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扭簧加载双片齿轮消隙机构综合啮合刚度

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Research on Synthesis M eshing Stiffness of Torsional Spring-loadedDouble--gear Anti-backlash M echanismYANG Zheng SHANG Jianzhong LUO Zirong WANG Xiaoming YU Naihui(School of Mechatronics Engineering and Automation,National University of Defense Technology,Changsha 4 1 0073)Abstract:Anti-backlash gear cal improve the transmission precision via eliminating or controlling the backlash.It is very importantto make a study of the dynamic characteristics of anti-backlash mechanism.The law of periodic variation of meshing points isanalyzed emphaticaly in an ti-backlash mechanism with the contact ratio 1≤占<2.Single or double tooth meshing states of two gearpairs and the transform arithmetic in positive and reversal rotation based on symmetry at an ytime are determined,insuring continuityof calculator in reversal rotation an d making the further studies on swept resonance characteristic easier.Based on this,the synthesismeshing stifness model of anti-backlash mechan ism is built,including the calculation formula of meshing stifn ess based on Hertzcontact theory and FE calculation results.Th e influence of torsional spring stifn ess and variations of al gear parameters on syn thesismeshing stifn ess is an alyzed using numerical calculation,an d the results show that under the condition of no gear teeth disengaging,anti.backlash mechanism not only Can eliminate the backlash.but also Cal increase the syn thesis meshing stifn ess comparing 也the meshing stifn ess of the ordinary gear pair,an d by optimizing gear parameters,the synthesis meshing stifn ess can be increasedmuch more。

Key words: Double-gear Dynami c characteristics An ti-backlash Meshing point Symmetry Time-varying meshing stifn ess0 前言齿轮传动是-种广泛应用于各种机械系统和装备的主要传动方式。具有传动效率高,运行平稳等特点,并且单向传动时,传动精度较高。但是在·国家 自然科学基金资助项 目(51175505)。20120406收到初稿,20121010收到修改稿- 些伺服机电系统中,普通齿轮的齿侧间隙造成的回差会使伺服系统反应滞后l弓J,对控制精度产生严重影响。因此,在需要传递高精度角度信息或者位置信息的诚,必须采用合适的误差控制方法,以提高传动精度,达到更好的运行效果4.引。通常的回程误差控制方法有:双电动机消隙法L3J、双斜齿轮消隙法[ 、齿轮中心距调整法、扭/弹簧加载双片齿轮消隙法[7.1 5]和摩擦消隙法[16]等。其中扭簧加载双24 机 械 工 程 学 报 第49卷第 1期片齿轮以其体积孝结构较为简单,在工业机器人12、精密伺服机构[3,14-15]、雷达天线[7,8,1o]、超精密机床等精密机构上得到广泛应用。采用消隙齿轮的精密机构往往具有高速、高精度、高稳定性的动态特性要求,消隙齿轮系统也工作在频繁启动、换向、制动的工况下,因此在这种情况下,由消隙齿轮传动系统自身带来的激励,如时变啮合刚度,将对整个机构的性能产生重大影响。

啮合刚度在齿轮传动系统中是-个非常重要的动力学参数,啮合刚度的大婿定着动力传递的稳定性和系统的动态性能。数十年来,有关齿轮时变啮合刚度的研究已较为深入,研究方法总结起来主要有公式法,包括 Weber.Banaschck公式u ,石川公式 以及其他改进公式l8,简化方波法[ 。20和有限元法[21等。

目前针对消隙齿轮机构的研究主要集中在消隙应用 。 与设计、计算方面[ J们,在消隙齿轮传动啮合刚度及动力学方面的研究较少,加州大学伯克利分校 NAOKI等1 2J提出了-种具有消隙齿轮传动关节的工业机器手臂的控制方法,建立了-种具有三段柔性连接特性的消隙齿轮近似刚度模型,并对特性曲线进行了光滑处理;韩国LG公司KWON等钏建立了含摩擦的消隙齿轮伺服机构动力学模型,其中消隙齿轮刚度模型同样用三段柔性连接曲线表示;李国民等1l将双片齿轮消隙机构简化成两 自由度圆盘扭振模型,没有考虑齿轮之间的啮合刚度,对固有频率进行了初步研究;ALLAN等L15J提出了-种计算消隙弹簧最小预紧力矩的方法,建立了不考虑时变啮合刚度的多刚体系统扭转运动学方程。

总之,单齿轮副啮合刚度的研究较为成熟,而消隙齿轮机构啮合刚度在研究中大多被简化处理,但是随着消隙齿轮工况复杂程度的提升,简化的啮合刚度并不能满足含消隙齿轮机构的机电系统动力学特性研究的需要。基于此,本文以消隙齿轮传动系统为研究对象,深入研究多啮合点的时变啮合刚度,建立消隙齿轮综合啮合刚度模型,并分析其随各设计、加工参数,包括扭簧刚度,模数和齿数,变位系数,齿宽等变化的行为特性,为进-步研究消隙齿轮的动力学特性,指导消隙齿轮的优化设计及装配提供参考与依据。

1 消隙齿轮单双齿啮合区分析1.1 消隙齿轮机构如图 1所示,Z2为齿轮轴又称固定齿轮,z3为空套在轴上的浮动齿轮,又称为加载齿轮。加载齿轮和固定齿轮之间加-根扭簧,当两片齿轮相对转动-定齿数后,扭簧压紧,然后将双片齿轮与主动齿轮 Z1啮合。由于扭簧的作用,齿轮 Z2和齿轮 z3的轮齿分别与齿轮z 的齿的两个侧面接触。假定当齿轮 Z顺时针旋转时,它与齿轮轴 Z2啮合,齿轮Z3则由于弹簧的作用, 紧贴着齿轮 z1的非工作侧面,当齿轮 Z1逆时针旋转时,Zl立即与齿轮 Z3啮合,达到了消隙的效果,提高了传动精度。

加载齿图 1 消隙齿轮机构轮 五轮 Z2在进行分析之前,对双片齿轮消隙机构模型作出以下假 设:① 单对啮合齿轮副重合度满足1≤占<2:② 不考虑润滑油膜动刚度对齿轮接触刚度的影响;③ 为了适用 Hertz接触理论,假设啮合点处两齿轮的曲率半径分别等于两个在同-点接触的圆柱体的端面圆半径;④ 不考虑发热膨胀及轮齿变形对侧隙的影响。

1.2 齿轮对 z1 单双齿啮合区分析在不考虑油膜动刚度的情况下,普通齿轮系统综合啮合刚度主要由两部分决定:① 啮合点的个数;② 单个啮合点处的时变啮合刚度。重合度的大婿定啮合点的个数,本文考虑重合度满足1≤占<2的情况下,-对啮合齿轮的最大啮合点数为 2。由于消隙齿轮结构的特殊性,任意时刻的啮合点数随着结构参数的不同而呈周期性变化。

如图 2所示,在齿对 z1和 Z2的啮合线上,啮合点 。I2为双齿啮合起始点, 。 2为啮合终止点,令初始时刻 fl2O,而在齿对 zl和 z3的啮合线上,啮合点 13为双齿啮合起始点, 。13为啮合终止点。

图2中,Ⅳl,Ⅳ2,Ⅳj,Ⅳ2均为啮合极限点;Df, ,rb , 分别为齿轮 的中心点,齿顶圆半径,基圆半径以及节圆半径,i1,2。现定义靠近双齿啮合起始点的啮合点为 点,若进入双齿啮合区则定义远离起始点的啮合点为 点,i1,2。02为齿轮Z1从双齿啮合点起始点 。l2到Al的转角。0I3为齿轮 zl从双齿啮合点起始点 。l3到 A2的转角。则齿轮 Z1转角可表示为2013年 1月 杨 政等:扭簧加载双片齿轮消隙机构综合啮合刚度 25 2 (1)式中,n为啮合周期数,为非负整数;0o为啮合点l从 tl2时刻开始,沿啮合线移动-个法向齿距时,zl的转角,此过程经历-个双齿啮合区和-个单齿啮合区,即-个啮合周期, 为周期转角,根据渐开线特性,并忽略基节误差对周期转角的影响,可知ao:-pb-AGb≈l rbl式中 --法向齿距pbxmcosa6c- 节圆压力角,非变位啮合或高变位啮合时工作啮合角等于分度圆压力角- - 齿轮模数AFpb--基节误差(a)模型图 (b)简化图图2 消隙齿轮机构啮合点关系图由式(1)可得 2Mod(1, ),Mod为取余函数。如图2所示,令d :4,d 3 3 则2rb1 2 dl3rb1 3当dl2≥fm-Pb,即 2≥(fm- )/rb1: 时,齿对 Z1Z2开始进入单齿啮合区,其式中,fm为实际啮合线长度fm√ra - -√,i - √ ;- -,/r; -rb因此,当 ≥ ≥0时,齿对 ZlZ2处于双齿啮合区;当Oo≥ 2≥ 时,齿对 ZlZ2处于单齿啮合区。

1.3 齿轮对 zlz3单双齿啮合区分析如图 3所示。令当前时刻为 Z2与 Z3同时处于如图 3a所示的对称位置。由啮合原理可知,当齿轮z1逆时针转动 时,齿对zlZ3进入节点P啮合;而当齿轮 zl顺时针转动 妒时,齿对 ZlZ2也进入节点P啮合, 由下式给出等 式中 ,--齿轮z,、乙节圆处的齿厚S2m(x/22xd tana) 2d--刀具轮廓中心线与刀具节线之间的距离系数2--齿厚偏差[2]广 齿轮副圆周侧 ,是由设计时的进刀误差,单个齿轮本身的制造误差和传动中心距误差等组成,单位为 m tan c ±I(譬] ( ( l,2厂 齿轮 i的进刀误差均值,i1,2- - 齿轮 i的进刀公差F 广 齿轮 i的径向综合误差中心距偏差;当为高变位啮合时,节圆半径等于分度圆半径- (a)z2和z3处于对称位置图 3(b)当前时刻到P点的转角相位差分析由此可计算出,当齿轮对 ZIZ2处于双齿啮合初始点 。l2,即tO时,齿轮z1沿齿对z1Z3的理论啮合线ⅣI 构逆时针转角为ol ,且3 I :0 - -2: -- rd-- G -tin: - - -2- lrb1 l式中, 表示从齿对 Zlz3的双齿啮合初始点 B 13到节点 P处时Zl的逆时针转角; 表示从 。l2到节点尸处时z1的逆时针转角;, 表示啮合线Ⅳ1Ⅳ2上初始啮合点到Ⅳ2的距离。

Ⅳ2 。 Ⅳ2,√ -, 表示啮合线Ⅳ1Ⅳ2上Ⅳl到啮合终止点的距离。

,Ⅳ2, Ⅳ √ -rb因此, n0ool3-( - -2 ),推导出ol3Mod(1eo - -2 ,eo)同理有, ≥ ≥0时,齿对 Zz3处于双齿啮合区;当Oo≥ 3≥ 时,齿对ZlZ3处于单齿啮合区。

2 反转与正转啮合关系及相位分析主动齿轮z1反转时,当0l>0时,可同样按照正转时的计算方法来计算各力学参量。而当 01≤0机 械 工 程 学 报 第49卷第 1期图 4 正反转转 换对 称分析经过上述转换,在反转时齿轮对 Z1Z2以及齿轮对z1Z3所处单双齿啮合区的情况可按上节给出的方法来确定。

3 消隙齿轮综合时变啮合刚度3.1 单啮合点啮合刚度齿轮机构在传递运动或动力过程中,齿廓上的啮合点沿轮齿齿廓线上下移动,引起啮合刚度发生变化。单个啮合齿轮 Z受啮合力作用时,KUANG等 通过有限元计算分析,得出接触线上单位宽度的弯曲刚度为( (aoalxi)(a2a3xi)a03.8671.612zi-0.029 16z 0.000 155 3z口117.060.728 9zi-0.017 28z 0.000099 9z/3口22.637-1.222zi0.02217z -0.000117 9z口3-6.33-1.033zi0.02068z/z-0.000113z式中,a0、a1、 、a3为弯曲刚度计算公式的拟合系数;x 为齿轮 z1.的变位系数; 为齿轮 的分度圆半径;Pm为啮合点编号,可为 1、 2和 1、 2;为啮合点Pm处到齿轮 中心的距离(f为齿轮编号,i1,2,31,且,i 14ol√( -dl2) 1 0l√( -d12-Pb) rb,i 2 ol√( Ⅳ-fmdl3) 2B20l√(1BN-lmdl3Pb) rbrz41402√( Ⅳ-fm 2) ;r2B1 02√( Ⅳ-,m十 2 ) r2 2 D2:√( -dl3) rbr2B2 02√( Ⅳ-d13- ) %;齿轮对在啮合点尸m处的啮合刚度为( , )( ) ( )( ) ( )[ ( ) ( )]式中 --单位宽度上的 Hertz刚度 旭 /[4(1-1,2)] 材料弹性模量- - 泊松比。- - 有效齿宽广 齿轮编号,产1,2,33.2 综合啮合刚度根据消隙齿轮工作原理建立如图5所示的齿轮z1与Z2之间的等效啮合刚度模型。图5中k1, ,分别表示 Z1Z2之间的接触刚度,zlZ3之间的接触刚度以及扭簧的等效线性刚度。 sl, 2则表示z。Z2,Z1Z3之间的综合传递误差, 。表示扭簧的等效线性变形量,由实际情况可知,在轮齿不脱离时,等效弹簧 。, , 均处于压缩状态。由于消隙齿轮在工作时,单对齿重合度1≤ ≤2,因此啮合点数最少有 2个,最多有4个。引入开关函数厂s( )0.5 l sgn(x)l[sgn(x)1]f-1 <0sgn(x)0 0l1 >o2013年 1月 杨 政等:扭簧加载双片齿轮消隙机构综合啮合刚度 27kl S12 , Sl3而在反转,且主齿轮z1转角小于零时,根据对称性,k1和 分别为 13 12式中, 1ffs(ao- f),i2,3。

如图5所示,在 Zl上施加-作用力 F,稳定后,令弹簧kl, ,kto的初始变形量与变形量分别为 。10,。20, 与Xs1, 。2,Xte;扭簧预紧力为Fp;消隙齿轮综合啮合刚度为 ,由力学分析可知F ( 10 1)- ( 20-Xs2)1 2 。

x,lokteXt,ok2X,20( 0- ) ( 20- 2): 计算可得,在考虑包含轮齿脱离的情况下: 锚 (2)te 十 2f1齿对Z1Z2接触: 1 0齿对Zl乙脱离. f1齿对zlZ3接触-10齿对 脱离特别地,当 0即不存在扭簧时, 七1,此时,消隙齿轮转换为普通齿轮。

4 计算与讨论下面以下表所示的齿轮参数为算例,计算其综合啮合刚度,并分析各主要相关参数,包括扭簧等效线性刚度、齿轮模数、变位系数、有效齿宽等的变化对最大综合啮合刚度的影响。

表 消隙齿轮机构参数图6所示为消隙齿轮在初始时刻(f0)反转与正转时齿对Z1Z2、齿对 ZlZ3以及综合啮合刚度:k1,以及 曲线。图6中,虚线表示为k1,点划线表示 ,实线则表示 。图 7所示为只有主齿轮 Z1和固定齿轮 Z2时的普通齿轮机构与消隙齿轮机构正反转时的综合啮合刚度对比曲线。图7中虚线所指的是消隙齿轮的综合啮合刚度;实线则表示普通齿轮的综合啮合刚度。由图7可知,消隙齿轮传动时的综合啮合刚度比普通齿轮机构大,并且消除了侧隙的影响。

言互宦dⅡ孥打l6O120100厂 厂 - /-厂 - /- -、 /-、 、 、 、 -. , - - - 、 ., - 、 , 。

- 001 0 00l 0O2时间f,s图 6 正反转时齿对 Z1z2与 Z1z3以及综合啮合刚度言互 甚姐留妇- 0 025 -0.Ol5 0 005 0 005 0.015 0.025时间 f/S图7 消隙齿轮与普通齿轮综合啮合刚度对比曲线4.1 扭簧等效线性刚度的影响图 8所示为扭簧等效线性刚度(以下简称扭簧刚度)的变化对综合啮合刚度的影响,横坐标为扭簧刚度,纵坐标为最大综合啮合刚度值。

舍鋈焉堪扭簧等效线性刚度kt。/(kN/mm)图8 扭簧等效线性刚度对综合刚度的影响∞ ∞ ∞ 加 m ∞ ∞2013年 1月 杨 政等:扭簧加载双片齿轮消隙机构综合啮合刚度 294.3 变位系数及齿宽的影响如图 13所示,在采用高变位啮合的消隙齿轮系统中,在其他参数不变的情况下,选认适的变位系数能够使最大综合啮合刚度的值达到最大。本算例中当变位系数为 0.2 mil时,最大综合啮合刚度达到最大值。

言五誊置把翟姐略变位系数 /mm图 l3 变位系数对最大啮合刚度的影响有效齿宽对最大综合啮合刚度的影响近似线性,随着接触齿宽的增加而增加。如图14所示。

言垂焉蜡有效齿宽 w/mm图14 有效齿宽对最大综合啮合刚度的影响5 结论(1)提出了包含轮齿脱离状态下的综合啮合刚度计算公式,由公式可以看出:在正常啮合状态下,消隙齿轮机构不仅能够消除回差,提高传动精度,而且综合啮合刚度较之于普通齿轮传动啮合刚度有所提高。

(2)计算和分析表明:在不改变齿轮参数的情况下,选用刚度较大的连接扭簧能够增加消隙齿轮机构的综合啮合刚度;在保证安装中心距和传动比不变的情况下,可以通过优化扭簧刚度和各齿轮参数最大限度地增加消隙齿轮机构的综合啮合刚度。

f3)本文建立的消隙齿轮综合啮合刚度模型能够为进-步研究消隙齿轮的动力学特性,指导消隙齿轮的优化设计及装配提供参考与依据。

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