基于复Morlet小波谱峭度图包络分析算法的改进

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包络分析是目前广泛应用的滚动轴承振动特征提燃术之-，其可以实现对滚动轴承内外圈滚道、滚动体点蚀等早期故障对应的弱冲击信号的有效提取.传统的包络分析在实现上需人为确定共振解调频带并进行相应的带通滤波，再用 Hilbert变换解调处该频段的信号包络.但是滤波中心频率和带宽的选择往往需要有丰富的先验知识及历史数据，否则易造成较大的分析误差.近来提出的基于复 Morlet小波的谱峭度包络分析 J，可以实现根据谱峭度值 自动获得优化的包络频带，较传统方法有显著优势.但当前算法中存在带宽计算不准确，覆盖频带不-致等不足.本文在该理论的基础上，提出了-种提高其计算精度的方法，并在试验中得到验证。

收稿 日期：2012-09-24.基金项目：教育部留学回国人员科研启动基金(教外司留[2009]1590号)；云南侍育厅科学研究基金(2010Y379)。

作者简介：梁瑜(1987-)，男，硕士研究生.主要研究方向：旋转机械故障特征提取.E-mail：122139623###qq.eom通信作者：郭瑜(1971-)，男 ，博士，教授.主要研究方向：机械振动、信号处理及机械故障诊断。

E -mail：kmgary### 163.coin第2期 梁 瑜，郭 瑜，吴川辉：基于复Morlet小波谱峭度图包络分析算法的改进 571谱峭度及谱峭度图1.1谱峭度介绍谱峭度(spectral kurtosis)，简称 SK，是-种描述信号冲击性随频率变化的统计参数，其计算公式如下 - ：.s 2 ( ≠0) (1)式中：符号(·)表示取模；(·)表示取数学期望(平均值)； (t 为被分析的振动信号 (t)的时频复包络，常采用 STFT计算 J：(t ，)f [ ( ) (r-t)]e-12，#dt (2)式中： (r)为长度很小的时窗。

值得指出的是，对滚动轴承若采用 STFT来计算谱峭度值以反映瞬态冲击的强弱，则时窗 ( )必须同时满足既要能完整包含-次冲击振荡过程，又要能避免随后的第二次冲击振荡过程 ]，这在实际应用中较为不便，为解决该不足提出了基于复Morlet小波的谱峭度计算方法 ].研究表明在由滚动轴承故障引起的瞬态冲击的提劝故障频带的确定方面，利用谱峭度图可以获得优化的滤波参数 ]。

1.2谱峭度图为得到优化的带通滤波参数、中心频率和带宽组合，提出了所谓的谱峭度图”5 算法，其原理可解释为建立-系列覆盖所有分析频带的滤波器组，将谱峭度 SK表示为中心频率 和带宽 的函数，即sK( ，)，通过改变中心频率 和带宽 ，由式(1)获得最大单位谱峭度值对应的优化带通滤波参数，即 ]-SK(fop-，trop)： arg max ! (3) - - --- 三二-- j叩 ：，，4，6，，M12.24 J式中：arg max表示取最大值的参数；m，k为滤波器组参数.由式(1)计算的谱峭度可通过 sT 算法，准解析滤波器算法 和复Morlet小波算法实现 I7].研究表明复Morlet小波更适合对滚动轴承早期故障所对应弱冲击信号的提取8 .因此，基于复 Morlet小波来构建滤波器，可更好地实现滤波器参数的优化选择，其理由可解释为 J：1)sTFvr的窗长和准解析滤波器函数的持续时问(类似于窗长)是恒定的，而小波变换中其窗长具有低频较窄、高频较宽的柔性窗特点，即窗长随频率的变化而变化的，能更好地匹配数据中的瞬态冲击信号。

2)复 Morlet小波的实部相当于-个零相位滤波器，虚部相当于-个 90。相位滤波器 ，它可以有效地检测到瞬态冲击而不受冲击发生位置的影响。

3)用复 Morlet小波可以方便构建-系列类似 1/n倍频程且具有理想 -3dB带宽的滤波器组覆盖整个分析频带。

2基于谱峭度图的包络提取与传统的包络分析相比较，基于谱峭度图的包络分析，能够得到优化的共振解调频带参数(中心频率和带宽)，从而实现自适应包络分析.该过程在实现上，可利用复 Morlet小波谱峭度图方法 ].该方法在算法实现上主要是通过构建由不同中心频率和带宽组成的复 Morlet小波滤波器组，以最大谱峭度值为判据，选出优化的复 Morlet小波滤波器，来实现对带通滤波器参数的自适应选择，其实现步骤如下 ]：1)构建滤波器组：以复 Morlet小波来构建-系列相互重叠的滤波器，再通过改变每个倍频程中滤波器的数量，构建 n组不同的滤波器组(本文中n7).复 Morlet小波的时域表达式为：( )-0-"o-2 i2rfo (4)0耵对应的频域表达式为：58 昆明理工大学学报(自然科学版) 第 38卷( ( ：e (f-fJ (5)式中 是高斯窗的中心频率，Or是滤波器的带宽系数， (，)是 ( 的共轭.基于复Morlet小波的包络计算式为：l W(or ，下)llF ( (Or，/))l (6)式中： (t)是 (-厂)的傅里叶变换， ((or，fc，r)为中心频率为 时的小波系数。

为构造-能够涵盖分析频带的滤波器组，需要确定整个分析频带的频率分析上限、倍频程以及每个倍频程中的滤波器个数.考虑到分析频带的有效范围，研究中取分析频带上限频率为0.避 ( 为奈奎斯特频率).并取倍频程数 n4，每倍频程滤波器个数k1，2，3，4，6，12，24 ]，各级滤波器组总的滤波器个数为Nn×k，各滤波器的中心频率为：：0-.]8f- Nyq (m：1，2，，Ⅳ)(2 )m各个滤波器对应的带宽为：(7) (8)在确定了中心频率 和带宽 Or之后，可根据式(5)建立滤波器组.如图 1所示，为4倍频程，每个倍频程含 3个滤波器的滤波器组。

2)包络提取：由式(6)对信号进行包络提取， 1·0得到不同滤波器系数对应的小波系数(复数).由 0.8小波系数可得到滤波信号的平方包络 Y，即： 0.6YRe(W( ， )) Im(W( ，r)) (9) 0.43)通过谱峭度图确定优化滤波器参数： 0 2设上-步所求平方包络 Y，则 Y的谱峭度计算公式由式(1)可简化为： 0 2·0oo 4-000 ·00 ·000， 2 、 频率∥H： - 2 (10) 图1 Morlet/Jx波滤波器组( Fig.1 Morlet wavelet filter-bank计算并选择最大单位带宽谱峭值对应的中心频率 和带宽 。作为优化复平移 Morlet小波滤波参数，进行相应的滤波和包络提取。

3基于谱峭度图的包络分析算法改进3.1现有谱峭度包络分析算法的不足利用上述基于复 Morlet小波谱峭度图的包络分析算法，可以实现确定优化滤波参数的功能，但是当前算法存在-些值得进-步改进的方面，主要包括：由式(8)求出的各滤波器对应带宽 与通常定义的滤波器截止频率所对应的-3dB带宽不-致，并导致不同滤波器组(k值不同)起始和截止频率不相同，各滤波器组中相连邻近滤波器的交叠点并非 -3 dB带宽处，且各滤波器组覆盖频带不-致，参见图2(a)所示。

3.2滤波器组构建改进算法为了解决上述问题，在原研究基础上，本文对基于复频移 Morlet小波和谱峭度的包络分析算法进行了改进.其主要步骤如下：1)确定各滤波器的上下截止频率.首先设定整个分析频率范围的上限为 0. 。.该截止频率不随各级滤波器组中滤波器数量的变化而变化，保证各级滤波器组所覆盖的分析频率范围-致.同时该频率也对应各级滤波器组最右端带通滤波器的上截止频率，即 0. ，参见图2(b).各滤波器的上下截止频率通过下列公式计算：昆明理工大学学报(自然科学版) 第 38卷对式(13)取自然对数有：再对式(14)两边开平方得：由式(15)得：由式(16)求出厂的两个值：( e-("/'2/0"2)(，- 0.707 1(7r /o- )× - ) O.346 6(7r/o")×(1厂- )±0.588 7 ± - B： - ：由式(18)可得到： 将式(19)带入式(12)得：c 詈 2.673 。 百 (18)(19)(20)(13)(14)(15)(16)(17)由此可得，式(12)中带宽参数or2.673B. 频率∥Hz由式(17)可得 十l厂2 ，即中心频率： Fig. 3图3sp 要filt。

： (21)此处也证明在复 Morlet小波中，中心频率 的值为该滤波器中上下截止频率的算术平均值，而非几何平均值.确定带宽参数 or和中心频率 之后，可根据式(5)建立滤波器组。

3)通过改变每个倍频程中滤波器的数量，建立 n组不同的滤波器组，依次重复 1)2)步骤，实现全频带的优化中心频率和带宽搜索。

由图3可以清楚看到用改进算法构建的滤波器组不仅满足各相邻滤波器交叠点幅值为 0.707 1(即带宽为 -3dB理想带宽)，而且各滤波器组的覆盖频带范围-致，使算法 的精确性得到有效提高。

4试验验证为验证上述理论的有效性，设计以下对比试验.试验数据来自比利时 ULB大学某实验室提供的故障滚动轴承振动信号数据.以轴承外圈故障为例，滚动轴承参数如下，接触角：0；滚动体直径：15 mm；滚动体个数：18；节径：104 mm.数据采样率为30 000 Hz。

分别将转速 249 r/min，499 r/min，749 r/min，1 001 r/rain，1 498 r/min的数据代人程序，依次进行信号预处理，构建小波滤波器组，根据谱峭度选择优化滤波器，利用优化滤波器进行滤波，包络提劝分析的步骤，对信号进行处理分析，结果如图4、图5所示。

62 昆明理工大学学报(自然科学版) 第38卷∞ 三j磐频率 f/Hz(a)原算法包络谱图邑粤×10-0 200 400 600频率 f/Hzfb)改进算法包络谱图图7 轴承外圈故障包络谱图(第二组)Fig.7 Envelopment diagram of the bearing outer failure(data 21第三组至第五组数据(即749 r/min，1 001 r/min，1 498 r/min)用两种算法都可以实现外圈故障的辨识(同第-组数据)，因篇幅所限不再给出。

实验结论：与原算法相比，改进算法由于采用新的滤波器组构建方法，使滤波器的带宽和中心频率的确定更加精确.特别指出，在信号中故障成分明显的情况下，两种方法都可以达到根据谱峭度的值自动搜索滤波器优化中心频率和带宽系数的目地，但是在少数故障成分不明显或者其信噪比较低的情况下，谱峭度的有效提取范围很狭窄(见图6(b))，原方法由于滤波器组的构建方法不准确，其带来的加窗误差可能导致无法计算出最大谱峭度值(见图6(a))，进而使算法失效.而改进算法因为消除了由于各滤波器组覆盖频带不-致和非 -3 dB带宽所带来的误差，能更精确地定位最大谱峭度的位置，进而更好地提取出故障特征(见图7)。

5结 论基于复 Morlet小波谱峭度图的包络分析方法和传统的包络分析相比，可以根据谱峭度的值 自动搜索滤波器优化中心频率和带宽系数，但原方法存在构造的滤波器带宽并非理想的-3dB带宽、且各级滤波器组所覆盖分析频带不-致的不足，原算法中存在的误差会导致某些情况下优化滤波参数提取失败.本文在总结前人研究的基础上，将滤波器组的构建方法及优化滤波器的选择方法进行了改进，提出了-种改进算法，该算法在实现包络分析中带通滤波器优化中心频率和带宽确定的同时，使各级滤波器组中滤波器的交叠点为 -3 dB带宽处并保证了各级滤波器组覆盖频带的-致性，提高算法的准确性和鲁棒性.理论推导和试验验证了本方法的正确性和有效性。