滚动轴承-柔性碰摩转子系统非线性动力学响应分析

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DOI： 10.6052/167245553-2013.29目前，针对轴承-转子非线性动力特性的研究主要在滑动轴承转子系统和滚动轴承转子系统两个方面.滑动轴承-转子系统动力分析理论和方法相对完善，而对滚动轴承-转子系统的动力学模型和非线性特性的研究仍需要深入.文献[1-3]最先研究了滚动轴承变刚度非线性振动问题，将对称单盘刚性转子系统简化为受旋转载荷作用的滚动轴承，对系统的非线性振动进行了数值分析，得到了转子系统的超谐波、亚谐波和混沌运动规律；文献[4-6]研究了滚动轴承支承下的平衡转子和不平衡转子的动力学行为，并研究了滚动轴承初始游隙对转子系统的动力学行为的影响.国内也开展了滚动轴承-转子系统非线性振动的相关研究，袁惠群 建立了滚动轴承-转定子碰摩故障模型，但对轴承力做了很多简化，且侧重于碰摩故障非线性分析；袁茹等 依据非线性赫兹接触理论和滚动轴承运动分析，对刚性转子离散模型进行动力学分析；王美令等 以刚性支承下的 Jefcot转子为研究对象，分析了转盘偏置引起的陀螺效应转子动力学特性的影响。

以上对滚动轴承.转子系统动力学的研究多是基于深沟球轴承-刚性转子模型，并且忽略了圆盘陀螺效应对滚动轴承-转子系统非线性响应的影2013-02-22收到第 l稿，2013-04-02收到修改稿国家高技术研究发展计划项目 (2012AA040104)十通讯作者 E-mail：yuan-hq###163.com响.本文充分考虑转子轴刚度、非线性滚动轴承力、不平衡量以及碰摩故障的影响，建立含接触角的滚动轴承-柔性碰摩转子系统动力学模型，采用数值方法分析系统的非线性响应 ，并利用分岔图、庞加莱截面图和频谱图讨论转速、轴承游隙、碰摩刚度以及陀螺效应对系统非线性响应的影响。

1 滚动轴承.柔性碰摩转子系统模型滚动轴承.碰摩转子系统动力学模型如图1。

图 1 滚动轴承-柔性碰犀转子系统动力学模型Fig.1 Dynamic model of ball bearing-flexible rub rotor图1中转子系统两端由相同的滚动轴承支承，质量为分别为 m 和 m ，轴承支反力在 ，Y方向的分量分别为 ， 和 F既， ，不计轴的质量，轴长为Z，轴直径为d，圆盘距轴承A距离为a，圆盘形心为o ，质心为0 ，质量为m ，偏心距为e，转子自动 力 学 与 控 制 学 报 2013年第 11卷转角速度为 ，整个系统受重力的影响。

1.1 非线性滚动轴承力模型假设轴承外圈与外支承之间刚性连接，内圈与转子轴之间刚性连接，滚动体等距排列，滚动体与滚道之间为纯滚动，含接触角的滚动球轴承动力学模型如图2所示。

×f图2 角接触滚动球轴 承动力学模型Fig.2 Dynamic model of angular contact ball bearing假设轴承外圈与外支承之间刚性连接，内圈与转子轴之间刚性连接，滚动体等距排列，滚动体与滚道之间为纯滚动，含接触角的滚动球轴承动力学模型如图2所示.轴承外圈滚道半径为 ，内圈滚道半径为 ，轴承游隙为 。，滚动体个数为 ，设轴承外圈角速度为 。 ，内圈角速度为 滚动体绕轴承中心的公转角速度(保持架角速度)为. 由滚动轴承的运动关系得到 c，。 0， ，则：tO cage- ～tOinRiR (1)oRi - -设 为第 个滚动体角位置，则任意t时刻：Dj-tOcaget )(2)式中， 1，2，3Ⅳ6.该滚动体的接触变形量为：6 XAco YAsinqj- 0 (3)式中， 和 分别为轴承A在 ，Y方向的位移。

考虑到接触力的非负性，当6，>0时表示有接触力产生，当6 ≤O时，表示无接触力产生.由赫兹点接触理论可知，第J.个滚动体的接触力：Q 6f (4)式中，k 为滚动体与滚道之间的赫兹接触刚度。

忽略转子轴向变形，第 个滚动体接触力在和Y方向的分量分别为： 咖 (5) 《 、J， sinq则轴承A非线性滚动轴承力可以表示为：f ：∑ COSOCOS(fjJ (6)： ∑ sinasinvj式中，”表示取括号内的正值.滚动体通过载荷作用线的频率即轴承变刚度振动频率 表示为： --JtoDN ㈩ - 2仃 -2仃(R R )式中 为转子旋转频率， 为 的B 倍，B 为滚动轴承变刚度振动参数。

1.2 碰摩力模型JrDt- /l)- - - / -/图3 碰摩力模型Fig.3 Model of rubbing force假定转、静子之间的碰撞为径向弹性碰撞，转静碰摩间隙为 ，转、静子之间的摩擦系数为 ，转子和静子之间符合库伦摩擦定律，图3为转子局部碰摩力模型.转子圆盘的径向位移 / Y ，其中 ，Y为圆盘形心位移，当 <6。时，不发生碰摩，当 ≥ 时，则碰摩处的正压力P 和切向力 P 分别为：fP kr(6d-6。)IP ： ×P (8)式中，k，为碰摩刚度，如图1所示.碰摩力在 ，Y方向的分力表示如下：fP -k，(6d-60)c0s ×k，( d-6o)sinqPy- ( d- )simp- ×后 ( d- )cos(9)式中，转子角位移 tOt。

1.3 系统动力学模型由柔度系数法，不考虑支承位移轴的柔度矩阵：第2期 梁明轩等：滚动轴承.柔性碰摩转子系统非线性动力学响应分析a(1-a)(1-2a)3删 I 。

- 3 3 J3删 j式中，E为轴弹I生模量，，为轴截面惯性矩，对称转子取a0.51.考虑轴承支承变形时转子的刚度矩阵：： f - 1：- JkI k12 k13k21 k22 23k31 k32 后3k4l k42 k4314 羞(11)式中 二 考虑圆盘对称放置，滚动轴承支承自由度缩减为2个，考虑圆盘位移和陀螺效应系统变成 6个 自由度，利用 Lagrange方程建立系统运动微分方程。

md c kl kj2O/2kl3mde∞ cos(t)尸Jaa 4-ca&4-.，。n k21 k22 0m Acbx k31 k32 k33xAFAmdYAcyknYkl2 2k13YAmdco) sin(tot)P -mdgJ c -J pm纽k21yk2flQm YAcbyAk31Yk31flk3YA -m g(12)式中Ol ，&、 和 分别为圆盘绕 轴的偏摆角位移，角速度和角加速度.不考虑陀螺效应时转子系统运动微分方程为：md c竞 l 2 13 A de∞ cosmtPmA c6 Ak31 k332； FAmycyk1Y2k13YAmdew2sinwtP -， g，nA CbYAk31Yk33Ya FAy-mAg(13)式中， ，Y为圆盘形心位移分量， ，YA分别为轴承位移分量， 为圆盘极转动惯量， 为赤道转动惯量，c，c 和 c8为圆盘处阻尼，c 为滚动轴承阻尼， 为刚度系数，ij1，2，3，4，可由式(11)求得，t为时间，g为重力加速度。

2 滚动轴承-柔性碰摩转子非线性响应分析参数选取：md32 kg，inA4 kg，e10 m，0.7 kg·m ，Jd0.35 kg·nl ，Z0.5 nl，d40mm，a0.5，E 2.09×10MPa， 010 m，R 40.1 mm，R。63.9 mm ，k613.34×10 N/m ，Ⅳ69， 15。；C2100 N·s/m，C61050 N·s/m ，c B1050 N ·s/m，Ij 1×10 N/m，8o55m，/z0.1.系统动力学模型中轴承力具有高度非线性，首先对不考虑陀螺效应时系统运动微分方程组(13)采用变步长四阶Runge-kuta法求解，积分步长取转子旋转周期的1/200，共计算600个周期，润50个周期作为系统的稳态解，将数值解与非线性理论结合分析了系统转速、轴承游隙、碰摩刚度对转子系统非线性动力学响应的影响；然后对于考虑陀螺效应的运动微分方程组(12)进行数值求解，分析了陀螺效应对系统响应的影响。

2.1 转速对系统响应的影响取圆盘形心振幅A：√ Y ，图4为无碰摩时转子振幅A随转速 的分岔图，图5为碰摩时转子形心振幅4随转速∞分岔图。

考虑碰摩时，转速 10 -210 rad/s时系统为拟周期运动，∞210～490 rad/s时系统为单周期运动， 490 rad/s时系统出现 2倍周期分岔，∞ 530-730 rad/s时系统为单周期运动，(E730rad/s系统出现 2倍周期分岔，随着转速逐渐接近转子临界转速 1010 rad/s，系统振幅迅速增加，当∞ 1690-2090 rad/s时，系统做拟周期/混沌运动，之后进人单周期运动状态.对比图4和图5可以看出，无碰摩时，系统临界转速为500 rad/s，碰摩时，(rad.S )图4 无碰摩时系统随 m分岔图Fig.4 Bifurcation plots with∞(UO robbing)-口- .1 Lj156 动 力 学 与 控 制 学 报 2013年第1I卷由于碰摩刚度的存在，转子系统临界转速和共振幅值均有所提高，且碰摩转子运动更为复杂，无论碰摩或者未碰摩时，在 ∞2530 rad/s和 2690 rad/s左右系统振幅均出现了跳跃现象.图 6为 20rad/s时碰摩转子圆盘形心 方向时域波形和频谱图，图7为∞850 rad/s时系统响应图，图8为 ∞ 2800 rad/s时系统响应图。

co/(rad·s。 )图5 碰摩转子系统随 to分岔图Fig.5 Bifurcation plots with to(rubbing)l呐善 ：. 12图6 to20 rad/s时系统响应图Fig.6 Rotor system response when∞ 20 rad/s图 7 to850 rad/s时系统响应图Fig.7 Rotor system response when to850 rad/s图8 ∞2800 rad/s时系统响应图Fig.8 Rotor system response when tO2800 rad/s从图6中时域波形图可以看出，该转速下系统每个波形周期中有小幅振动，这主要是由于滚动体通过载荷区时轴承刚度变化引起的，在频谱图上表现为滚动体通过频率/ 峰值及其谐波，文献[3]的研究也表明，低转速时系统响应为滚动体的通过频率及其谐波，从图5可以看出，该转速下圆盘形心振幅小于碰摩间隙，表明此时系统未发生碰摩.从图7可以看出，当 850 rad/s时系统虽然发生碰摩但碰摩力较小，同时转子转速的增高使系统主要表现为不平衡激振频率 ，峰值及其谐波.从图8可以看出， 2800 rad/s时由于不平衡激励远远大于轴承的变刚度激励和碰摩激励，此时系统做单周期运动。

2.2 轴承游隙对系统响应的影响图9为 1500 rad/s，e20 m时转子圆盘形心幅值随轴承游隙 。的分岔图.可以看出当滚动轴承游隙 。-20～l4 m时系统为单周期运动，且系统振幅受轴承负游隙的影响较小，但随着正的轴承游隙的增加，系统振幅逐渐增大；当轴承游隙 。14 m时系统进入混沌运动.图 10为 18 m时，圆盘形心 方向响应图，可以看出此时系统处于混沌运动状态。

萋O/ m图9 系统随轴承游隙 分岔图Fig.9 Bifurcation plots of the system with 。

图1O 018 m转子系统响应图Fig.10 Rotor system response when o 18鍪 印第 2期 梁明轩等：滚动轴承-柔性碰摩转子系统非线性动力学响应分析 1572.3 碰摩刚度对系统响应的影响图 11为 ∞2800 rad/s时圆盘形心振幅随碰摩刚度k，的分岔图，从图中可以看出当k，1×10。

～ 3.34 X 10 N/m时系统为单周期运动，k，3.34×10 ～4.0×10 N/m时系统为拟周期/混沌运动，k，大于4×10 N/m时系统做单周期运动.图 12为碰摩刚度 k，3.8×10 N/m时系统响应。

量Kr/(N· )x 10图11 系统随碰摩刚度 k 的分岔图Fig.1 1 Bifurcation plots of the system with k，图 12 转子系统响应图F 12 Rotor system response2.4 陀螺效应对系统响应的影响图13为相同参数下考虑陀螺效应时滚动轴承-柔性对称碰摩转子系统随转速 的分岔图。

、垂i(rad·S。 )图13 考虑陀螺效应时系统随co分岔图Fig.13 Bifurcation plots considering gyroscopic effect对比图 l3和图5可以看出，当 <1690 rad/s时陀螺效应对系统的响应几乎没有影响；当不考虑陀螺效应时，∞1690-2090 rad/s系统处于混沌运动，∞2090-2490 rad/s系统为单周期运动，而考虑陀螺效应时 cJ：1690～2490 rad/s系统处于混沌运动状态，这主要是由于当转子转速较高时，转子轴产生高阶非对称弯曲振动，陀螺力矩使对称转子系统圆盘发生偏摆，使系统在 2090-2490rad/s转速范围内依然处于混沌/多周期运动状态。

图14为考虑陀螺效应时转子系统在 2200 rad/s的响应图。

图14 ∞2200 rad/s系统响应图Fig.14 Rotor system response when∞2200 rad/s3 结论1)建立了含接触角的滚动轴承-柔性碰摩转子系统动力学模型，在模型中考虑了非线性滚动轴承力、不平衡量及碰摩故障，采用数值方法分析了系统参数变化对转子动力响应的影响。

2)结果表明，低转速时系统响应主要为轴承滚动体的通过频率及其谐波，转速较高时转子不平衡和碰摩故障对系统的影响逐渐占据主导地位，滚动轴承变刚度振动的影响则相对减弱；当转子转速较低时，陀螺效应对柔性对称转子系统影响非常小，可以忽略不计，但转子转速较高时陀螺效应对转子的非线性动力响应的影响不可忽略。