相交轴渐开线变厚齿轮几何设计与啮合特性分析

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Geometry Design and Tooth Contact Analysis of Intersected Beveloid GearsZHU Caichao LIU Libin LIU Mingyong SONG Chaosheng ZHENG Yifei DU Xuesong(The State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400044)Abstract： According to the spatial gearing theory，the mathematical model for working pitch cone design of intersected beveloidgearsis createdin orderto confirm theworking cone anglesandthehelixan gles aswel1.asthemountingdistance ofthetwomeshinggears.Theform ulastodeterminethetransitionfrom point contacttoline contact are derivedto achievethe approximateline contact。

Besides，the form ulas to determine the efective tooth width ofthe two sides ofthe woing pitch circle are derived.Based on therelationship of the parameters of the beveloid gears using in intersected axis tran smission，the analyses of the efects of key design parameters on the angle between the first principle directions(FPD)as well as on the contact ratio are conducted.The fundamentaldesign parameters of one case for the proposed beveloid gear drive in 1ine contact is derived and the loaded tooth contact analysis isperformed using the finite element method.Th e conclusions indicted that the intersected beveloid gears engage with each other in linecontact which is considered the geometry design approach assuming line contact.Also，the area of the contact pattern isapproximately 50%.A practical tooth bearing test is conducted to demonstrate the proposed design procedure and the experimentalresults compared well with the simulation。

Key words： Intersected axis Beveloid gears Working pitch cone design Line contact M eshing contact area Test0 前言渐开线变厚齿轮是渐开线圆柱齿轮的-般形式，两齿轮的轴线理论上可以成任意角度，可在平行轴、相交轴及交错轴间实现运动与动力的传递，且可以通过轴向串动调节两轮的侧隙，适用于对回· 国家自然科学基(51175523)、高等学校博士学科点专项科研基金(20110191110039)、 十 二 五 科 技 支 撑 计 划 (2011BAF09B072012BAA01B05)、中央高校基本科研业务费专项基(CDJXS12110008)资助项目。20120328收到初稿，20120904收到修改稿差要求严格的精密传动，但缺点是齿面理论上为点接触，齿面间的滑动速度大。目前人们对平行轴、相交轴及交错轴变厚齿轮几何设计、啮合原理及加工制造方面都进行了-定的研究。MITOME等lJ对变厚齿轮的加工方法，齿面磨削加工方法，量球距计算方法，齿面坐标测量方法以及轮齿接触特性进行了总结。KOMATSUBA A等L2针对船用小倾角齿轮箱，对Nonintersecting-Nonp，arale1.Axis安装下凹面变厚齿轮副的啮合原理，几何设计展开了研究，并对其进行了啮合性能控制及优化。贺敬良等34136 机 械 工 程 学 报 第48卷第 23期对交错轴锥形齿轮副的几何设计及轮齿接触特性进行了研究。朱才朝等[5培]对可实现线接触的交错轴进行了几何设计研究和动力学研究。但考虑线接触条件下，相交轴变厚齿轮节圆锥设计少见于相关文献。

本文基于齿轮副空间啮合理论，建立了相交轴节圆锥设计模型，提出了相交轴齿轮副啮合点接触到线接触的转变控制条件，并进行了相应的仿真分析和试验研究。

1 相交轴变厚齿轮节圆锥啮合原理1.1 节圆锥几何参数图 l所示为-对相交轴变厚齿轮啮合节圆锥相对位置关系及坐标变换。图 1中， 1、 分别为齿轮 1、齿轮 2所在坐标系， 为固定坐标系，两节圆锥相切于 JD点，锥顶分别为 、 ，两节圆锥锥角分别为 J2 和d 为相交轴变厚齿轮副安装距，用于确定节圆锥锥顶的位置， 、 分别表示两节圆锥母线的单位矢量， 为两啮合齿轮间的轴交角。

cos等× csio s4 cos8w，式中， 齿轮 f的点P在坐标系 中的位置矢量，nn齿轮 f的点P在坐标系 中的单位法矢。

经过坐标变换，联立上述方程，得到其中1 COS 2 COS COS 2 cot 2 sin d2 sinl sin 2 sin1 cot 1dl- w2 sin COSo22 cot8w2 COS27d2 COS27COSal COS 1-COS COS8w2 COS sin8w2 sin27 sin COS8w1-sino2 COS 2sin8w1～COS COS8w2 sin27-sin8w2 COS27Uf sin7wfrwf (4)考虑 。、 、∑的角度关系，j：述方程组当且仅当sinOsinO20、cos011且cosO2-1的情况式(5)～(7)成立，解得 1 2 (5)dl-rpw1 cot8w：rpw2 sinZ rpw2 cot 2 cosZ cot27(rplrp 2 cos'-rp 2 cot 2 sin ) (6)丝 (7)S1n节平面上的纵向齿形是齿面与节平面的交线，两工作节圆锥公切平面内公共切点处相对速度方向如图2所示，纵向齿形在 尸点相切触，O1、O2分别为两节锥锥顶，'， 、'，分别为工作节锥 1、2在切点的速度矢量，节平面上的螺旋角 为纵向齿形的公切线和相应节圆锥通过点P的母线构成，两节圆锥的母线夹角为r/，则·T 1T。l·IT 1.cos 7/：cosr] (8)其中母线 P的单位矢量T ( 1，2)可以表示为 (sindw：，O，coSdwlORf /Ou ㈠ 9 l 1 I 、： ∞ ∞ 2 ] IaRfz I in c0 c j(10) 令齿轮右旋时 为正，齿轮左旋时 为负，tz) 则有齿轮副在P点相切触，则节点P的切触方程为 z， (3) 联立式(8)～( )，得 Il，lf1 -，lf2 l - 2(11)(12)2012年 12月 朱才朝等：相交轴渐开线变厚齿轮几何设计与啮合特性分析 137D(a)配对齿轮旋向相同厶 /、Vl(b)配对齿轮旋向相反图2 工作节圆锥切点处相对速度方向1.2 点接触到线接触转变控制条件空间相交轴变厚齿轮传动理论上只能实现点接触，因为两变厚齿轮的齿面(渐开线螺旋面)虽然各自与公共齿条是线接触，但两条接触线毛和 -般不重合。如图 3所示，儿 是公共齿条中间平面与齿条齿廓平面的交线，在左齿面上与两齿轮的接触线毛和 的交角为啮合主方向角 ，和 ，。

图3 公共齿条与两变厚齿轮的接触线在相交轴传动中，控制两接触线交角( ( )使其较小，即可实现相交轴两齿轮副的近似线接触。

由空间几何关系计算得到如下公式 (图 3中观察方向为从大端到小端)式中， ， 分别为变厚齿轮左右齿面与公共齿条接触线k与公共齿条分度平面的交角，。 为公共齿条法向齿形角。

2 相交轴变厚齿轮节圆锥设计2.1 齿轮设计参数与齿轮工作啮合参数间的关系定义变厚齿轮端面齿形角系数l1](14)式中 pwL(k)j--变厚齿轮端面工作节圆压力角㈤ ，- - 变厚齿轮端面参考节圆压力角根据渐开线齿轮正确啮合条件及基圆柱螺旋角相等条件 挖 推导得到以下计算公式： ： ! -t.i (15) .，m nw GOSan ustan COS . 1n m 玄 (17)sin ：sin sin6 (18)j赢 式中 m --变厚齿轮法向模数 。

m --公共齿条法向模数- - 齿轮法向齿形角系数屈， --齿条刀具齿线倾斜角与节锥角根据无侧隙啮合条件3，得到相交轴无侧隙啮合方程为2协 ( - ]Z1-.nV‰ 1invaewR1-inV 1-inv 1)inV M 2-invapL2-inV 2)(19(invapm l ) ÷ l l式中 Xtl --两齿轮在节端面的变位系数Z1 --两齿轮齿数2.2 相交轴变厚齿轮的重合度和有效齿宽图4为-个变厚齿轮的左齿廓与公共齿条啮合时的啮合平面[12]。图4中，rw为节端面上的节圆半径， 为节端面上的基圆半径， 为节端面上的齿顶圆半径， 为齿轮节锥角，啮合点为节端面上的节圆与啮合平面的交点P。在啮合平面上过P点作直线与端面成 、角，得到两相交轴变厚齿轮的啮合线朋 、。啮合线与基圆柱的切点为Ⅳ。

如图4所示，取右手坐标系Oxyz，其中 轴为齿轮轴线，Oyz平面是齿轮的节端面，z轴通过节端面上的基圆与啮合平面的切点 。在此坐标系中，齿顶圆锥面的方程式为竖l； l； 蠹l 蠹I138 机 械 工 程 学 报 第 48卷第 23期图4 变厚齿轮的啮合线与啮合起始点Y。z。：(to-xtan8)。

该圆锥面与啮合面的交线 G的方程式为Y 磕(ra-xtanS) z啮合线的方程式为根据齿轮啮合原理，得到左(右)齿面啮合时，齿轮 1节端面左右两侧的有效齿宽为㈤lXBL( (27)I l啮合平面IxBL(R)2I sin ㈤ (28)同理可以得到左(右)齿面啮合时，齿轮 2节端面左右两侧的有效齿宽为㈤2XBL( (29)(20) bL(R)2- X.B呦L(R)I ‰ ： (3。)(21) 3 实例计算与验证√ - 赢 (2)由式(20)～(22)得到啮合开始点(终点) 的X坐标： 二 (23) - - j1- tan。

： 二盘 taIltan pbLc篇 2 an同理，可以求得右齿面的实际啮合线始点(终点)BR的 坐标‰ ：-B4C (24)1- tan：- tantanc 篇 。 C 岫tan 8帕式(23)、(24)中， -f rn -r，n，左旋齿轮取负号。

故左右齿廓的实际啮合线长度BL(R)IBL(R)2 ( )1 (R)2! I lsin ( )1 sin (R)2两齿轮的重合度由式(26)计算求得c BL(R )IBL(R)2(25)3.1 设计参数对FPD角和重合度的影响由前面的分析可知，影响相交轴变厚齿轮传动重合度的主要参数有齿数、刀具齿线倾斜角、节锥角和压力角等；FPD角是控制实现相交轴变厚齿轮线接触的主要几何参数。齿轮副设计基本参数如表1所示。

表1 相交轴工作节圆锥设计基本参数图 5所示为-定轴交角 0)情况下，小齿轮节锥角 对 FPD角的影响。小齿轮左齿面的主方向夹角 的代数值随节锥角 的增大而减小，小齿轮右齿面的主方向夹角 的代数值随小齿轮节锥角 的增大而增大。然而两变厚齿轮左右齿面两接触线的交角 、 随节锥角 的改变而变化不大，二者的绝对值与轴交角相差不大。

节锥角 l/(。)图5 节锥角对啮合主方向角的影响图6所示为-定轴交角(27l0。)情况下小齿轮，，、 ， 、 齿条刀具齿线倾斜角届与FPD角之间的关系。由图(26) 6可知，小齿轮左右齿面的主方向夹角 、靠 的代三 旦堡 旦 朱才朝等：相交轴渐开线变厚齿轮几何设计与啮合特性分析 139数值随小齿轮齿条刀具齿线倾斜角 的增大而增大，然而两变厚齿轮左右齿面两接触线 的交角彘、 随齿条刀具齿线倾斜角 的改变而变化不大，二者的绝对值与轴交角的大悬似。

刀具齿线倾斜角 1/(。)图6 刀具齿线倾斜角对啮合主方向角的影响图7所示为小齿轮端面齿形角变动系数对轴交角和FPD角的影响。由图7可知，FPD角和轴交角随着小齿轮端面齿形角变动系数 的减小而减小，且FPD角均小于轴交角。

端面齿形角变动系数，l图7 对轴交角和FPD角的影响图8所示为小齿轮各参数确定且大齿轮节锥角确定后，大齿轮刀具齿线倾斜角 与轴交角和FPD角的关系曲线图。由图8所示可知，轴交角和FPD角对大齿轮刀具齿线倾斜角的敏感度非常高，随着绝对值的减小，轴交角和 FPD角迅速增大，考虑线接触的控制条件，大齿轮刀具齿线倾斜角 与小齿轮刀具齿线倾斜角屈大小相等时更有利于相交轴变厚齿轮副线接触的实现。

当两齿轮的右侧齿面啮合传动时，取齿轮2齿数分别为3O、4l、55时，保持其他参数不变，在适当的范围内选取小齿轮的齿数Z1计算齿数与重合度 的关系曲线；取轴交角分别为 l1。、13。和 15。

时，保持其他参数不变，做出节锥角与重合度 的关系曲线；在适当的范围内选取刀具齿线倾斜角和压力角 的取值作出重合度 随 及 的变化曲线，分别如图9～12所示。

疆 0凸-二o援暴悃1魁dⅡ大齿轮刀具齿线倾斜角 。)图8 对轴交角和FPD角的影响小齿轮齿数 l图9 重合度与齿数关系曲线小齿轮节锥角 1，(。)图 10 重合度与节锥角关系曲线刀具齿线倾斜角 。)图 11 重合度与刀具齿线倾斜角关系曲线142 机 械 工 程 学 报 第48卷第23期Engineers，Part C，2006，V72：211-218。

3]贺敬 良，吴序堂.交错轴锥形齿轮副几何设计的研究[J].西安交通大学学报，2003，3l(5)：471-474。

HE Jingliang，WU Xutang.Study on geometry of conicalinvolute gear pair with nonintersecting·-nonparalel--axes[J].Journal ofXifin Jiatong University，2003，31(5)：471.474。

[4]贺敬 良，吴序堂.交错轴渐开线锥形齿轮副啮合原理研究[J.机械工程学报，2004，40(4)：81-84。

HE Jingliang，WU Xutang.Study on gearing principle ofcrossed-axes conical involute gears[J].Chinese Journal ofMechanical Engineering，2004，40(4)：81-84。

Contact characteristics of helical conical gears used forV-drive marine transmissions[J].Proceedings of theInstitution of Mechanical Engineers，Part C， Journal ofMechan ical Engineering Science，2010，224： 1-9。

[6ZHU Caichao，SONG Chaosheng，TEIK C L，et a1.Efectof assembly errors on crossed beveloid gear tooth contactand dynamic response[C]/ASME 201 1 InternationalDesign Engineering Technical Conferences andComputers and Information in Engineering Conference，IDETC，CIE 201 1.201 1：379.387。

Geometry design and tooth contact analysis of crossedbeveloid gears for marine transmissions[J].ChineseJournal of Mechanical Engineering，2012，25(2)：328-337。

[9[10[12][13]Computational tooth root sess analysis of crossedbeveloid gears with smal shaft angle[J].AppliedMechanics an d M aterials，2011， 86： 188.191。

HE Jingliang，Ⅵ Xutang.Tooth contact an alysis ofconical involute gears[J].Chinese Journal of MechanicalEngineering，2006，19(1).-105-108。

JESPER B.Analytical geometry of straight conicalinvolute gears[J].Mechanism and Machine Theory，2002，37(1)：127-141。

李华敏，韩元莹，王知行.渐开线齿轮的几何原理与计算[MI.北京：机械工业出版社，1985。

LI Huamin， HAN Yuanying， WANG Zhixing.Thegeometry principle and calculation of involute gears[M]。

LIU Chiachan g，TSAY Chungbiau.Tooth undercutting ofbeveloid gears[J].Journal ofMechanical Design，2001，123(4)：569-576。

wu Szuhan，TSAI ShyOeng.Contact stress analysis ofskew conical involute gear drives in approximate linecontact[J].Mechanism and Machine Theory，2009，44：1658.676。

作者简介：朱才朝，男，1967年出生，教授，博士研究生导师。主要研究方向为齿轮传动。

E-mail：cczhu###cqu.edu.cn刘立斌(通信作者)，男，1988年出生。主要研究方向为机械装备现代化设计与分析。