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齿轮传动系统动力学模型参数识别方法研究

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  • 发布时间:2014-08-19
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近年来,研究者们对齿轮传动系统的建模做了大量研究。Yang和 Sun[1 仅仅考虑了齿轮啮合处的柔性,把传动轴等其他零件视为刚性物体,建立了齿轮扭转振动的单 自由度模型。KumarL2]应用状态空间法研究了单级齿轮传动的动力学模型,并通过研究发现阻尼对齿轮传动系统的稳定性有着重要影响。姚文席[3]考虑了传动轴对齿轮动力学特性的影响,建立了包含各个齿轮的扭转、轴的横向弯曲的四自由度动力学模型。Zhu C C等[4]近似计算了轴承和齿轮啮合的刚度,并建立了箱体-轴承-转子-齿轮的耦合动力学模型。然而,这些研究中存在着模型参数不准确的问题。齿轮传动系统中不仅包括箱体、轴承座、轴承、传动轴、齿轮等子结构,还含有轴承结合部、齿轮啮合结合部等。子结构的物理状态明确,力学机理清晰,因此其物理参数易求。但结合部因为作用机理复杂,且受表面形貌、摩擦、润滑等因素的影响非常大[5],导致其刚度和阻尼的求解十分困难,在文献[1~4]中的求解均是基于假设和近似理论推导,精度不高。本文针对这-问题,建立了单级直齿轮传动系统的动力学模型,并提出了基于频响函数列的齿轮传动系统动力学参数识别方法。

1 直齿轮传动系统动力学模型考虑传动轴和轴承的支承柔性和轮齿啮合处的接触柔性,并把齿轮看成刚体,对直齿轮传动系统建立如图 1所示的动力学模型。模型中的弹簧分别表示啮合刚度和轴与轴承的综合支承刚度,虽然在齿轮运行过程中,齿轮啮合刚度、轴承刚度等会根据几何位置和外加负载而变化,但对于-个特定时刻,这些参数是确定的。这样,系统共有 6个自由度,包括两齿轮绕各自传动轴的扭转振动和 、 方向的横向振动。对于扭转自由度(01,o2),有运动微分方程:J1 0 1-rlC [n 01-r2 02I1-岁2(t)]-rlk rlOl-r2 ( )Yl(f)- 2]-T 。 (1)J 2 o 2-t"2c [,.1 0l( )-r2 0 2( )岁l-2]-r2惫 [rl01(t)-r2 Y1-Y2( )]-- 。

(2)其中:., √。分别为两齿轮与轴的等效转动惯量;r 、分别为两齿轮的基圆半径;是 、C 分别为齿轮啮合的刚度和阻尼;O1、O2分别为两齿轮的扭转角位移;Y。、 2分别为两齿轮在 Y方向的位移;T1、Tz分别为两齿轮受到的扭矩。

对于啮合方向Y,运动微分方程为:l 1c [rl 01-r2 0 2(t)4- 1-多2]五 rl -r2 -4-Yl-Y2]c 1多l( )愚 1Yl-O 。 (3)2 2-C [rl 01(t)-/'2 02 1-鼍国家科技支撑计划项 目 (2O12BAFO8Bo1)收稿日期:2012-12-06修回日期;2013-02-06作者简介:洪先波 (1989-),男,河南信阳人,在读硕士研究生,研究方向;齿轮动力学。

2013年第 4期 洪先波:齿轮传动 系统动力学模型参数识别方法研究 · 5 。

多2]是 [r1 (t)-r2 (t)3,1( )-y2(t)32忌妒 2-O 。 (4)其中: 、m。分别为两齿轮与轴的等效质量;k,l、f 、k 、C明分别为两齿轮支承系统 Y方向的刚度和阻尼。

对于 方向,运动微分方程为:m1 l(f)C 1 1(t)k 1X1-0 。 (5)m2兰2( ) 2王2kx2x2( )-O 。 (6)其中: 、c 、忌北、c砣分别为两齿轮支承系统 X方向的刚度和阻尼ix。( )、 z分别为两齿轮在 方向的位移 。

n, 、 图 1 直齿轮传动系统动力学模型2 动力学参数识别方法H(∞)-般可以从实验测试中获得,而 H(∞)中的某-列更是可以根据经典模态实验中的锤击法测得 取 H(∞)的第 ( 1,2,, )列,有:(-0)2[M]j.,Ec-I[K]) (1O)对于齿轮传动系统,由式(1)~式(6)可知, 方向与其他方向是不耦合的,因此可将其单独考虑成单自由度系统。又因为单自由度系统是多自由度系统的简化,下文关于多自由度系统参数识别的方法完全可以应用到单自由度系统中,因此 方向的参数识别在此不作赘述。对系统中 、 、Y。、Y 方向组成的四自由度系统,忽略静力作用,把这 4个自由度的耦合动力学方程(1)~(4)写成形如式(7)的形式,其中:x-t-a, Y1 Y2 xl X2] ,M-diag['Jl J 2 ml m2 m1 m2],F-厂O 0 0 0 0 ol ,对于多自由度系统,运动微分方程可写成: 厂,k -r1 7"2k r k -r。k ]M c Kx:F 。 (7)- I -r2忌 r2志 I其中:M、K、C分别为系统的惯性矩阵、刚度矩阵和阻 -f k 忌 -是 I其中:∞为系统的角频率。z(eo)的逆矩阵为系统频响 L-f 、 -c f。

函数矩阵H(ro),所以可以得到: l 对称 佗f j(- M cK)日(∞)-J。 (9) 对式(10),不失-般性,取 3,并展开得到:r 小m-jamlr zcm--意jun'lc rlkm -。 -jamlc-rlkmo/Jk 监 0Hs31koaA I J” ri- "-2 "·2 2 l 1日2(∞)l Il m1∽J∽1 -J-I lL 对称 m2∽蚰JL4j按矩阵的相乘法则展开,得到 4个方程式,并把这4个方程式写成关于未知数[c ,忌 ,c 1,k l, ,k ]r。 1(,.1Hl-r2H2H3-H4)j,or(-rlHlrzH2 H3H)jeo(rlH1-r2H2H3-HI). ∞(-,lHjr2H2-H3 H)的矩阵形式,见式(12)。其中,为书写方便且不造成歧义,用 H 来代替 H 。(叫),k:1,2,3,4。

r1(rlH1-r2 H2H3-H)r2(-rlH1 r2H2-H3H4)rlHl-r2H 2 H -Hl-rHlr2H2-H3 HO O0 0J H3 H3O OO OO OO 0j∞H HH- I .,。H2-l1cJ2优。H。

(12)即,对于每个 ct,及其对应的频响序列 H ( ),可 其中:A、 、b分别对应式(12)中的三个矩阵。

得到形如式(13)的方程组 :A4×666×1-b4×1。 (13)又因A、b为复数矩阵,6为实数矩阵,可把方程两边分别按实部和虚部展开,得:H ; H H H ; H· 6 · 机 械 工 程 与 自动 化 2013年第 4期[ e V。Rmea 州4,即,对于每组 c,-H。(叫),可以得到实数方程组:.8×6 6×1-d8×1。 (15)根据频响函数矩阵中的第 3列,可取 m组 叫-H。(c,)值,即得到超静定方程组:P8 ×6 6×1d8 ×l。 (16)方程的最小二乘解为:- P d 。 (17)把仿真对象的参数设为:齿轮模数 2.5 mm,大、小齿轮齿数分别为 61、47,齿宽为 20 mm。通过理论近似值的预估口 ],设置系统的动力学参数,详见表 1中的实际值”。

对方程(11),利用 Newmark-fl数值积分法[9],求解得系统的脉冲响应。计算中,精度控制参数取值为 y:0.5,卢:0.25。同时利用快速傅里叶变换求得响应的频谱,亦即系统的频响函数。第-个自由度的响应见图2。

取频响图中峰值附近的 叫-H。(ct,)值,根据式其中:P 为 P的加号广义逆。 (17)求得 的最小二乘解,即需要识别的刚度和阻尼3 识别方法验证 参数。用同样的方法识别得两个独立自由度x 、 的根据课题组现有某齿轮箱中的-对标准直齿轮, 刚度和阻尼值,结果见表 1中的识别值”。

表 1 待识别参数的识别结果参数 k (N/m) ksl(N/m) kyz(N/m) l(N/m) 女柏(N/m) c (N·s/m) Cyl(N·s/m) y2(N·s/m) c 1(N·s/m) c 2(N·s/m)实际值 1.1×10s 4X107 4.8X10 5X101 6X107 5O 500 600 500 600识别值 1.08×10s 3.8×107 4.8×107 5×107 6×107 50.576 476.616 593.043 502.356 7 603.12误差( ) -159 -5.74 ~O.10 --0.03 --0.25 1.15 -4.68 -1.16 0.47 0.52 r 12xlO ,- . 10xlOL - 8×l口r 鼍6xl i- 4xIO 。

8 2xlOnt/s 频率/Hz(a)时间响应 (b)幅值谱(即频响函数)图 2 系统脉冲响应的时频图从对比结果发现,识别结果的误差都在±5.7 以内,考虑到数值积分和快速傅里叶变换的误差,此结果是可以接受的。因此,文中提出的齿轮结合部的参数识别方法是有效的。

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