1)、(2)对 Y积分，并引入如下量纲-化参数：咖：羔 ，Z：-z，P：卫， H r r p fLo其中P。是环境压力，h。是平均径向间隙，从而可得沿圆周方向与轴承宽度方向的单位长度流量分别为：Gf-2 P'2AHP)Az (3)m G(-2 P OP) (4)其中：以 5p . 云)，G箍 ，n为转速。

将动静压气体轴承的求解区域沿母线展开成平面，划分网格，如图1所示。 向最大网格数为 n ，z向最大网格数为 。

图1 网格划分Fig 1 Meshing根据图1，任取-个网格控制体，由质量守恒可以得到微元体的流量平衡方程：(m -m；)(m：-m：)(m：-m：)(m：-m )m √ (5)其中 m √对应于节点 (i，J)处可能有的进气凶的流量。

2 差分方程的导ti：l用 代表图 1中以k为标号的那段边界处气膜厚度，根据式 (3)、(4)写出各边界处的流量公式如下：m：G(- 尸蒹以 尸Az(后1，2，3'4)(6)m G(- P ) 后5，6，7，8) (7)利用中心差商公式：aP I ： (8) lf 士. △咖 、l - ! 二OZ ÷ △z以及线性插值公式： 将式(8)-(10)代入式(5)，整理得到差分方程：(9)(1O)(6)、(7)，最后代入式。 幸 AZ÷'rⅣ3kbAZ·A(H 4-Ha- - )c -AZ .盯3 )dAZ·A(日1-I )e -AZL.盯：3 )-AZ·A ·( )g- ( )g- ( 噬)s -3 差分方程的求解3.1 数值 方法方程 (11)是非线性的，可用牛顿 -拉夫逊方法求解，即先估计-组 PI√值，然后求修正值。其条件是将式 (11)左端的 J用其在P J处的泰勒展开的-级近似来代替时。能被修正后的值所满足。即： 、， .、Ud ( 护售n SP 60 ㈣： 中式润滑与密封 第38卷(尸△) (尸)∑ o (12)式中：△是P的修正值。这-方程组对△而言是线性的，从而得到-组关 于 △的方程组 ，不难求解。在求得-组修正值△ 后，以P △u为新的起点，仍用上述条件求新的修正值，如此反复进行，直至修正值小至可以忽略为止，这时求得的P值即为气膜中的压力分布。

3。2 边界条件根据轴承的对称性，取其 1/2求解区域计算，得到差分方程的边界条件：大气边界条件：P(i，0)1周期边界条件：P(i， )P( i，-)对称边界条件：P(i， -1)P(i， 1). 小孑L边界条件：凶边界条件由凶流量公式(13)确定，本文把凶边界条件与前3个边界条件分开处理。在求解方程组时只使用前 3个边界条件，将凶出口压力作为初值给出，可求得在给定凶出口压力初值下的气膜压力分布。而凶出口压力的迭代确定方法将在本文3.3节中讨论。

CDAi，jP。√ √ (13)J 告( 厂]k--l[po-!-( Po) P l，i(14)( ) (15)式中：k是比热比； 是临界压力比；P。是凶的进气压力；C。是流量系数；A 尾 凶面积。

3.3 POWELL优化方法在凶边界条件中的应用凶边界条件的处理有2种方法。-种是把凶流量作为源项，直接应用于差分方程中，作者曾使用这种方法进行计算，发现当离心率超过0.3时会出现数值上的凶伪回流现象，即出现凶出口压力高于进口压力。为解决该问题，作者采用了第二种方法，即区域流量平衡迭代法。文献 [6]提出了单个凶出口压力的迭代方法，但没有从整体上给出所有凶出口压力的迭代策略，也没有给出凶区域大小选取的准则。文献 [5]提出了逐个区域进行流量平衡迭代的方法，但是计算效率低下。作者假设文献 [5]计算单个区域流量平衡的平均时间为 t，则有 n个小孔区域的迭代过程所需时间为：t t ttl ... t·。

- - - - - - - - 这样的计算时间是不能忍受的，此外使用超松弛迭代法进行求解也有-定的局限性。因此作者在采用区域流量平衡迭代方法的基础上，从整体上考虑所有凶出口压力的迭代策略，为此引入了优化算法，具体处理过程如下所述。

采用文献 [5]提出的区域流量平衡方法，根据凶数量划分求解区域为A ，如图2所示。以区域A为控制体，构造A区域的目标函数，即流量平衡方程为 ：F l Q Q -Q -Q )l (16)式中： 为流量差 ；Q 为凶流人 A 区域的流量 ；Q： 为i-1区域流人A区域的流量；Q： 为A区域轴承端泄流量。

图2 凶边界条件流量平衡示意图Fig 2 Flow equilibrium of holes boundary conditions设P 为第 n个凶出El压力，任意给定-组 P值，通过求解差分方程可得到轴承气膜压力分布P即 可以看作以P 为自变量的函数，据此构造目标函数：minJ(P -，P )i∑1s.t.P ∈1， 1 P (17)由于目标函数J(P -，P )的导数不连续也不易求出，因此采用具有加速收敛性质的 POWELL优化算法 ]。利用POWELL优化算法求解式 (17)，即可得到轴承最终的压力分布。

4 结果与讨论凶节流气体静压轴承气膜压力分布与文献[1]的对比如图3所示。

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0. O(a)文献I1结果 (b)本文结果图3 气体静压轴承压力分布对比 (80，h 20 m，d：0.2 mm，n：0)Fig 3 Comparison of pressure distribution of hydrostatic gas bearing(s0，h 20 m，d：0.2 mm，n0)从两图的对比可以看出，其压力峰值均约为0.8，而且压强分布规律相似，说明本文的计算方法正确可行。

纯动压时，承载力随气膜厚度变化的对比如图 4300250200Z 150l005001。

所示。从动压轴承的计算结果与 Powel实验结果的对比可以看出本文计算方法得到的结果与 Powel实验结果符合得很好，说明本文的计算方法适用于动压气体轴承的计算，并且具有很高的计算精度。

0 5 l0 15 20 25 3O 35 40 45 50 0 5 l0 15 20 25 30 35 40 45 50Mean radial clearance hol(X 10- am) Mean radial clearance hd(X 10 ram)(a)实验结果 (b)本丈结果图4 承载力随气膜厚度变化对比 (d50.8 mm，z101.6 mm， 0.4，n5 000 r/min)Fig 4 Comparison of load carying capacity under diferent eccentricity(d50.8 mm，Z101.6 mm，s0.4，n：5 000 r/min)纯静压情况下，FLUENT软件基于有限体积法求解N-s方程所得结果 和本文计算结果对比如表 1所示。其计算参数为：采用双排供气方式，每排 8个环面节流凶沿圆周方向均布，轴承直径D45 inin，宽度 L35 mn3，节流孔至轴承端面距离 Z10 mm，节流孔直径 d0.3 nun，轴承平均工作间隙h 20 ptm，供气压力650 kPa(绝对压力)，环境压力100 kPa。

表 1 轴承承载力的计算结果Table 1 Calculation results of load carrying capacity从表1的对比结果可以看出本文的程序适用于进行静压气体轴承的性能计算，且具有很高的计算精度。

动压、静压与动静压轴承理论与实验的对比如图5所示。计算模 型为直径 D50.8 mm，长度 L101.6 mm，平均间隙 h。0.015 7 mm，表压P。-p 344.5 kPa，大气压力P 101.3 kPa，在 1/2位置有8孔 ，4，TL直径 0.147 mm。

图5(a)示出了文献 [7]得到的承载力实验结果和理论计算结果，图5(b)示出了文献 [11]得到的承载力实验结果和理论计算结果，图5(C)示出了本文计算的结果。通过比较可以看出，本文计算结果与实验结果在高转速下 (如5 000和7 500 r/min)符合得比较好，但在低速 (2 000 r/min)和纯静压状态下，离心率大于0.3时的结果相差较大。其原因是姗 瑚 枷 Ⅲ 鲫 oz 矗0r1100 第38卷Powel实验中采用的是简单孔节流，其存在-个小的浅腔，浅腔中有-个压力平台并且存在二次节流 ，在高离心率下间隙小的-边其二次节流更加严重，所以在高离心率下具有较大误差。因此本文作者在计算498.9453.6408.2362.9z3l7·5272.2g 226.8181.4136.190.745.4O/ jf：5 0 F/rainZ。 /互 so r m/// ， 由A。 r0 ati/. / ，鏖 .莺 验 当昙 玛 论 砉身r，0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Eccentricity ratio(a)文献I7结果544.3453.690.70承载力时，在凶流量公式中增加了二次节流因子来考虑浅腔边缘的二次节流效应。当转速较高时，动压效应增大，浅腔的影响减小，因而在转速较高时，本文计算结果与实验结果符合得较好。

，/ cI1， lHu. r/ Io o.1 o.2 o.3 o.4 o.5 o.6Eccentricity ratio(b)文献11结果544.3453.690.70//r/7 500 '/fn5 0O0 "/minc//，/ 2 仃j ：/min/ ，- r ，，1 f -- / / / Aeros ：atic。

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6Eccentricity ratio(c)本文结果图5 动压、静压与动静压混合轴承实验与计算承载力对比 (D50.8 mm，L101.6 mm，h。0.015 7 mm)Fig 5 Comparison of load carying capacity from experiment and calculation of self-acting，hydrostatic and hybrid bearings(D50.8 mm，L101.6 mm，h00.015 7 mm)5 结论(1)基于区域流量平衡迭代方法，把 POWELL优化算法成功地应用于小孑L边界条件的处理，解决了将凶流量作为源项时的凶伪回流问题，提高了轴承气膜压力的计算精度。

(2)从流量平衡方程出发，采用牛顿 -拉夫逊法求解差分方程以获得轴承气膜压力分布的方法不需要确定最佳松弛因子，在所有离心率下均能计算，算法适应性强。

(3)本文的计算方法可以用于动压、静压以及混合气体轴承的性能计算，其中动压、静压轴承的性能计算具有较高的计算精度，混合轴承仅在较高转速下 (>15 000 r/min)具有较高的计算精度。

(4)本文的计算方法也存在不足，还需要进-步深入考虑浅腔边缘的二次节流问题。