考虑转子系统耦合影响的球轴承动态性能多目标优化设计

本资料包含pdf文件1个，下载需要1积分

Multi-objective optimization design for dynamic performancesof ball bearings considering coupling efect of a rotor systemCU/Li，ZHENG Jian-rong，ZHOU Wei(School of Mechanical and Power Engineering，East China University of Science and Technology，Shanghai 200237，China)Abstract： Considering coupling effects of dynamic performances of rolling bearings and a rotor system ，dynamicequations were constructed by using the finite element method，the rolor system contained a shaft，bearings，and discs。

The dynamic perform ances of rolling bearings were calculated with a quasi-dynamic model after the rotor system responsereached a stable state.Taking dynamic load，stifness，and spin-to-rol ratio as objectives，a multi-objective optimizationdesign was developed based on the genetic algorithm NSGA II，the efect of structural parameters on bearing dynamicperform ances was analyzed.Taking a rotor system supposed with ball beatings as an example，the results showed that thedynamic load decreases，radial stiffness increases and spin-to-roll ratio increases when the outer groove curvature radiusincreases；the dynamic load decreases，radial stiffness decreases and spin-to-rol ratio decreases as the inner groovecurvature radius increases；the dynamic load increases，radial stiffness increases and spin-to-rol ratio increases when thediameter of balls increases；the largest effect on the dynamic performance optimization results is inner groove curvatureradius；in a high-speed rotor system，in order to obtain better support dynamic perform ance，the coupling effect of therotor system should be considered in multi-objective optimization design of its bearings。

Key words：ball beating；dynamic performances；NSGA II；multi-objective optimization design；coupling effect滚动轴承是转子系统中广泛应用的部件之-，随着现代机械向大型化、复杂化和智能化方向发展，要求滚动轴承具有长寿命、高可靠性，这往往就需要对滚动轴承结构参数进行多目标的优化设计。

为延长滚动轴承的寿命，滚动轴承-般选用额定动负荷最大、额定静负荷最大、摩擦力矩最小等作为目基金项目：国家自然科学基金资助(50905061)；中国博士后科学基金资助(2011M500554)；中央高校基本科研业务费专项资金资助收稿日期：2012-03-19 修改稿收到Et期：2012-05-14第-作者 崔 立 男，博士，讲师，1981年生标进行多目标优化设计 J。王东峰等 研究了双列角接触球轴承的多目标优化设计，以额定动载荷最大、摩擦力矩最楔立优化数学模型，采用线性加权法对双列角接触球轴承进行了优化设计。高速滚动轴承的寿命主要依赖于其动态性能参数的大小，例如，旋滚比较大时，轴承的发热就会很严重，就很有可能导致轴承的失效。此外，为了提高转子的刚性，也应对轴承的刚度进行优化。田欣利等3 以接触应力、旋滚比及轴向刚度为目标，对轴承球径进行了优化设计，给出了球径的选取方法。

多目标优化设计问题中不存在-个最优设计使所第 24期 崔 立等 ：考虑转子系统耦合影响的球轴承动态性能多目标优化设计 l9l有的目标同时达到最优，-个 目标性能的改善往往以其它目标性能的降低为代价。传统的线性加权法是通过加权系数将多 目标规化为单 目标优化设计问题，遗传算法与适用于多目标处理的 Pareto方法相结合可适用于多目标优化设计 -5]，Deb 提出了非支配排序遗传算法 NSGA-Ⅱ，该算法可以较好的解决多 目标优化设计问题。Choi等 以寿命最长为 目标函数，使用遗传算法对轴承结构参数进行了优化设计。李铁军等以额定动负荷与额定静负荷为 目标，使用 NSGA I方法进行了优化设计。Gupta等 使用 NSGA I遗传算法对滚动轴承额定动负荷 、额定静负荷以及油膜厚度进行了多 目标优化设计，并研究了内圈沟曲率半径系数、球径等结构参数的敏感性。

转子系统动态性能的变化会使支承轴承的位移发生变化，从而引起支承轴承动态性能的变化，如旋滚比、刚度 、接触应力等，特别是转子系统存在较大的振动时，可能会引起轴承的打滑、发热非常严重 。

因此，应该考虑滚动轴承和其支承转子系统的相互耦合影响进行计算并对滚动轴承动态性能优化，得到适用于转子系统的支承轴承结构参数。

本文考虑滚动轴承与转子系统动态性能的耦合影响，在滚动轴承拟动力学模型的基础上，计算滚动轴承的动态性能参数，以额定动负荷、支承刚度、旋滚比为目标，基于 NSGA I遗传算法，进行多目标优化设计 ，并分析考虑耦合影响对优化结果的影响。

1 考虑耦合影响的球轴承动态性能1.1 计算方法球轴承动态性能的变化影响转子系统的响应，例如支承轴承刚度改变则转子响应随之改变。而转子响应的变化又会使支承轴承的位移发生变化从而引起支承轴承动态性能的变化，这是因为支承轴承内圈的位移等于转子在该位置处的位移响应，特别是当转子系统存在不平衡力或工况突变时，转子系统瞬态响应变化较大，支承轴承动态特性变化也较为明显 。所以，为了精确计算转子系统支承轴承的动态性能，需要考虑滚动轴承和其所支承转子系统的相互耦合影响，计算转子系统的响应和支承轴承的动态性能。

计算流程如图 1所示，给定结构参数与初始工况条件，使用 Newton.Raphson法求解方程组得到轴承刚度，使用有限单元法建立转子系统动力学方程组，由Runge-Kuta法计算转子响应，判断转子系统响应是否达到稳定，否则考虑转子系统耦合影响将转子响应值作为轴承初始位移重新计算轴承刚度，直至转子的响应达到稳定值。最后再根据转子在轴承节点处的位移响应计算轴承的动态性能。

1.2 转子系统动力学模型典型的滚动轴承转子系统通常由离散的圆盘、具有分布质量及弹性的轴段和轴承等部件组成。对于滚动轴承转子系统，使用有限元法建立动力学方程组如下：- ～ (CG)X ，(X，t) (1)其中： 是转子系统各节点的质量矩阵，C是转子系统各节点的阻尼矩阵，G 是转子系统各节点的陀螺矩阵， 是转子系统各节点的刚度矩阵，图 1 考虑转子耦合影响计算轴承动态性能Fig.1 Computation of dynamicperformances of beating consider是转子各节点的位移 coupling efect of rotor system向量，.厂(X，t)包括转子各节点上的载荷、重力、转子的不平衡力等。

对转子系统进行轴段与节点划分，每个节点考虑 6个自由度，然后对转子系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵、陀螺矩阵、载荷矩阵求解，并按照节点的顺序对各矩阵进行组装，矩阵组装过程如下。

首先计算杆单元的质量矩阵、陀螺矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵、载荷矩阵并组装；然后将刚性圆盘的质量矩阵、陀螺矩阵、不平衡力矩阵叠加到所在节点的相应矩阵中；再将支承轴承的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵叠加到所在节点的相应矩阵中。

1.3 杆单元模型对空问杆单元进行分析，每个节点考虑 6个 自由度，节点位移可以表示为： [ Y Ox Oyi ] (2)其中： 、Y。、 为节点 i沿 、y、 方向的线位移，0 0为节点 i处截面绕 、 轴的转角位移。

已知杆单元横截面面积、截面惯性矩、单元的扭转惯性矩、长度、材料弹性模量和剪切模量，则可根据有限元理论 求出杆单元的质量矩阵 、刚度矩阵 、阻尼矩阵 c 和陀螺矩阵 G 。

1.4 刚性圆盘模型当轴上安装有圆盘时，将其视为刚性圆盘，并将其质量矩阵、陀螺矩阵、不平衡力矩阵叠加到所在节点的相应矩阵中。

已知圆盘的质量、半径、不平衡质径积，则可建立振 动 与 冲 击 2012年第 31卷刚性圆盘的质量矩阵 、陀螺矩阵 G 不平衡力 ，其中：Fd0，mego costot，me(.o simot，0，0，0 (3)其中：me为圆盘的不平衡质径积， 为转速。

1.5 球轴承动态性能计算考虑普遍受载的角接触球轴承，轴承所受负荷[ ，F ， ， ， ]和位移[ ，Y ，z ，0 ，Ozb]。其中，轴承的位移与转子在支承轴承节点处的位移值相同。使用拟动力学方法建立分析模型，考虑球的离心力、惯性力和惯性力矩、摩擦力〃立内圈的平衡方程组如下：NF -∑(Qzsina c0sO/ )0 1N- ∑(Qcosa2-Ffiinot4)sinq 0J1N- ∑(Qcosa4-Fjsintx2j)cosqj0J1Ⅳ- ∑[r2( sina Fjcosot2J)-J lLDb cos 2J]cosj0- ∑[r (Q sina2JFzc0 )-，1LD6 cos 2J]simpj0(4)式中 是内圈沟曲率半径系数，Ⅳ为滚动体个数，r 是内圈沟道半径；竹是第 个滚动体方位角；Q Q ，分别是滚动体与外圈和内圈的接触力、接触角； 为沿接触椭圆长轴的摩擦力，可由文献[14]求得。

根据轴承刚度定义，得到表达式：K6：式中：ta sln ot2 j， Db为球径，Dm为轴承中径。

2 基于NSGA-II的多目标优化设计2.1 算法实现算法实现流程如下：首先将第 k代产生的新种群S 与父代 P 合并组成 R ，种群大小为 2n。然后对 R进行非支配排序，产生-系列非支配集 并计算拥挤度，由于子代和父代个体都包含在 尺 中，则经过非支配排序以后的非支配集 中包含的个体是 尺 中最好的，所以先将 放入新的父代种群 P 中，如果 小于 n，继续填充下-级非支配集 ，直到添加 时，种群的大小超出n，对 中的个体进行拥挤度排序，取前n-P川个个体，使 P 个体数量到达 n。然后通过选择、交叉、变异算子产生新的子代种群 s川 。

2.2 算法参数设置取初始种群为5O，进化代数为 100，单点交叉概率0.90，变异概率 0.O1。

2.3 多目标优化设计模型为保证支承轴承在转子系统中的动态性能最优，选取额定动负荷、径向刚度、旋滚比为 目标函数，多目标优化函数模型如下：min[0 (X)，0 (X)，0 (X)] 。 (7)(1)额定动负荷最大minO( )min[-Cd] (8)D D6≤25.4 mml 3.647f D > .c D 25 4 mm其中：计算系数 表示如下：37.9111.04( ) ( -厂门 。 ·：( 1(5) (1 ) J -1 J式中： D cosa/D ， 为初始接触角， 是外圈沟曲率半径系数。

(2)径向刚度最大式中： 为刚度矩阵，使用Newton-Raphson方法求解式(4)，求解过程中得到的雅可比矩阵即为刚度矩阵 。

滚动体绕接触面法线的 自旋运动导致摩擦发热，滚动体在套圈接触处的自旋运动角速度与滚动角速度的比值是滚动体与套圈接触区的旋滚比。第 个滚动体与内圈滚道接触的旋滚比可以写为j ：考：(1- Obc。s )tan( -卢) Dbsin 2J(6)minO (X)rain[-Kr] (9)式中： 取方程组(4)中矩阵 对角线上的值。

(3)旋滚比的最大值最小minO。( )：minmaxf 1 (10) L ，J优化变量选取轴承设计中较为重要的结构参数：外圈沟曲率半径系数、内圈沟曲率半径系数、球径和球数，取X[fl， ，D ，Nr，其中，球径优化后按照标准值选取，球数取整数。

考虑球径的选取应符合经验取值范围、球径和球- - - - - a-a a-a a-a -a a-a- 嵋- - - --阮 - - - -～ 嵋～ ～ ～ --阮以- - - -讽第24期 崔 立等：考虑转子系统耦合影响的球轴承动态性能多目标优化设计数满足填球角的要求、外圈沟曲率半径系数和内圈沟曲率半径系数的约束，约束条件可以写为：≤2(N-1)arc sin Db≤。

0.515 ≤0.54；0.515

使用 Matlab软件编制多 目标优化计算程序，获得参数组合的若干 Pareto非劣解，通过多目标的权衡和结构尺寸的限制选择最优解。

3 分 析对两个型号相同的球轴承支承柔性转子系统进行分析。球轴承的参数如表 1所示，弹性模量为 2.04×10Pa，泊松比为0.3，阻尼为200 N·s/m，轴承承受轴向预紧载荷200 N。

表1 球轴承的结构参数Tab.1 Structure parameters of bal bearings内径/mm外径/mm球径/mm球数接触角/(。)外圈沟曲率半径系数内圈沟曲率半径系数20476.3511l50.5150.525转子系统的参数在表 2中给出，转轴被划分为 4个轴段，转子系统划分为5个节点，支承轴承位于第 3、5节点。转轴的弹性模量为 2.04×10Pa，泊松比为0.3。转速为 5 000 r/min，节点 4存在不平衡量 1×10～ kg·m。

首先，根据本文的方法考虑转子系统耦合影响计算轴承动态性能，得到额定动负荷为7.63 kN，径向刚度为5.11×10 N/m，旋滚比最大值为0.22。对轴承结构参数优化设计以保证轴承具有较大的额定动负荷、较小的旋滚比以及较高的支承刚度。

表 2 柔性转子系统结构参数Tab.2 Stru cture param eters of flexible rotor system3.1 双目标优化设计选取轴承额定动负荷与径向刚度最大，进行双 目标优化设计得到的结果如图2所示。

额定动 负荷 ×10qN图2 目标函数为额定动负荷和径向刚度Fig.2 Optimisation of rated dynamic load and stifness表3为额定动负荷和径向刚度双目标优化结果95%区间的非劣解和对应的各优化结构变量。内圈沟曲率半径系数认小值、球径认大值可使额定动负荷和刚度增大。外圈沟曲率半径系数增大则刚度增大但额定动负荷减校表 3 额定动负荷和径向刚度优化结果 95%区间的非劣解Tab.3 Optimisation results of rated dynam ic load and stifness选榷向刚度最大和旋滚比最小，进行多目标优化设计得到的结果如图3所示。

表4为径向刚度和旋滚比双目标优化结果 95%区问的非劣解和对应的优化变量∩以看出，外圈沟曲率半径系数增大径向刚度增大旋滚比也增大；内圈沟曲率半径系数增大则旋滚比减小但同时径向刚度也减小；滚动体直径增大则径向刚度增大但同时旋滚比也增大 。

径rHJ剐度 ×10V(N.m。 )图3 目标函数为径向刚度与旋滚比Fig.3 Objectives are stiffness and spin-to-rol ratio7 6 6 6 6 6 5 5 5 - 旱 堇 ∞。'× 量唇振 动 与 冲 击 2012年第31卷表4 径向刚度和旋滚比优化结果 95%区间的非劣解Tab.4 Optimisation results of stifness and spin-to-roll ratio3.2 三目标优化设计选取额定动负荷最大、径向刚度最大和旋滚比最小为目标函数，得到优化结果如图4。

图4 目标函数为额定动负荷、径向刚度和旋滚比Fig.4 Objectives are rated dynamic load，stifness and spin-to·-rol ratio表5 三目标优化结果95%区间的非劣解Tab.5 Optimisation results of rated dynamic load-stifness and spin-to·-roll ratio表 5为额定动负荷、径向刚度和旋滚比三 目标优化结果95%区间的非劣解和优化变量∩以看出，外圈沟曲率半径系数增大则额定动负荷减孝径向刚度增大、旋滚比增大；内圈沟曲率半径系数增大则额定动负荷减孝径向刚度减孝旋滚比减小；滚动体直径增大则额定动负荷增大、刚度增大、旋滚比增大。

对轴承动态性能进行多目标优化，得到 Pareto非劣解后，可以根据使用要求，如刚度较大或旋滚比较小等，从这些非劣解中选龋例如，选取外圈沟曲率半径系数为0.523、内圈沟曲率半径系数为0.519、球径为6.747、球数为 l1，和优化前的动态性能参数对比可知，额定动负荷增大了21.76%，刚度增大了5.49%，旋滚比最大值减小了52.27%。

3.3 参数敏感性分析分析轴承设计参数值的误差对轴承动态性能的影响，可以指导轴承参数的设计。在本文得到的优化结果附近的 1% 范围内改变设计参数值，使用均匀分布函数在优化结果 1% 范围内生成 100个结构参数值，研究各参数变化对动态性能的影响，结果如图5所示。

图5(a)中，外圈沟曲率半径系数在 (0.520 4，0.525 6)变化，内圈沟曲率半径系数和球径不变，得到的轴承动态性能变化如图所示。其中，额定动负荷变化2.47%，径向刚度变化 了 2.42%，旋滚 比变化了5.51% 。

图5(b)中，内圈沟曲率半径系数在 (0.516 4，0.521 6)变化，外圈沟曲率半径系数和球径不变，得到轴承动态性能变化如图所示。其中，基本额定动载荷变化了6.15%，径向刚度变化了2.82%，旋滚比变化了23.53% 。

图5(c)中，球径在(6.713 3，6.780 7)变化，外圈沟曲率半径系数和内圈沟曲率半径系数不变，得到轴承动态性能变化。其中，额定动负荷变化 1.93%，径向刚度变化了0.32%，旋滚比变化了 1.21%。

可以发现，各参数在相同的变化范围内，滚动轴承的额定动负荷、刚度、旋滚比对内圈沟曲率半径系数的小范围变化敏感性最高，对外圈沟曲率半径系数敏感性次之，对球径参数敏感性较低。

3.4 与不考虑耦合影响的优化结果比较图6研究了不考虑转子系统耦合影响时，轴承动态性能三目标优化的结果。与图4优化结果 比较 ，发现不考虑转子系统耦合影响得到的额定动负荷不变，径向刚度和旋滚比都减校选取外圈沟曲率半径系数为0.523、内圈沟曲率半径系数为 0.519、球径为 6.747、球数为 11，计算不考虑耦合影响得到的计算结果，与考虑耦合影响结果对比，结果如表 6所示∩以发现，轴承结构参数相同时，两种计算方法得到的径向刚度相差了4.08%，旋滚比相差9.52%。这是由于不考虑转子系统对轴承动态性能耦合影响，就忽略了转子系统不平衡力等引起的响应对轴承响应的影响，从而引起轴承动态性能的差异 J。

如果忽略转子系统耦合影响对轴承动特性进行优化设计，将得到比实际值偏低的动态性能参数。

表6 转速为5 000 r/min时两种计算方法得到结果对比Tab.6 Comparation of computation resultswith two methods at 5 000 r/min.～ .- -吾 至 御Ⅲ第 24期 崔 立等：考虑转子系统耦合影响的球轴承动态性能多目标优化设计 195- ×丑醚- ×避外圈沟曲率半径系数变化1% (b) 内圈沟曲率半径系数变化1%告×丑图5 设计参数变化 1%引起动态性能的变化Fig.5 Changes of dynamic performances due tO change of ball parameters with l% ratio- ×(a)不考虑耦合影响得到的优化结果 (b)考虑耦合影响得到的优化结果图 6 不考虑耦合影 响得到 的优化结果Fig.6 Optimisation results withoutcoupling efect of rotor system转速为 10 000 r/min时，分别使用考虑耦合影响与不考虑耦合影响的方法进行三目标优化设计，得到结果如图7所示。

选取外圈沟曲率半径系数为0.523、内圈沟曲率半径系数为0.519、球径为 6.747、球数为 11，计算不考虑耦合影响得到的计算结果，与考虑耦合影响结果对比，结果如表 7所示∩以发现，两种计算方法得到的径向刚度相差了8.75%，旋滚比相差22.13%。

对比表 6与表 7可以发现，当转速较低时，考虑耦合影响与不考虑耦合影响的优化结果差别较小，当转速增大时两者差别较大，特别是旋滚比计算结果差别增大明显。

因此，为获认为准确的动态性能参数，高速转子系统中支承滚动轴承的优化设计应考虑耦合影响进行多目标优化设计。

表 7 转速为 10 000 r/min时两种计算方法得到结果对比Tab.7 Comparation of computation resultsWith two methods at 10 000 r/min图7 转速为 10 000 r/min时的优化结果Fig.7 Optimisation results at 10 O00r/min孝径向刚度增大、旋滚比增大；内圈沟曲率半径系数增大则额定动负荷减孝径向刚度减孝旋滚比减小；滚动体直径增大则额定动负荷增大、刚度增大、旋滚比增大。

(2)滚动轴承的额定动负荷、刚度、旋滚比对内圈沟曲率半径系数的变化非常敏感，其中，旋滚比最为敏感。因此，对该参数设计时公差精度应较高。

(3) 高速转子系统中支承滚动轴承的优化设计应考虑转子响应的耦合影响进行多目标优化设计。