非线性静力分析的分段计算法

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Subsection calculation method of nonlinear static analysisZHAO Feng，SONG Shao-yun(School of Mechanical Engineering，Wuhan Polytechnic University，Wuhan，430023，China)Abstract：The simplifed calculation methods of nonlinear static analysis are studied，and subsection method isproposed.At first，the external load is calculated when it is at the yield limit of material，the calculation of externalload is divided into two stage.First stage，is to use linear elasticity to calculate a load step.Material nonlinear iscalculated after a period of progressive loading.By using traditional method and the subsection method，anautomobile handbrake is calculated by ANSYS WORKBENCH simulation platform，and the results show that thecomputation efficiency is improved by 67% through subsection calculation method at the premise of accuracy。

Key words：nonlinear；finite element；static analysis；section calculation method在对某铝合金材料汽车手刹进行有限元分析过程中出现了应力超过了铝合金屈服极限的情况，即材料发生了弹塑性变形，在此情况下传统的计算方法直接将外力载荷平均分为若干段，逐步增加载荷后进行计算，这种计算方法耗时太长。

将计算分段为两个载荷步。第-个载荷步内把屈服极限之前的计算当作线性行为，只划分-个载荷子步；第二个载荷步，对于超过屈服极限的部分，划分为多个载荷子步计算。经过研究表明，相对传统计算方法而言，该法计算精度基本相当，而计算效率提高了67%。

1 材料非线性的有限元解法大多数工程实际中，实际结构的位移与载荷是呈非线性关系的，这样的体系称为非线性变形体系。

作者简介：赵峰(1987-)，男，硕士研究生，E-mail：13476797287###163.tom。

通信作者：宋少云(1972-)，男，副教授，博士，E-mai：songshaoyun###whpu.edu.ca38 武 汉 工 业 学 院 学 报 2013正如果体系的非线性是由于材料应力与应变关系的非线性引起的，则称为材料非线性，如材料的弹塑性、松弛、蠕变等。如果结构的形状、位置使体系的受力发生了显著的变化，以至不能采用线性体系的分析方法时就称为几何非线性，如结构的大变形、大挠度等。还有-类非线性问题是边界条件非线性，或接触非线性，如各种接触问题等。本文只讨论材料非线性问题的有限元解法。

材料非线性问题的处理方法 ，通常不必修改整个问题的表达式，而只需将应力-应变关系线性化，求解-系列的线性问题，并通过某种校正方法，最终将材料特性调整到满足给定的本构关系，从而获得问题的解。

非线性问题用有限元法离散化得到如下形式的- 组代数方程 ： (6)-P( )f[ ( )]6F。

虽然线性方程组[K( )] f0直接求解并无困难，但对于方程组，单元刚度矩阵是单元节点位移向量的函数，直接求解就行不通。非线性方程组的解法有很多，例如，Newton-Raphson法、增量法、Euler法、混合法等，基本思想都是以反复地进行迭代求解线性方程组去获得满足-定精度要求的非线性方程组的解 。

Newton-Raphson算法以增量形式逐渐施加载荷，在每-个载荷增量中完成平衡迭代来使得增量求解达到平衡。在每次求解前 NR算法估算出残差矢量，这个矢量是回复力(对应于单元应力载荷)和所加载荷的差值，然后使用非平衡载荷进行线性求解，并且检验收敛性。如果算出的结果不满足收敛准则，重新估算非平衡载荷，修改刚度矩阵，获得新的解。持续进行这种平衡迭代，使该问题得到收敛，如图1所示。

式中，KT-切线刚度矩阵D.-位侈增量F-外部载荷向量F -内部力向量- 直进行迭代，直到F-F 在允许误差范围内。

FF图1 Newton-Raphson算法2 分段计算法的基本思想对于非线性求解-般有三个操作递进级别：载荷步、子步、平衡迭代 。假定载荷在载荷步内是线性变化的，在给定时间范围内直接进行载荷步计算；每-个载荷步的子步内，通过子步或者时间步的逐步加载可以控制 ANSYS内部程序来执行多次求解；每-个子步内，将进行-系列的平衡迭代获得收敛的解。为了达到更好的精度，需要设置更多的子步，这导致花费的分析时间也随之而增加。所以在设置更多的子步时，需要考虑精度和时间之间的平衡。ANSYS内部程序通过两种方法控制子步数，第- 种是指定子步数或者指定时间步长；第二种是自动时间步长。-般的计算方法是将施加的载荷进行均分，每次缓慢的增加-定载荷，直到达到最终的载荷值。这种方法虽然精度较高，但需要分成很多的子步进行计算，需要分析的时间很长。

通过线性计算初步确定到达屈服极限的载荷值，将这个载荷值作为分界点。从零到分界点这个过程，材料没有发生塑性变形，进行线性分析，载荷步分为- 个子步；从分界点到最终的载荷值，这个过程材料发生了塑性变形，将载荷进行均分，设置为多个子步，每次缓慢增加-定的载荷，直到最终的载荷值。

这种方法迭代次数比-般的方法少很多，计算速度也相应的提高 。

3 分段计算法的实例分析下面以某公司汽车手刹为例来进行静力分析，在保证计算结果精度相同的情况下，比较两种不同分步载荷计算方法。

武 汉 工 业 学 院 学 报 2013正2，O堪O21.5OE-O21.O0E )2S.O堪o3O.Oa oo- 5.O嚏 o3恁照点谩麓睾图7 危险点两种计算方法的误差曲线为了查看其它点的情况，这里在操作臂上任选- 个点，按照 998号点同样的方式绘制出两个曲线图(分别见图8和图9)。

槐 I节j妻盅力时匍历曩对比舶 ZO镰 .-伽 .∞ 酗 t ∞ 1.O瞳 1.硝 L柏 B∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 婚 /图8 任意点的应力的时间历程曲线对 比图7211节盘鸣簟1 4 7 lO l3 16 19 22 25 28 31 337 4O图9 任意点两种计算方法的误差曲线从上述四个图可以发现，分段计算方法和-般计算方法后半段基本重合，而应力的误差基本可以忽略不计。分段计算法在外力 0到 800N过程中，用-步”计算，而-般计算方法用了80步计算，省去了前面的计算步数，节省了分析计算的时间。也就是说在保证计算精度的前提下，分段计算方法提高了计算效率。

经过对比：传统的计算方法分析计算的最大应力 388.4 MPa发生在操作臂上，分析所用时间 280min；分段计算法分析计算的最大应力392.3 MPa也发生在操作臂上，分析所用时间 120 min；在保证精度相同的情况下，分段计算法将时间效率提高了67% 。