高速球轴承非线性方程组的变尺度微粒群算法及应用

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Variable Scale Particle Swarm Optimization Algorithm and Application ofNonlinear Equations for High--Speed Ball BearingsSun Bei-qi，Yu Xiao-kai，Yang Hu，Xu Jun，Qu Chi-flei(Luoyang Bearing Science＆Technology Co.，Ltd.，Luoyang 471039，China)Abstract：A kind of variable scale particle swarm optimization algorithm is put forward to solve nonlinear equations withsignificant diference of roots by combining the advantages of variable scale method and particle swaNn optimization al-gorithm.The method is applied to calculation of typical equations and high-speed characteristics of ball bearings withhi曲ly coupled muhiple parameters.The result shows that the effectiveness and high reliability of the algorithm。

Key words：rolling bearing；nonlinear equations；mutative scale；particle swarm optimization在科学技术和工程应用中，如机械设计、固体计算力学、天气预报及控制领域等非线性方程组的求解仍是难题之- 1j。N-R算法存在收敛性依赖于初值，不适的初值将导致算法失效；N-R的修正形式虽扩大了收炼围，但惯性因子难以选取，往往收效甚微；非线性方程组的区间Newton算法虽然具有收敛性不依赖初值，较点 Newton算法具有更好的全局收敛性，且具有事后误差的估计功能，但区间迭代程序的计算量要比点迭代大很多，实用效果不好。

为此，需要找到-种应同时具有全局收敛性和收敛性不依赖于初值特性的算法。以往的研究中，将粒子群算法与混沌计算相结合 ]，或应用遗传算法 进行了广泛研究并取得了很多成果。但是，以上各种算法仅适用于求解-般的非线性方程组，而在求解根差异大 (如 x [10 000。2，收稿日期：2012-11-19；修回日期：2012-12-260.03])的非线性方程组时，各种微粒群算法均存在种群多样性及早熟问题，特别是在求解大根差异的高速球轴承非线性方程组时更是如此。因此，探索微粒群算法在大根差异高速球轴承非线性方程组的改进形式具有重要意义。

下文把非线性方程组转化为智能优化问题后，通过尺度变换保持了极小值点在新坐标系中的相对位置，改变了群体的期望输出，从而彻底改善了微粒群算法在种群多样性不适时易陷入早熟的问题。

1 微粒群算法对根差异大的不适应性分析设优化问题表述为minf(x)/ 。， ，， )， (1)其中，X∈S c R ，(Js为约束域； 为n维有理数集合)。

微粒群算法(PSO)[4 3是通过某种群体搜索现《轴承)2013.№.6象的简化模拟而设计的，每个微粒的学习进程由个体认识和社会认识两部分组成。当每个微粒在个性和社会性之间达到-定的平衡时，每个微粒才能不断从群体环境中获取足够多信息来调整自身的行为 J。因此，如果想从根本上改善微粒群算法的性能，就应当从个体认识和社会认识去考察算法模型〖虑到优化问题，则可以将 目标问题的全局解视为群体系统的期望输出： 是希望群体在寻优过程中具有个性，以较大概率收敛于目标问题的全局解；二是希望每个微粒不脱离群体，具有-定的社会性，即每个微粒从群体感知有效的群体状态信息并正确调整自身的行为。

根据上述分析，对于函数形式 ，Y) (Y-25 000)。， ，y∈[-50，i00 000](此函数在[ ，Y][0，25 000]时取得最小值)，由于目标函数的期望输出为[0，25 000]，从根本上决定了算法在搜索过程中每个个体的差异性过大，种群多样性过高，使每个微粒不能从群体中感知有效的群体信息来调整 自己，导致算法不能较好地收敛于极小值点。

为此，应改善种群多样性，提高每个微粒的个体认识和社会认识 ，以提高算法的收敛性。

2 变尺度微粒群优化算法2.1 变换原理尺度变换技巧能显著地改进几乎所有极携方法的收敛性质 。对于-般的优化问题minf(x) 1，X2，， )，s.t.X∈S c R 。

如果进行尺度变换X- ，其中卢 卢 00 卢2：0 00 00 00则在新的坐标系中，原优化问题可转化为minf(X)minf(x )ming( )，s.t. ∈ S C R 。

尺度变换没有改变极小值点在新坐标系中的相对位置，因此这种转换是等价转换。这样的变换可以改变群体的期望输出，从根本上改变群体在进化过程中种群的多样性。

应用上述方法时，需先将非线性方程组转化为智能优化问题。

考虑含 n个未知量 n个方程的非线性方程组- 般形式是( 1， 2，， )0( -， ，， n)IJ， (2)( l， 2，， )0其中， (i1，2，，n)为定义在区域D c R 的非线性函数。

将 a： (n。，。 ，，o ) 作为非线性方程组(1)的-组解。构造优化问题的目标函数为( )∑ ( )， (3)r l其中， ( 1，X2，，X ) 。

将求解非线性方程组转化为求解 目标函数极小值。给定目标函数收敛停止标准，在求解区域内搜索a(a。，a ，，a ) ，使得 (a)

2.2 算法的步骤针对上述优化问题，变尺度微粒群优化算法的主要步骤为：(1)调整种群期望输出，利用 目标函数的信息，选取尺度变换矩阵JB，将群体期望输出 转变为 ，优化函数转换为g(X )；(2)初始化种群，依照初始化过程，给定群体规模 ，对微粒群的位置和速度 X ，V 进行初始化设定；(3)计算各微粒的适应值 g(X )；(4)对于每个微粒，将其适应值与所经历过的最好位置P 的适应值进行比较，若较好，则将其作为当前最好位置；(5)对每个微粒，将其适应值与全局所经历的最好位置P 的适应值进行比较，若较好，则将其作为当前的全局最好位置；(6)根据标准微粒群算法进化方程，对微粒的速度和位置进行进化；(7)如未达到收敛标准，则返回第 2步继续计算；(8)利用尺度变换矩阵 进行矩阵反变换，得出原优化问题的解。

3 计算与验证为了验证上述方法的有效性，以下面几个根差异较大的非线性方程组为例，通过计算机仿真评价比较微粒群算法和变尺度微粒群算法的可靠性 。

例 l：孙北奇，等：高速球轴承非线性方程组的变尺度微粒群算法及应用f( -9 999) Y -50I( -9 98)y- T 3x1)0。

例 2：fx -10xl-20 000x2 ；10 0l 1 ；-20 000x1 210。 l-10x2100 0080以上两组非线性方程组的根差异性较大，例 1的精确解X[10 000，2]，例 2的精确解X[10 000，1]。不同方法求解得到的成功率( <10～，算法求解成功)的对比情况见表 1。

表 l 收敛可靠性对比 %以上结果表明，在求解根差异较大的高速球轴承非线性方程组时，变尺度微粒群算法要比基本微粒群算法和拟 Newton算法的成功率高很多，这主要是变尺寸改善了微粒群的种群差异性，增强了每个微粒的搜索能力。

4 算法应用高速球轴承的受载变形(微米级)量和轴承几何参数(厘米级)属于典型的大根差异问题，其参数相互耦合且数量与球数成正 比，应用传统的Newton法与粒子群算法求解均不能得到较好的收敛效果，进而对轴承关键参数，如内、外接触角的计算造成困难。高速球轴承往往用于轴向受载的工况，其计算式 为(A1-X1) (A2-X2) -[(fi-0.5)D 6i] 0，X -[( -0.5)D ] 0，Ki81"5(AI )( -0.5)D 6。 。 (fi-0.5)D 6i(A2 )(fi-0.5)D i AM-gX1 。 (A：- )( -0.5)D 6 ( -0.5)D iA iM s(A1 - )丽 c ，， - - - Z。0- - ( - )Dw- 石 -0，式中：A 为内、外圈沟道沟曲率中心间的轴向距离，A1( fi-1)D sin O/ i，mm；A2为内、夕圈沟道沟曲率中心间的径向距离，A：( -1)D COS ，mm；X 为球心终位置与外圈沟道沟曲率中心在 轴方向的投影，mm； 为球心终位置与外圈沟道沟曲率中心在Y轴方向的投影，mm；为内圈沟道沟曲率(无量纲)系数； 为外圈沟道沟曲率(无量纲)系数；D 为钢球直径，mm；为内圈与钢球中心之间的变形量 ，mm； 为外圈与钢球中心之间的变形量，mm；M 为钢球的陀螺力矩，N·mm；F 为轴承所受的轴向载荷，N；Ki，为载荷 -位移常数；A为套圈控制系数，对于外沟道控制，取Ai0，A 2，否则取AiA 1。

其中A ，A：， 。， ：，6i和6 为未知数，其他参数可由轴承结构参数直接得到或根据转速等条件求得。

利用文中所述方法对 B218轴承的接触角进行求解计算，结果如图1所示。该结果与文献[7]中的数据完全-致，其收敛可靠性达到96%。

图1 轴向受载高速球轴承的计算结果5 结束语在综合分析考虑微粒群算法与变尺度的各自特点后，将变尺度的方法引入到微粒群算法中，增强了算法的优化性能，并用以求解非线性方程组，克服了初始点难确定的弊端，同时提高了算法的-。)/ 谣鲻 璺 Q二 !CN4l-1148/TH轴承 2013年6期Bearing 2013，No.622-25.I工艺与装备风力发电机主轴轴承感应加热装配工艺王洪波，任俊祺，李长春，徐帆，周意普(南车株洲电力机车研究所有限公司，湖南 株洲 412001)摘要：风机主轴轴承装配工艺的合理性直接影响风机的可靠性。以调心滚子轴承为例，以理论计算和试验验证为基础，详述了轴承感应加热工艺中温度设定、温差控制、感应加热器选型、轴承预紧等关键工艺要求及其必要性。

关键词：风力发电机；主轴轴承；装配；感应加热；温差控制；轴向预紧中图分类号：TH133.33 文献标志码：B 文章编号：1000-3762(2013)06-0022-04Induction Heating Assembly Technology for M ain Shaft Bearingsof W ind TurbineWang Hong-bo，Ren Jun-qi，Li Chang-chun，Xu Fan，Zhou Yi-pu(CSR Zhuzhou Institute Co.，Ltd.，Zhuzhou 412001，China)Abstract：The rationality of assembly technology for main shaft bearings of wind turbine directly afects the reliability ofwind turbine.Taking the spherical roler bearing as an example，the key technological requirements and necessity inthe induction heating process of bearings are introduced based on theory calculation and experimental verification，suchas temperature setting，temperature difference control，type selection of induction heater and bearing pretightening。

Key words：wind turbine： main shaft bearing；assembly；nduction heating；temperature diference control；axialpretightening主传动链是风机将风能转化为电能的主要部件，主轴轴承是主传动链的关键部件，因此，主轴收稿 日期：2012-11-01；修回日期 ：2013-01-16作者简介：王洪波(1986-)，男，工程师，主要从事兆瓦级风力发电机装配工艺技术。E-mail：wanghbl###teg.cn。

轴承的性能将直接影响风机发电效率及维护成本。在轴承各种失效形式中，因轴承安装工艺或使用工具不当而导致轴承过早损坏的比例约为16%。因此，采用合理的装配工艺对保证轴承寿命和可靠性很有必要。

通常，为保证轴承能够传递足够的转矩，主轴收敛可靠性与求解精度，经典型方程和典型工程实际问题的求解验证，证实了该方法的正确性和有效性。