利用周节偏差处理锥齿轮径向跳动的新方法

本资料包含pdf文件1个，下载需要1积分

Runout Evaluation of Bevel Gears by Pitch Deviation M easurementsYANG Yu，MAO Shimin，GUO Wenchao，ZHAO Pengj U(State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering，Xian Jiaotong University，Xian 710049，China)Abstract：To obtain accurate and objective runout evaluations of bevel gears on coordinatemeasurement machines(CMM s)，a new runout measurement strategy by pitch deviation was putforward.The model of measured bevel gear was established via replacing the theoretical toothsurface with quadric surface，the diameter of imaginary ball probe was determined by the tangentplane method， the mathematical model for virtual measurement was constructed by pitchdeviation，and hence the runout was determined by solving the system equations governing thetangent contact relation between the probe and the tooth surface of the measured gear.A case ofhypoid pinion indicates that the variation in the runout iterations gets less than one-tenth of thetolerance value of grade one for the measured bevel gear，showing the reliability of the mode1。

Keywords：bevel gear；runout；pitch deviation；quadric surface锥齿轮 径 向跳动是生产 中常用 的检测项 目之-，其产生的原因主要是偏心、圆度误差 、轴向跳动、齿面形状误差 、周节偏差和齿厚偏差[1 等 。目前 ，齿轮测量中心的普遍应用提高了齿轮检测效率和准确度，可以直接利用测得的周节数据来评价径向跳动 。]，这样就无需在齿轮径向跳动测量仪上进行单项检测，因此大大缩短了齿轮的检测时间。现有的齿轮测量中心都具有锥齿轮径 向跳动的评价功能 ，但各制造商都没有公开处理径向跳动的方法。石照耀等人提出了用切平 面代替被测锥齿轮的齿面 ]，但切平面显然与实际的锥齿轮齿面差别很大 ，因此处理结果与实 际情况差别较 大。Guenther提 出了用圆柱面近似代替锥齿轮齿面L3]。螺旋锥齿轮的齿面-般都是扭曲的，特别是应用普遍的、传动比较大收稿 日期：2012-12-06。 作者简介 ：杨羽(1988-)，女，博士生；毛世民(通信作者)，男，教授，博士生导师。 基金项 目：国家科技重大专项资助项 目(2011ZX04016-031，2012ZX04012-O32)。

网络出版时间：2013-05-29 网络出版地址：http：∥/kcms/detail/61.1069.T.20130529.0918.001.html西 安 交 通 大 学 学 报 第 47卷的螺旋锥齿轮副的小轮齿面的扭曲程度更大，另外螺旋锥齿轮的凹面由双曲点构成，所以用圆柱面代替虽然相对用平面代替较为准确，但误差仍然较大。

为了客观准确地评价锥齿轮径 向跳动 ，需要建立准确的被测齿轮模型。理论上可以直接利用在齿轮测量中心上测得的锥齿轮齿面的三维模型来处理径向跳动，在不影响径向跳动处理精度的前提下，考虑到实际应用的方便性，本文提出了采用二阶曲面近似地代替被测锥齿轮齿面的方法。由于只涉及到测头与齿面接触点附近的齿面，因此用二阶曲面代替该齿面可以满足测量精度的要求。在计算径向跳动时，为了使测头与齿面的接触点在齿高方向旧能和周节测量点在同-个高度上，本文还提出了-种测头直径的确定方法，通过实例分析计算表明，本文提出的锥齿轮径向跳动处理方法准确可靠，并具有实用价值。

1 传统径向跳动测量方法锥齿轮径 向跳动 F 是指测头相对齿轮 回转轴线在垂直于节锥母线方向的最大变动量，测量时测头与齿面中部接触5]，如图 1所示。

：节锥角；R ：中点锥距；d：测量直径；L：测头中心到测量锥顶点的距离图 1 传统测量径向跳动示意图传统检测锥齿轮径向跳动是在齿轮径向跳动测量仪上进行的，测头 的运动轨迹在-个与节锥母线垂直且过齿宽中部的锥面上 ，称为测量锥 (见图 1)。

测量时，被测齿轮可以绕自身轴线自由回转，移动测头使之沿着测量锥的母线伸入齿槽并与 2个齿面同时接触。测头伸人第 1个齿槽时，指示表归零，然后，测头逐次伸入后面齿槽时，指示表显示当前齿槽的L值相对第 1个齿槽 L值的变化量。在齿轮旋转-周的过程中，指示表读数的最大值与最小值之差为 F ，如图 2所示。传统检测径向跳动时需要专用的径向跳动仪，安装调整较为费时，因此延长了齿轮的检测周期，增加了成本。

误蓉为0的位鼹图 2 测量径向跳动原理图2 利用周节偏差处理径向跳动目前 ，检测齿轮大多在齿轮测量中心上进行 ，利用测得的周节偏差计算出径向跳动，无需在传统的径向跳动仪上单独进行。传统检测径向跳动时，测头依次伸人每个齿槽并与齿槽的两面同时接触，且测头球心的轨迹在测量锥上，因此可以模拟传统方法进行虚拟测量，计算径向跳动。虚拟-个球形测头依次伸人每个齿槽中，与齿槽的两面同时接触，并且约束测头球心在测量锥上，对于每个齿槽，求出-个 L值，则L的最大与最小值的差为径向跳动。

2.1 建立精确的齿轮模型若进行可靠的虚拟测量，需要建立精确的齿轮模型 。在齿轮测量中心上 ，由于 已测得周节测量点的坐标，因此可将实际齿面绕轴旋转至实测周节测量点的位置，来建立被测齿轮模型，如图3所示。由于测量齿面拓扑误差时不可能将所有齿面全部测完，所以而无法得到所有齿的真实齿面数据，因此本文用理论齿面来代替真实齿面。锥齿轮的齿面参数很复杂，不能用解析式来表达，只能用-系列的网格点来定义。文献[6]提出的用非均匀有理 B样条曲面来拟合齿面，需要在整个齿面的大范围进行处理，因此较为耗时。由于虚拟测量在处理径向跳动时只受测头与齿面接触点 附近 区域齿 面的影响 ，只需要图 3 齿 面旋转 到实测位置 的齿轮模型http： f http：fzkxb.xjtu.edu.cn第 7期 杨羽，等：利用周节偏差处理锥齿轮径向跳动的新方法知道接触点附近区域的齿面，因此可以只建立接触点附近的精确齿面模型 。

对于建立的测头与齿面接触点附近区域的齿面模型，可以用切平面近似代替锥齿轮齿面计算出径向跳动[4]，但用平面代替曲面时，其数学模型的误差较大，因此可以用圆柱面来近似代替锥齿轮的齿面[3]。由微分几何[7]知识可知，圆柱面上的点为抛物点，用成形法加工的螺旋锥齿轮的大轮凹、凸面均为抛物点，用圆柱面代替可保证-定的精度，但对于用螺旋成形法和展成法加工的螺旋锥齿轮的大轮，以及用展成法加工 的小轮 ，其凸面均为抛物点 ，凹面均为双曲点，因此在上述情况下用圆柱面代替凹面齿面模型不够精确。

本文提出的建立齿面模型的方法，是采用二阶曲面来近似代替测头与齿面接触点附近区域的齿面，由于二阶曲面既能表示抛物点，又能表示双曲点，因此可准确地描述凸面和凹面，具体步骤如下。

2.1.1 理论齿面的二阶曲面 如图4所示，建立齿轮坐标系0XyZ，以左旋齿轮-个齿槽的凸面为例，以齿面上周节测量点 s为原点，建立了曲面坐标系0sX y Z 。Z 轴是通 过 os点 的齿面法线 ，X 、y轴在 0s点的切平面上，X。轴沿齿长方向，y 轴沿齿高方向。根据微分几何曲面理论，在二阶精度范围内，齿面在 。s点的邻域可近似为二阶曲面[8]，在0sX y 坐标系下的方程式为1 1Z -f(X ，Y。)寺 x 厶 x y 寺厶厶 厶(1)亦即1 1Z -÷忌 x Z'zx Y -去-是 y： (2)厶 厶式中： 、厶 及， 分别为f(X。，Y )对 X 、y 的二阶导数及混合导 数；k 、愚 分别 为曲面在 X 、y 方向的法曲率；l'x为 x。方向的短程挠率。本文用式(2)表达的二阶曲面来代替被测理论齿面。

z(a)三维视 图 (b)YZ平面视 图图4 齿轮坐标系与曲面坐标系示意图2.1.2 根据周节偏差建立的齿轮模型 将用二阶曲面代替的齿槽凹、凸面转换到 OXYZ坐标系下，然后绕 Z轴旋转至实测周节点位置，其他齿槽同理旋转至相应的实测周节点位置，得到被测齿轮的近似模型 ，如图 3所示 。

2.1.3 检验二阶曲面的精度 通过解约束接触方程可以得 到测 头与齿 面 的接 触点 T 的位 置和 F值。理论齿面上与 T点有着相同(x，(y Z。)1/2)的点 T0，以 丁0为原点再次建立二阶近似 曲面，求出新的接触点 丁 ，并如此迭代，如图 5所示。同时，在迭代过程 中检 查 Fr的变 化量 △F 是否小 于设定值，本文设该值为所测齿轮径向跳动的-级精度公差值的 1/10，当 △F 满足要求时，停止迭代。

sV- O .5dC0 C0S L ㈤ sa f ls - O .5dCO S j cos口 f支http：/ http：//zkxb.xjtu.edu.cn西 安 交 通 大 学 学 报 第 47卷的凹面螺旋角和凸面螺旋角。取球形测头的半径R - (4) P，PP ：凹、凸面的周节测量点； 、11x：测头与凹、凸切平面的接触点图 6 确定测头直径的示意图2.3 测头与齿面的约束接触方程测量径向跳动的过程可看作是齿轮不动，球测头沿着测量锥在运动，这样每个齿槽与凹、凸面能够同时接触 ，如图 7所示。每对 L、 对应-个测头球心的位置，确定出测头球心在每个齿槽的位置，即可计算出径向跳动。

0：测头球心；H：测量锥顶点到坐标原点 O的距离0：测头球心在 YOZ平 面内转过 的角度图 7 虚拟测 量中测头的位 置2.3.1 测头方程 在 OXYZ坐标系下，设 Oo(X。，yo，Z)为测头球心坐标，测头球面方程为(X- X。) (y-Y。)。 (Z- Z。) - R。(5)其中x。- H - Lsin ]Yo- LcosacosO (6)z。- Lc。s sin J2.3.2 解约束接 触方程 在 OXYZ坐标 系下 ，设测头与凹、凸二阶曲面的接触点坐标分别为 T (X ，y ，Z )和 T (X ，Y ，Z )。由于点 丁 和 丁 在 凹、凸二阶曲面上 ，而二 阶曲面的方程已经求出 ，因此Z 和 Z 可分别由 ，(X ，Y )和 厂(X ，Y )表示 。

由于接触点 T 和 T 又在假想测头的球面上，因此满足测头球面方程 ，即(X -X。)。 (y -Y。) (Z -Z。) - R。](X ～X。) (y -Yo) (Z -Zo) -R。j(7)又因虚拟测头 的球面与凹、凸二阶 曲面在接触点 T 、T 同时相切，所以点 T 、T 也是切点。当两曲面相切时 ，在切点处有公 共的法线 ，即凹面在 T点处 的法线 n 与测头球面在 T 点处的法线 N 共线 ，凸面同理 ，如图 8所示。凹、凸面在接触点处的法线向量nv×Nv-0 I (8)，l ×N - 0 J其中测头球面在接触点处的法线向量N - R0- ， 1N - Ro-r J式中：风 为测头球心 向量 ；r 、， 为 凹、凸面接触点向量。式(8)中每-个矢量方程式中有 2个方向是独立的，与式(7)联立方程组，共有 6个独立方程，6个未知量(L， ，x ，y ，x ，Y )♀方程组求出虚拟测头在该齿槽的位置，即可求出接触点位置和 L。

0图 8 二阶曲面与测 头球 面在接触点处 的公龚线2.3.3 计算径向跳动 当用二阶曲面代替理论齿面的精度达到要求时，求出每个齿槽的 L，其最大值与最小值之差为 F 。

3 实 例以-个展成法加工的准双曲面齿轮小轮为例，建立球形测头沿测量锥与齿槽两面同时接触的数学模型，利用周节偏差求出径向跳动。

已知该齿轮的理论周节测量点的零阶、-阶、二阶值，以及在测量中心测得的周节偏差、被测齿轮的参数如表 1所示 。

http：//WWW.jdxb.Cl' http：//zkxb.xjtu.edu.cn第 7期 杨羽，等 ：利用周节偏差处理锥齿轮径向跳动的新方法表 1 齿轮的基本参数旋向齿轮齿数外 圆直径 /mm中点螺旋角/(。)平均压力 角/(。)轮冠 至交错 点距离/mm根锥顶点至交错点距离/ram面锥顶点至交错点距离/ram大端锥距/mm齿宽/mm节锥角/(。)顶锥角/(。)根锥角/(。)3.1 建立齿轮模型如图 9所示，凹面与测头接触点附近区域的近似二阶曲面如下Z - 0.001 132 5X - 0.007 09X Y -0.007 507Y (10)同理，凸面的近似二阶曲面为Z -- 0.003 336X - 0.006 258X Y -0.011 628 5Y (11)(a)凹面(b)凸面图 9 近似二阶曲面的凹面和凸面根据 ANSI/AGMA 2009-B01标 准，被测 齿轮径 向跳动的-级精度 的公差为 5.75 fm，经过 3次迭代，最终迭代结果中的 F 与上-次迭代结果的差值 △F F7- ～ ，为 5.418 1×10-fm，小于-级精度公差的 1/10，具体数值如表 2所示。凹、凸面的近似误差值 为接触点 T与理论齿面上 T。在法线方向的误差值，表 2中的 值取自图 2中误差最大的齿槽 3∩见，虽然用二阶曲面来近似代替理论齿面，但近似的误差很微小，因此可以满足径向跳动的精度要求。

表 2 二阶曲面的近似误差根据周节偏差(见表 3)，将近似的二阶齿面旋转至周节测量点的实测位 置，得 到被测 齿轮模型 。

用切平 面法确定测头半径为 10.6 mm，经验证 ，此方法确定的测头半径，可以保证测头与凹、凸面的接触点沿齿高方向与周节测量点基本在同-个高度。

3.2 虚拟测量计算径向跳动通过求解测头与齿面的约束接触方程，来确定每个齿槽的L值，如表 3所示。L的最大与最小值的差为 35.7/.tm，即为该齿轮的径向跳动。

表 3 每个齿槽的周节偏差及 L值齿槽序 号单周节偏差/ram凹面 凸面L/mm1 0.000 O02 --0.024 383 - O.O15 784 - O.Ol1 695 - 0.020 056 - O.O27 137 - O.O24 238 - O.O27 609 - O.O32 331O - O.O31 120.000 000.044 170.024 240.030 28O.033 450.O37 49O.O38 67O.O37 520.042 060.028 694 结 论本文针对在齿轮测量 中心上检测锥齿 轮、利用周节偏差计算径向跳动的算法 问题，提出了用二 阶曲面代替锥齿轮 凹、凸 面，用切平面法 确定测头尺寸，来建立实际齿轮和假想测头的数学模型，通过对被测齿轮进行虚拟测量，计算出了径向跳动。采用本(下转第 79页)http：f http zkxb.xjtu.edu.cnl 5 6 i 旋 朋 m。 们 左O 6 9 4 7 4 9 O 8 8 2 7 6 5 2 7 5 2 5 7 9 2 1 1 1 l l 1 1 2 9 O O O O 0 O O O O 6 7 7 7 7 7 7 7 7 76 6 6 6 6 6 6 6 6 6 第 7期 刘丽娟，等：Ti-6AI-4V合金的修正本构模型及其有限元仿真 79[7][8][9][10]vestigations on the effects of multi- layered coated in-serts in machining Ti-。6A1-。4V alloy with experimentsand finite element simulations[J].CIRP Annals：Manufacturing Technology，2010，59(1)：77-82。

程国强，李守新.金属材料在高应变率下的热粘塑性本构关系 EJ].弹道学报，2004，16(4)：18-22。

CHENG Guoqiang，LI Shouxin.A thermo-viscoplasticconstitutive model of metallic materials at high strainrates[J].Journal of Ballistics，2004，16(4)：18-22。

彭建祥，李大红.温度与应变率对钽流变应力的影响口].高压物理学报，2001，15(2)：146-150。

PENG Jianxiang，LI Dahong.The influence of tern-perature and strain rate on the flow stress of tantalum[J].Chinese Journal of High Pressure Physics[J]。

邹静，钟伟芳.形状记忆合金的多维本构关系EJ].固体力学学报 ，1999，20(2)：171-176。

ZOU Jing，ZHONG Weifang.The multi-dimensionalconstitutive relations of shape memory aloys EJ].Ac-ta Mechanica Solida Sinica，1999，20(2)：171-176。

李海涛，彭向和，黄尚廉.形状记忆合金 的-种基于经典塑性理论的两相混合本构模型 [J].固体力学学报 ，2004，25(1)：58-62。

LI Haitao PENG Xianghe HUANG Shanglian.A con-ventional plasticity based two-phase constitutive modelfor shape memory aloys[J].Acta Mechanica SolidaSinica，2004，25(01)：58-62。

[11]LINDHOLM U S.Some experiments with the splitHopkinson pressure bar[J].Mech Phys Solids，1964，12(3)：17-35。

r12]ANDRADE U R，MEYERS M A，VECCHIO K S，eta1. Dynamic recrystallization in high-strain， high-strain-rate plastic deformation of copper E J].ActaMetall Mater，1994，42(31)：83-95。

[13]杨曼娟.ABAQUS用户子程序开发及应用 [D].武汉 ：华中科技大学 ，2005。

[14]MARUSICH T D，ORTIZ M.Modeling and simula-tion of high-speed machining rJ].International Journalof Numerical Methods in Engineering，1995，38(21)：3675-3694。

(编辑 葛赵青)(上接第 61页)文方法对准双曲面齿轮的小轮进行实例分析，结果表明：与传统方法相比，缩短了齿轮的检测时间；与切平面近似法和圆柱面近似法相比，提高了近似曲面的精度，可以更准确地建立虚拟测量的数学模型，- - 从而提高了评价结果的可信度。