基于空间啮合理论的倾斜式双滚子包络环面蜗杆实体建模

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doi：10.3969/j.issn.1673-159X.2013.04.013Solid Modeling of Non·-parallel Double-roler EnvelopingHourglass W orm based on Space Engagement TheoryLIU Zai.xin ，TANG Hao ，YANG Long.xiang(1.School of Mechanical Engineering and Automation，Xihua University，Chengdu 610039 China；2.School ofManufacturing Science and Engineering，Sichuan University，Chengdu 610065 China)Abstract：Non-parallel double-roler enveloping hourglass worm gearing was proposed based on the research of non-backlash doub-le-roller enveloping hourglass worm gearing and rolling cone enveloping hourglass worm gearing.By analyzing the working theory ofgearing，the dynamic and static coordinate system based on worm gear pair and the moving coordinate system based on the roler wereestablished.The relevant coordinate transformations were deduced，the contacting line and spiral line equations of tooth surface wereatained according to space engagement theory.The simulation was conducted using software MATLAB.The study provided an impor-tant theoretical basis for the next research of non-parallel double-roler enveloping hourglass WOITI1 gearing。

Key words：hourglass worm；moving coordinate system；contacting line；meshing equation现代传动技术对蜗杆传动的侧隙要求越来越高，因此，研究开发-种能同时适应高精度、大载荷要求的无侧隙齿轮传动装置具有重要的工程意义。

学者们针对无侧隙或齿侧间隙可补偿的蜗杆传动问题开展了-些研究 I9 J：双导程圆柱蜗杆传动要设计专用刀具，通用性差，成本高；正平面-次包络环面蜗杆传动容易产生根切，传动效率低，齿面磨损严重；侧隙可调式变齿厚蜗杆传动齿面严重、效率偏低、齿面接触刚度不足，无法实现齿侧间隙的完全消除；双蜗杆传动无法使用标准刀具，通用性差，成本高；无侧隙双滚子包络环面蜗杆传动润滑角和自转角均不理想，直接影响整体传动性能；双电机驱动系统只能消除电机到负载之间传动链的间隙，无法消除负载内部传动链的间隙；改变啮合中心距会使齿面接触情况变差，不利于长久保持蜗轮的精度，容易使蜗杆曲线歪斜。

本文研究的是倾斜式双滚子包络环面蜗杆传动n引。该传动是综合了精密传动和动力传动的新型蜗杆传动，既具有蜗杆传动的优点，又具有无侧隙、接触性能好、效率高的特点，能够用于高精度数收稿 日期：2012-09-29基金项目：国家 自然科学基金项 目(50775190)；四川省自然科学基金项 目(12ZA284)。

作者简介：柳在鑫(1978-)，男 ，副教授，博士研究生 ，主要研究方向为机械传动。E-mail：zhanxinliu###tom.corn西华大学学报 ·自然科学版控机床上的精密分度、精密传动和精密动力传动。

1 传动的工作原理倾斜式双滚子包络环面蜗杆传动由滚子蜗轮和环面蜗杆构成，如图 1所示。蜗轮由2半个蜗轮同轴安装组成，如图 1(a)所示，每半个蜗轮上的滚子均与蜗轮中间平面偏置-定位置 c ，如图1(b)所示。蜗轮齿由滚动轴承组成，可绕自身轴线转动，从而将蜗轮副啮合齿面间的滑动摩擦变成滚动摩擦，减小摩擦功耗。蜗杆左、右齿面分别与2半个蜗轮相啮合。单排滚子与蜗杆齿面之间存在-定齿侧间隙，保证了传动的正常工作，但对整体而言，通过自动消隙装置调节2半个蜗轮轮体的相对错位角度 ，使滚子与蜗杆齿面始终保持接触，消除了传动的回程误差，从而实现零侧隙传动。

(a) (b)图1 蜗轮结构图2 坐标系的设置及坐标变换2.1 坐标系的设置～. - - 上图2 坐标系的设置如图2所示，建立蜗杆的静止坐标系 Js (0 ，， ，k )及固连于蜗杆的动态坐标系 5 (0。，i。，J ，k )，建立蜗轮的静止坐标系 (0 ：，i ：，J ，k ：)及固连于蜗轮的动态坐标系S：(0 ， ：，J2，k )。

S 1(0 。，i 。， 1，k )、.s 2(0 2，i 2， 2，k 2)分别为蜗杆和蜗轮的静坐标系；5 (0 ，i ， ，k )、Js (0：，i ，J2，k )分别为蜗杆和蜗轮的动坐标系；S。(i。，Jo，k。)为蜗轮齿顶与蜗轮固联的坐标系，0。点在 s(0：，i：， ：，k )中的坐标为(a。，b：，c：)。图2中，Cz为滚子偏距； 为滚柱回转轴线与蜗轮径向夹角；为蜗轮齿周角；A为传动中心距；k 。、k'2分别为蜗杆和蜗轮的回转轴； 、 分别为蜗杆和蜗轮的转角，当 0时，蜗杆和蜗轮的动静坐标系重合。

2.2 活动坐标系S 的设置～ -、 - - - /、 ei， ～ 、～ 、、图3 柱面上活动标架的设置如图3所示，在接触点 P处设置活动坐标系( ，e ，e：， )，则滚柱面在坐标系 So中向量方程为：r0 xoioydozok00Rcos 0YoRsin 02.3 So-.s 的坐标变换由图2所设置的坐标关系，可得 .s。-Ls。的坐标变换关系为( 1，Y1，z1，1) ： 10( 0，Y0， ，1) (2)式中：M 10 0 -sin 1M1：D。D -D2D6M.1 D1D6D2D4M.1：Aeos -D6a2D4b2-c2sin 1 - COS 1 D2D3-D1D5 - D1D3-D2D5 D3a2-D5b2-c2cos l-Asin 1 -D2sin 2-D1COS 2M D1sin 2-D2COS 2 -62sin 2-b2COS 20 4 0 4 O 4 0 4O 1 0 1 O l 0 1 鸩、、、 / 、、 ，/～ f ， / - 第4期 柳在鑫，等：基于空间啮合理论的倾斜式双滚子包络环面蜗杆实体建模 55 M4'O M41 01D1sin otsin rCOS OLEOS rD2sin OeO$r-co8 otsin rD3sin 1cos 2D4COS 1 sin 2D5 sin 1 sin 2D6 cos 1(30S 22.4 相对速度、角速度在活动坐标系中的投影由齿轮啮合理论[11可知两共轭齿面在啮合点P处的相对速度 ， 在 Js 中表示为：l， B1i2 2B3k2B1-(C2 )COS 2i21(b2Y02)B2(c2Z02)sin 2-i21(02戈02)B3-(62Yo2)sin 2(02 02)COS 2-A02 yoD2-Z0D1Y02 yoD1z0D202 0(3)由齿轮啮合理论 挖 可得到相对速度矢量 l，挖在活动坐标系 S 中的表达式为：l， 2 P1 P2 ： 2 Jl(12)BlD2COS 0B2DlCOS 0-B3sin 0 -B1D1B2D2zJ B1D2sin 0B2D1sin 0B3COS 0(4)(12)、 、 即为相对速度矢量， 在活动坐标系5 中的投影。

由齿轮啮合理论 可以推导得到相对角速度矢量 ∞ 在 S 中的表达式为： 12)P1 P2 ： ，1 ]挖 -D2sin 2cos -D1c0s 2c0s 0/'21 sin 0ID1 sin 2-D2cos 2 l∞： -D2sin 2sin 0-D1CO8 2sin 0-/'21(308 0 J(5)∞ (12)、∞ 、 即为相对角速度矢量∞ 在活动坐标系.s 中的投影。

3 啮合方程与蜗杆齿面方程3.1 啮合函数与啮合方程由母面(即滚柱面)上接触点P的活动标架s可知，n轴为母面与蜗杆齿面的公法矢，接触点 P处的相对速度矢量 l， 在 .s 中沿母面与蜗杆齿面的公法矢投影即得到该传动的啮合函数为： 佗 M1cos 2g2sin 2M1 -。2D2sin 002cos 0-uD1COS 0C2D1 sin 0-b2COS 0-uD2COS 0M3i21 sin osin 0(b2COS -口2sin )-2lCOS esin 0(b2sin OJ2COS 7)-Aeos 0i2usin 0(6)在蜗杆传动中，两齿面在接触点的相对运动速度 l 必然和公法矢量 ，l相垂直，即两齿面沿接触点的公法矢量方向无相对运动，必须满足啮合方程。由啮合函数可得到此蜗杆传动的啮合方程为 Mlc0s 2M2sin 2鸭 0 (7)为了便于应用，从式(7)可得到满足啮合方程的点的母面参数 和0之间的函数关系： ， 2)Pl/P2P1(0，2CO8 0-c2 sin O)COS 2(C2D1 sin 0-b2(308 O)sin 2 21sin otsin o(b2cos -口2sin )-l'21eO$otsin o(b2sin 0，2cos )-Ac0s 0P2D1COS Oeos 2D2COS Osin 2-i21sin 0(8)和 0之间的函数关系亦可表示为：唔0 M， )P3/P4 A-c/，2eo$ 262sin uD130S， 2uD2sinP4c2D1sin -C2Dzcos 21sin (62cos -02 sin )-i21cos (62sin Ⅱ2COS y) 21(9)3.2 蜗杆齿面方程由啮合原理 可知，母面运动时，每个瞬时母面与包络面都有接触线存在，包络面由无限多接触线集成；所以，通过坐标变换可得到滚柱面包络的环面蜗杆的齿面方程为：，1 1i1y，/1E，1k11 1101‰ 120 Y1 01 0J7I y0 J7lz1M3101 0M yoM3lO M ：roxoi0ydozok0MP1/P22i2 (10)在式(10)中，当给定-个 。值，就得到蜗杆齿面上的-条接触线。当 值连续不断变化，就得到- 族接触线，也就是蜗杆齿面。

由式(10)可得蜗杆齿面螺旋线方程可表示为：第4期 柳在鑫，等：基于空间啮合理论的倾斜式双滚子包络环面蜗杆实体建模 575 结论本文建立了倾斜式双滚子包络环面蜗杆传动的空间啮合模型，推导了蜗轮齿面啮合方程和相关计算公式，运用 MATLAB软件进行了数值仿真，并利用Pm/ E软件建立了蜗杆的数字化实体模型，为倾斜式双滚子包络环面蜗杆传动的几何特f生研究、相关啮合参数的优化设计、传动副的承载能力及润滑状态分析等后续研究工作提供了重要的理论参考。