成形磨齿砂轮修形插补节点数最优解

机械工程中，阿基米德螺旋线是-种最常用的曲线，当阿基米德螺旋线的起点、终点与渐开线的起点、终点相重合时，可对渐开线实现拟合。实际中阿基米德螺旋线与理论的渐开线之间有-定的拱高差(见图1)，该拱高差即为插补误差。劳奇成等推导了用分段的阿基米德螺旋线逼近渐开线的软件插补方法以及误差估计和节点计算算法，给出了三种很实用的方法：等间距法、等弧长法和等误差法。罗 良玲 剖等提出了-种基于时间分割的阿基米德螺旋线的直接插补算法。李泽蓉 等提出了-种用阿基米德螺旋线代替大直径圆弧的加工方法。文献[5]、文献[6]分别江苏势技支撑计划(工业)基金项 目(BE2009167)提出极坐标下对圆弧的插补算法和成形砂轮的数控修整。

本文在研究某型数控成形磨齿机加工原理 7 3和齿轮啮合原理 的基础上，采用等角度法和等径长法，用阿基米德螺旋线实现渐开线插补，根据法向误差的允许值准确地给出满足此允许值砂轮截形时插值点的最少数量，可满足不同精度等级的齿轮或磨削加工齿轮时的不同工序，为磨齿机数控软件提供优化算法。

1 砂轮修形原理某型成形磨齿机(见图2)砂轮修形时，以直线轴和旋转轴 A的复合运动建立极坐标系，在极坐标下552013年第 1期 现代制造工程(Modem Manufacturing Engineering)用金刚轮对成形砂轮的空间渐开线部分进行修形。

修形时，在渐开线的起点和终点之间计算出若干个中间点的坐标，根据这些中间点用阿基米德螺旋线插补出渐开线。

在如图1所示的极坐标系中，将所求渐开线的插补区间分成 /2-1段，插补区间对应节点为 P 、P：、P 、P川 、P 、P ，用阿基米德螺旋线插补渐开线时对应的参数为渐开线压力角 ，在任意-段插补区间内，用阿基米德螺旋线对渐开线进行分段插补逼近。

插补的过程即让阿基米德螺旋线与渐开线之间的最大拱高差 在给定的误差范围内，根据给定误差计算求解出插补过程中的节点数 /2，然后通过插补计算出来的节点数求解出需要的砂轮。

图 1 成型磨齿机插补原理图2 成型磨齿机结构示意图 1中，01(f， )为每段拱高差最大值处渐开线对应的展角；02 )为每段拱高差最大值处阿基米德螺旋线对应的展角；or。为齿槽半角。

562 插补法向误差理论计算极坐标系中，渐开线方程为 0 A(r)，写成渐开线参数方程为： invak r (1) -COS-O/k式中：0。为渐开线对应的展角；Ot 为渐开线压力角；r为渐开线向径；r 为渐开线基圆半径。

插补渐开线的阿基米德螺旋线的参数方程为：r02B(r)Ki(r-r。)0iKi- AOi式中： 为阿基米德螺旋线对应的展角；B(r)为阿基米德螺旋线方程；K 为阿基米德螺旋线系数；r 为节点处所对应的渐开线向径；0 为节点 处所对应的渐开线展角；A0 为步角值；Ar 为向径增量。

在每-分段上，用阿基米德螺旋线来逼近渐开线都会产生-个误差，也就是逼近误差e ，即：。 ： IB( )-A(，)l： ( -， )0 -A( )f(3)求解逼近误差的最大值，即求 e 的-阶导数并令其值为 0，则：arcsin(K r6)或 e Ki (4)对逼近误差 ei求二阶导数：e ”- COS Ot /sinsA，且二阶导数小于0，故此时拱高差 E 全大值。

逼近误差 ei的最大值 eimax为：e arcsin(Ki )十0 -K r (5)2.1 等角度法等角度法就是金刚轮每次用阿基米德螺旋线插补砂轮廓形时走过的角度为-个恒定值。当求解出最大法向误差满足给定精度，就可求解出该砂轮修形需走过的步数。修形时需求解出每次修形的步角值△ 和向径增量 △ ，△ 和 △r 的大小由插补节点数控制。本文采用式(6)和式(8)求解。

[tan(arccos rccos -tan(arcc。s )arcc。s rl/(n-1) (6)Tf Tj式中：r 、r，分别为齿顶圆半径和齿根圆半径。

王文珠，等：成形磨齿砂轮修形插补节点数最优解 2013年第 1期用牛顿迭代法求解 川川 ：.厂( ) ，-1) -而 ，JOL)0 -tana i 0式中： 为节点 i处的渐开线压力角。

把求解的 川川值代入式(1)，可求解 △ 为：～ -r - (8)r - 兰 (9)，/1-(Ki )式中：Fmax为渐开线最大向径。

2.2 等径长法等径长法就是金刚轮每次用阿基米德螺旋线插补砂轮廓形时走过的 △ 数值为-个恒定值。设向径增量 △ri为常数，由：： rl0川1：arcc。s 0，1 2 -， -l(10) 毗1) 哪 ∞ U， - ，0 linva (1]求解出 Ar ( -rs)/(n-1)、AO 0 -0 ，其他求解步骤和等角度法-致。

则阿基米德螺旋线与渐开线之间的拱高差E 为：E ke r (11)式中：k为系数。

求解的拱高差是近似直线段的圆弧，比理论上的数值大，所以适当给出-个系数，经验系数 k0.6～0.8。系统允许误差为 or ，则对每-分段都应该满足：E

3 计算实例成形磨齿机在加工齿轮工件时，根据加工精度的不同，可分为粗磨、半精磨和精磨三种工序。传统的砂轮修形，为满足精度要求，都是以精磨的齿形误差要求来修形，虽然精度较高，但在需要大量去除加工余量的粗磨和半精磨工序中，存在计算效率较低、系统资源浪费的问题。根据前文中的论述，针对不同工序，可计算出满足不同模数、不同齿数、不同工序误差要求时的插补节点数，从而提高数控代码的执行效率。

例如：有-斜外齿渐开线，法向模数 m 12、齿数 85、法面压力角 Ot 20。、螺旋角 8。、齿顶高系数 h 1、顶隙系数 C 0.25，齿形最大给定误差：or 10.005mm、Dr 20.O01mm等。

计算求解最优解时，输入需要的基本参数和误差要求 ，即可以自动给出所需要的插补节点数和误差分布，给定误差为 0.001mm时最优解求解如图 3所示，放大后的误差分布如图4所示。

吕目 蛊《穗星啦图3 给定误差为 0.001mm时最优解求解- 寺倥 长 纭 措 0 --. ii三iIl 戳- ， 。 。 。

、 疆 ' . ， 误差值 ×10 /mm图4 放大后的误差分布给定误差为0.001mm时，用两种求节点的方法计算的结果分别如表 1和表2所示。

在给定允许误差时，程序自动计算出 -1组数据，见表 1和表 2，并求得最优节点数 n，如图3所示。

从表 1和表2所示可以看出，用等角度法和等径长法求解时，根据给定误差的要求，用牛顿迭代法算 出最优的插补角度 A0 和向径增量 △ 。在最优插补角度下和最优向径增量下分别计算出利用阿基米德螺旋线插补渐开线的误差分布，如图4所示。

根据图3、图4、表 1和表2可以得出如下结论：1)用等角度法和等径长法计算最佳插补节点数，随节点数的增加 ，插补误差值逐渐变小；法向误差最小值和最大值位置逐渐接近齿顶和齿根处。2)等角度法在数控生产中，加工出来的砂轮误差比较小，更接近加工要求。等径长法在数控生产加工中，砂轮精度的稳57m m m mm m m m5 5 1 1 O 0 O O O O O O O O O O 差差差差误误误误2013年第 1期 现代制造工程(Modem Manufacturing Engineering)定性比较好，便于实现加工要求，计算速度比等角度法快。3)随给定误差精度的增加，两种方法的误差分布逐渐均匀化。4)在界面中可输入任意合理的参数和给定误差，程序会自动给出最佳插补节点数和误差分布。

4 结语本文通过等角度法和等径长法计算出数控磨齿机成形砂轮的插补节点数，可满足磨齿机床磨削加工齿轮时的不同精度等级，该方法为数控磨齿机软件提供优化算法，并提高数控系统插补计算执行效率。