基于信号共振稀疏分解的包络解调方法及其在轴承故障诊断中的应用

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当滚动轴承的内圈、外圈或滚动体有损伤时，随着轴承的周期性旋转，故障表面与其他元件表面在接触过程中会发生周期性机械冲击，激起内、外圈的固有频率，其振动信号中往往出现周期性的瞬态冲击信号，形成调制现象L1]。因此，对轴承故障振动信号中的周期性冲击成分进行提韧解调分析是轴承故障诊断的关键。

传统的包络解调方法有希尔伯特变换解调分析和广义检波滤波解调分析 ，但这两类解 调方法都存在-定的局限性，即会将不包含故障信号的相加信号以两信号的频率之差作为调制频率解出[1 ]，因此，需对待解调信号进行预处理。共振解调方法常用于冲击信号的解调分析，该方法通过中心频率等于系统固有频率的带通滤波器将系统固有振动分离出来，然后通过包络检波器检波，去除高频振动的频率成分，得到只包含故障特征信息的低频包络信号，对这-包络信号进行频谱分析便可获取故障特征信息-3]。但该方法需要先验知识来确定滤波的中心频率和带宽。文献[5，6]以小波分解为带通滤波器组分离出高频振动信号，再利用包络解调分析从高频振动信号中提取轴承故障特征。但小波分解是对时频面的-种格型分解，缺乏自适应性，且小波基函数的选择难以确定。EMD是-种 自适应信号分解方法L7]，该方法通过对信号进行不断筛分，从而将-个信号分解成若干个本征模态函数及残余信号的和，从而反映信号的特性。经验模态分解已成功应用于轴承的故障诊断，且取得了较好的效果[8]，但EMD本质上为-种二进制滤波器组 ，当干扰信号频带与系统固有频率重叠时，EMD则表现得无能无力，且EMD在理论上存在过包络、欠包络、模态混淆等问题，有待进-步研究。

Selesnick最近提出了信号共振稀疏分解方法[ ，与传统的基于频带划分的信号分解方法不同。该方法根据瞬态冲击信号与持续振荡周期信号品质因子(定义为中心频率与频率带宽的比值，用Q表示)的不同，将-个复杂信号分解成由持续振荡成分组成的高共振分量和由瞬态冲击成分组成的低共振分量。瞬态冲击信号为宽带信号，具有低的品质因子；而持续振荡周期信号为窄带信号，具有高的品质因子。因而，根据品质因子的差异，可实现瞬态冲击信号与持续振荡周期信号的有效分离。信号共振稀疏分解方法首先根据待分析信号选择两种高低不同的品质因子，通过品质因子可调小波变换分别建立收稿 日期 ：2011-11-14；修订 日期 ：2012-03-23基金项 目：国家自然科学基金资助项 目(51275161)；湖南势技计划资助项 目(2012SK31 84)；高等学校博士学科点专项科研基金(20O90161110006)和中央高校基本科研业务费资助项 目培报.誊 e学程 ∞工V动 a 振第 6期 陈向民，等：基于信号共振稀疏分解的包络解调方法及其在轴承故障诊断中的应用 629高共振分量与低共振分量的稀疏表示形式，再利用形态学分析方法建立稀疏分解目标函数，最后通过分裂增广拉格朗日收缩算法优化求解，得到信号的高共振分量和低共振分量。

本文将信号共振稀疏分解方法引入轴承故障诊断，提出了基于信号共振稀疏分解的包络解调方法以诊断轴承故障。当轴承内、外圈出现裂纹、点蚀等故障时，重要的故障信息往往包含在瞬态冲击信号中，因此，对瞬态冲击信号的有效提取是轴承故障诊断的关键。基于信号共振稀疏分解的包络解调方法，首先利用信号共振稀疏分解方法将轴承故障信号分解成包含系统持续振荡周期信号成分的高共振分量、包含轴承故障冲击成分的低共振分量及残余分量，再对低共振分量进行包络解调分析，根据包络解调谱进行轴承故障诊断。算法仿真和应用实例表明该方法能有效地提取轴承故障信号中的冲击成分，凸显故障特征。

信号共振稀疏分解方法1.1 信号的共振属性信号的共振属性用品质因子Q定义。Q越大，信号的频率聚集性越好，具有越高的共振属性；反之，Q越小，信号的时间聚集性越好，具有越低的共振属性。图1表明了信号共振属性的概念。图1左边为信号时域波形图，右边为对应的幅值谱图。图 1(a)，1(c)为仅包含单个正弦周期的冲击信号，品质因子Q较小，定义为低共振信号；图1(b)，1(d)为包含多个正弦周期的脉冲信号，品质因子Q较大，定义为高共振信号。图1(a)所示信号与图1(c)所示信号、图1(b)所示信号与图1(d)所示信号之间可通过时间尺度的变化互相转化，时间尺度的变化会引起脉冲信号频率发生变化，但对信号的共振属性没有影响，即具有相同的品质因子。所以高、低共振信号都可能同时包含了低频信号和高频信号。高共振信号可通过具有高Q的基函数来实现稀疏表示，而低共振信号则可通过具有低Q的基函数来实现稀疏表示。

传统的线性滤波方法按频带划分对信号进行分解，但当信号分量的中心频率相近且频带相互重叠时，如图1中(a)与(b)，(c)与(d)所示信号的中心频率重叠在-起，此时线性滤波方法就会失效，而信号共振稀疏分解方法从信号共振属性角度出发，综合考虑了信号中心频率与频率带宽因素，能有效分离中心频率相近且中心频率带相互重叠但具有不同品O.20.1粤 0.0-0.10.10O.O5耍 。

50 100 150 200采样点数ⅣI4。 。 。 。 r氅(a)150 1OO 15O 200采样点数ⅣI筵归-化频：f/m(b)350 100 l5O 200采样点数Ⅳ磐归-化频f/I-Iz(c)Q150 100 l5O 200采样点数Ⅳ磐归-化频-f/Hz归-化频-f/Hz(d)Q；3图1 不同品质因子信号的时域波形及频谱Fig.1 The time domain waveform and amplitude spec-trum of the signals with different Q-factor质因子的信号分量。

1.2 品质因子可调小波变换二进制小波变换作为-种恒Q变换(其Q值由所样函数确定)，在对分段光滑信号的稀疏表示中显示了其有效性。但由于其品质因子相对较低，频率分辨率不高，因而在对频率分辨率要求较高的信号分析中，二进制小波不适用[ ]。有理膨胀小波本质上为-种过完备的二进制小波变换[1 "]，相对于二630 振 动 工 程 学 报 第25卷进制小波具有更高的品质因子和更高的频率分辨率。品质因子可调小波变换与有理膨胀小波变换类似[1 ，具有完全离散、完美重构、适度完备、依赖于两通道滤波器组，并利用离散傅里叶变换计算等特点。但相对于有理膨胀小波变换，品质因子可调小波变换概念简单；利用基为2的快速傅里叶算法，计算更加高效；品质因子和冗余度更容易量化。

信号共振稀疏分解方法利用品质因子可调小波变换分别获取高Q变换与低Q变换的基函数库，并计算其相应的变换系数∩调品质因子小波变换通过带通滤波器组实现，其两通道滤波器组如图2所示。

(a)分析滤波器组(a)Analysis filter bank(b)合成滤波器组(b)Synthesis filter bank图 2 两通道滤波器组Fig.2 The tWO-channel filter bank图2中 为高通尺度因子， - ；a为低通V T I尺度因子，a-1-导，r表示冗余度。子带信号 。(n)的采样频率为a ， ( )的采样频率为 ， 为原信号z( )的采样频率。

品质因子可调小波变换利用图2(a)所示两通道分解滤波器组以迭代的方式实现信号的分解，L层品质因子可调小波变换如图3所示，图3中 表示信号经过第 层变换得到的高频系数， 表示经过第j；：- j I -- - 竺 墨图3 品质因子可调小波变换图Fig.3 Wavelet transform with tunable Q.factor层变换得到的低频系数， -1，，L。

图4(a)为品质因子Q-3，冗余度r-3，分解层数 L-12时的品质因子可调小波变换的频率响应图，从图中可以看出其频率响应为-组非恒定带宽的滤波器组，且相邻频带并不正交。随着分解层数的增加，中心频率0 - 口- 厂j， J- 1，，L (1)fu随之降低，相应的带宽BW1BW -÷ 7， J-1，，L (2)厶也随之变窄。因此，品质因子可调小波变换本质上也是-种具有-定冗余度的恒Q小波变换，但其品质因子可预先设定，并不依赖于基函数。图4(b)为相应的小波时域波形图，从图中可看出，随着分解层数的增加，小波的振动时间随之变长。

1- 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5归-化频率f/I-Iz(a)频率响应(a)Frequency responseW. I 。

- 、/ 、/ - ---------、 /、 厂、-，～-----～ 0 50 100 l50 200采样点数Ⅳ(b)时域波形Co)Timedomainwaveform图4 Q-3，r-3，L-12时的品质因子可调小波频率Fig.4 Frequency response and time domain waveformof the tunable Q-factor wavelet when Q-3，r-3.L121.3 高共振分量和低共振分量的分离信号共振稀疏分解方法利用形态分量分析将信号中各成分按振荡特性进行非线性分离 ]，建立起高共振分量和低共振分量各 自的最佳稀疏表示形式。

2 3 4 5 6 7 8 9mn捂第6期 陈向民，等：基于信号共振稀疏分解的包络解调方法及其在轴承故障诊断中的应用 631假定观测信号z可表示为两个信号z 与X 之和X- z1-i-z2， z，z1，z2∈ R (3)形态分量分析的目的即是从观测信号X中分别估计出源信号z 和z。。假定信号z 和 ∩分别用基函数库(或框架) 和 。(S ， 具有低的相关性，本文中 ， 。分别表示为高、低品质因子可调小波的滤波器组)表示，形态分量分析的-种目标函数可表示为J(w1，W2)- l z-S1W1- 2 2 Il；l l l I (4)式中 ， 。分别表示信号z ， ：在框架 ， 。下的变换系数； 和 为正则化参数， 和 。的取值对分解出的高共振分量与低共振分量的能量分配有影响，给定 ，增大 会使 所对应分量的能量减少；同时增大 ， 。的值，则会使残余信号能量增大[1 。

在式(4)中，由于 范数不可微，且参数较多，使得式(4)的求解变得困难口 。信号共振稀疏分解方法利用分裂增广拉格朗日搜索算法[1 ，通过迭代更新变换系数 ， 。，使目标函数 最携，最终实现高共振分量和低共振分量的有效分离。

假设 目标函数t厂最小时，对应的高共振和低共振变换系数分别为 ， ，则求取的高共振分量和低共振分量的估计值分别表示为z1- S1 ， z2 S2 (5)2 基于信号共振稀疏分解包络解调的滚动轴承故障诊断原理滚动轴承的故障特征频率计算公式为[1]：1 ， 、厂0-寺 l 1--cosaI z (6) 、- /1 ， - 告厂，I 1cosal z (7) - ，式中 为外圈故障特征频率； 为内圈故障特征频率； 为轴的转动频率；d为滚动体直径；D为轴承节径；a为接触角；Z为滚动体个数。

当轴承内、外圈或滚动体出现故障时，在轴承的旋转过程中，故障表面会周期性地撞击滚动轴承其他元件表面，产生间隔均匀的脉冲力，其振动信号中往往出现周期性的瞬态冲击成分，形成调制现象。因而，可通过对周期性的瞬态冲击信号进行包络解调分析，根据包络谱中的调制频率进行轴承故障诊断。

当出现外圈故障时，其调制频率为外圈故障特征频率及其倍频，而出现内圈故障时，其调制频率除内圈故障特征频率及其倍频外，往往还包含转频及其倍频[18，19].但对于轴承故障信号，特别是早期故障信号，由于包含轴承故障信息的冲击成分能量小，往往淹没在机械系统自身振动与环境噪声中，不易察觉。

因此，需要对包含轴承故障信息的冲击成分进行提龋基于信号共振稀疏分解包络解调的轴承故障诊断步骤如下：(1)根据轴承故障信号 选取高共振品质因子Q ，低共振品质因子Q。(Q -般取 1，Q 取4即可)；高品质因子变换冗余度r ，低品质因子变换冗余度r2(r ，r -般取3即可)；高品质因子变换分解层数厶、低品质因子变换分解层数 ：(随着分解层数的增加，对低频段成分的分解将越细微，但计算时间将增加。

最大分解层数公式为：厶 ≤ ，Ⅳ 为信号长度)；本文中取Q 4，Q。-1，r -，I -3，L -27，L2- 11。

(2)根据步骤(1)中参数，分别获取高Q品质因子可调小波变换与低Q品质因子可调小波变换的基函数库 。和 ，并利用基函数库分别对轴承故障信号z进行变换，获取初始变换系数 ， 。

(3)确定规则化参数 ， 。(本文中取 0.5)；建立如式(4)所示 目标函数J，利用分裂增广拉格朗 日收缩算法估计出最优的变换系数 和；(4)利用式(5)对系数Ⅵ，f和 分别进行信号重构，即可获取高共振分量； 、低共振分量王。及残余信号(信号重构误差， sz-王 -互：)。

(5)对低共振分量 进行包络解调分析，根据包络谱诊断轴承故障。

3 算法仿真为验证基于信号共振稀疏分解的包络解调方法的有效性与优越性，设置式(8)所示冲击信号，信号载波频率为520 Hz，衰减系数为-420。用频率 -100 Hz的正弦信号对上述冲击信号进行调制，即冲击之间的时间间隔T0.01 S。信号采样频率为8 192 Hz，采样点数为4 096，时长为0.5 S，得到的周期冲击信号时域波形如图5(a)所示。图5(b)为图5(a)的幅值谱，图中可看出周期冲击频带较宽。图5(c)为图5(a)的包络解调谱，图中可看出该包络谱主要由 及其谐波组成。

z e 0× COS(2× 7r× t× 520) (8)振 动 工 程 学 报 第25卷0.5耍。

O-30.2O.100.1 0.2 0.3 0.4 0.5时间f/s(a)时域波形(a)Time domain waveformO l 2 3 4频率f/kHz(b)幅值谱(b)Amplitude spectrum所示。图7(a)中，主要包括频率为 ，厂2的周期成分。

图7(b)低共振分量中冲击成分明显，冲击之间的时间间隔丁：0.01 S，与图5(a)冲击间隔吻合。图7(c)中的残余信号为原始信号与高共振分量和低共振分量之差，即信号重构误差，可以看出，残余信号能量非常小，表明信号共振稀疏分解方法具有良好的重构性能(鉴于此，下文中残余分量将不予给出)。

对图7(b)低共振分量进行Hilbert解调分析，得到的包络谱如图8所示，图中谱峰主要由 及其谐波构成。对比图5(c)可看出，基于信号共振稀疏分解的包络解调谱能很好地提取出冲击信号的调制信息，验证了本文方法的有效性。

图9为利用EMD方法对图6所示合成信号进行分解和解调分析。图9(a)为利用EMD分解得到的分量图，取第-个IMF分量进行包络解调分析，得到的包络解调谱如图9(b)所示，图中峰值为两正弦信2垂 。

1 2 3 4 -2频率f/kHz(c)包络谱(c)Envelope spectrum图5 周期冲击信号的时域波形、幅值谱及包络谱Fig.5 The time domain waveform，amplitude spectrumand envelope spectrum of the periodic impulsesignal对图 5(a)所示周期冲击信号加入频率分别为fl-434 Hz，fz-582 Hz，幅值均为1的正弦信号(此时，正弦信号频谱与周期冲击频谱相互重叠)，再加入幅值为0.1的随机噪声，得到的合成信号时域波形如图6所示，从图中可看出，冲击信号已被淹没。

用信号共振稀疏分解方法提取冲击信号，对图6合成信号进行信号共振稀疏分解，得到的分量如图720坚- 20.1 0.2 0.3 0.4 0.5时间t/s图6 合成信号Fig.6 The synthesis signalO·5运 0馨- 0.52藿 。

- 20.1 0.2 0.3 0.4 0.5时间 t/S(a)高共振分量(a)High resonance component0.1 O.2 O-3 0.4 0.5时间 t/S(b)低共振分量(b)Low resonance comonent0.1 0.2 0.3 0.4 0.5时间 t/s(c)残余分量(c)Residual component图7 合成信号共振稀疏分解Fig.7 Resonance-based sparse signal decomposition re-suits of the synthesis signal第 6期 陈向民，等：基于信号共振稀疏分解的包络解调方法及其在轴承故障诊断中的应用 6330.10霎005OO 1 2 3 4频率f/姐 z图8 基于信号共振稀疏分解的包络谱Fig.8 Envelope spectrum based on resonance-basedsparse signal decompositionO 0.1 O.2 O-3 0.4 0.5时间t，S(a)EMD分解(a)EIV[D decompositionO.80.6 i璺i罂 0.4O.2O0 l 2 3 4频率f/kHz(b)第1个IMF分量包络解调谱Co)The envelope spectrum ofthe first IMF component图9 合成信号EMD包络解调谱Fig.9 Envelope spectrum based on EMD of the syn-thesis signal号频率之差 。

4 应用实例为验证基于信号共振稀疏分解的包络谱方法在轴承故障诊断中的有效性，分别设置滚动轴承内、外圈故障进行实验。试验轴承为6307E型滚动轴承，利用 激光 分 别 在 轴 承 内 圈 和 外 圈 上 切 割 宽 为0.15 mm，深为 0.13 mm的槽，以模拟内圈和外圈故障。采用加速度传感器拾取振动信号，采样频率为4 096 Hz，采样点数为1 024。试验时，滚动轴承外圈故障的轴转速为1 500 r/min，内圈故障的轴转速为1 200 r/rain。经计算，外圈、内圈的故障特征频率分别为76.5，98.8 Hz。

4.1 滚动轴承外圈故障图1O为滚动轴承外圈故障原始振动信号图，图中冲击成分不明显，因而需对故障特征做进-步提龋10吕。

茕 -10O 0.O5 0.1O O.15 O.2O时间t/S图1o 轴承外圈故障原始振动信号Fig.10 The original vibration signal with bearing outerrace fault对图10所示信号进行信号共振稀疏分解，得到的分量如图11所示。图11(b)中明显存在冲击成分。

对图11(b)所示低共振：分量进行Hilbert解调分析，得到的包络谱如图12所示，图中 为外圈故障特征频率。

4.2 滚动轴承 内圈故障图13为滚动轴承内圈故障原始振动信号时域波形图，图中可看出信号中存在冲击成分，但无法判e 5昌0毯型-5R s。

- sO 0.05 0.10 0.15 0.2O时间t，s(a)高共振分量(a)High-reson.'mce component0 O.05 0.1O 0.15 O.2O时间 t，s(b)Low-resonance component图u 轴承外圈故障振动信号共振稀疏分解Fig.1 1 Resonance-based sparse signal decompositionresults of bearing outer race fault vibrationsignal634 振 动 工 程 学 报 第25卷4-"07g 00R 频率，/H2图12 外圈故障振动信号低共振分量包络谱Fig.12 Envelope spectrum of low-resonance compo-nent extracted from outer race fault vibrationsignal≈目 50- 50 0.05 0.1U 0.15 0.20 U.25时间t/s图l3 轴承内圈故障原始振动信号Fig.1 3 The original vibration signal with bearing innerrace fault断故障类型，因而需对信号做进-步处理。

对轴承内圈故障原始振动信号进行信号共振稀疏分解，得到的分量如图14所示。图14(b)所示低共振分量中冲击成分明显。

遗-2型-4z0餐-o o.05 o.1o o.15 o.2O时间f/s(a)高共振分量(a)High-resonance component对图14(b)低共振分量进行Hilbert解调分析，得到的包络谱如图15所示，图中 为转频， 为内圈故障特征频率。

0.2吕O.1瑙5 结 论(1)当滚动轴承出现局部损伤时，零部件在接触过程中会产生机械冲击，轴承振动信号中往往包含瞬态冲击成分，因而，对包含轴承故障信息的瞬态冲击进行提韧解调分析是正确诊断轴承故障的关键。

(2)与传统的基于频带划分的信号分解方法不同，信号共振稀疏分解方法根据瞬态冲击与背景噪声品质因子的不同，将信号分解成包含背景噪声的高共振分量和包含瞬态冲击的低共振分量，有效地实现了背景噪声与瞬态冲击的分离。

(3)本文方法首先根据实测轴承振动信号选择两种高低不同的品质因子；利用品质因子分别对轴承振动信号进行品质因子可调小波变换，获取相应变换系数；再利用形态学分析方法建立稀疏分解 目标函数，并用分裂拉格朗日收缩算法优化求解，获取信号中的高共振分量和低共振分量；最后对低共振分量进行包络分析，根据包络谱进行轴承故障诊断。

算法仿真和应用实例表明本文方法能有效地提取轴承故障信号中的冲击成分，凸显故障特征。