两轴正交圆切口单轴柔性铰反射镜支撑结构

反射镜柔性支撑结构在协调镜体与其支撑结构的温度变形差异、缓解支撑点处的温变附加机械载荷 、降低镜体温度应力起着关键作用。由于具有形状简单 、易于加工等优点 ，基于圆弧切 口柔性铰的柔性支撑结构在大尺寸光学反射镜结构支撑领域得到了广泛的应用 。

柔性铰链的基本结构尺寸和系统配置参数共 同决定 了反射镜柔性支撑结构的工作特性 。自从 20世纪 60年代以来 ，J.M.Paros、N.Lobontiu、S.T.Smith、吴鹰飞和周兆英 、陈贵敏等相继提出，推导并简化发展了圆切 口单轴柔性铰 的柔度模型[3-s，Schotborgh等人还提出了-种无量纲图解法的柔性铰链设计方法8]。这些研究成果为柔性铰链的设计提供 了宝贵的理论依据，具体使用和适用范围也各不相同。

文中分析 了单轴柔性铰链转动过程 ，得 出了单轴柔性铰链 弯曲转角 0z以及等效转动半径 如 与其自由端特征点平动位移之间的几何关系。推导得出了简化的单轴柔性铰链弯曲变形计算模型。基于实际材料测试 ，系统研究了切 口半径 r、最薄切 口厚度t对圆切 口单轴柔性铰链弯曲柔度系数、等效转动半径与其几何参数 的影响〃立了基于圆切 口柔性铰的两轴反射镜柔性支撑结构简化计算模型。

l 单轴柔性铰链转动分析模型1.1 转动过程分析单轴柔性铰主要是利用其面内弯曲柔度进行工作的，转动分析模型如图 l所示 。

图 l单轴柔性铰转动分析模型Fig.1 Bending analysis model of single-axis flexure hinge假设 P0l(Xo1，Yo1)、Pl( l，Yu)和 P21(x2l，Y21)分别为柔性铰 自由端的中心、上端和下端的点。在 自由端 P。 处弯曲载荷( 或 Mu)的作用下 ，自由端会同时产生角位移 0z和线位移 。，则存在如下的几何关系。

sin0z (1)式中：r、t分别为切 口半径和最薄部位厚度 ；Ax为P。

和Pm在 X方向的位移之差 ；uym为P 在 l，方 向的位移 ；dc为等效转动半径。

变形前P P 和 三点坐标关系如下 ：fXlX2lX0ldcy ：y01：02由坐标旋转变换可得 ：sin0z (3)dc -uy21-Uyn . (4)sin0z UX21-UXll 2公式(3)和(4)揭示了转动过程 中柔性铰链 自由端转角 、等效转动半径 与 自由端上下对称两点的平动位移分量.以及柔性铰链特征参数 r和 t之间的关系。

1.2 弯 曲变形计算柔性铰链所连接部件的刚度-般远大于柔性铰链 ，可视为刚体 。柔性铰链可视作非常规扭转弹簧。

图 2简化 的单 轴柔 性铰 受力 分析模 型Fig.2 Simplified bending model of the single-axis flexure hinge假设柔性 铰链左端(点3)固支 ，右端(点 1)与被连构件相连。被连构件承受弯曲力 和弯矩 ，目标点 P， ，Y )的变形计算过程如下 ：1.2.1 载荷移置按照公式(5)和(6)，将所有弯 曲力 凡 和弯矩1767 红外与激光工程 第 42卷向柔性铰链 的 1点处进行平移。

∑ ∑ · (5)Fly∑凡 (6)1.2.2 变形求解目标点 P 的弯曲变形可分解为弯曲力 F。 所致位移和弯矩 所引致位移的线性叠加。则存在：(却 )卸村)△p ) (7)式 中：f )为 所 引起的位移向量 ；f△ )为所引起的位移向量 。

在小变形范围内，由坐标旋转变换可得△p村)和△p 的表达形式如下：，txz#in。O：z d-y C OS ) )(8) 附J 删 1J llf。 J， 从而，目标点P 总变形量的简化计算表达式如下 ： 裟 d，dCM) ( · -肥 ( · J J公式(10)给出了单轴柔性铰链 自由端任意 目标点P 的弯曲变形简化计算公式，其中的 C 和 c晚-称 为弯 曲柔度 系数 ，如 和 出，称为等效转动半径 ，它们与柔性铰链的结构尺寸相关 。

2 转动特性参数2.1 有限元分析有限元分析已成为设计 中-种非常重要的虚拟试验手段 ，可为设计人员提供具有足够精度的分析结果。文中利用有限元分析的手段研究了结构参数对圆切 口柔性铰弯曲柔度系数 C＆啦 和 C＆ ，以及等效转动半径 的影响。

2.1.1有限元建模为提高有限元分析结果的置信度 ，对试件材料力学性能进行了实际测试。图 3是实际试样及其应力-应变曲线。

在进行网格剖分时，采用了具有较高计算精度的等参数 6面体单元。同时对柔性铰链的切 口敏感部位进行 了局部细化(最薄部位剖分 4-6层)，所构建的有限元分析模型如图 4所示 。

o o.02 0.04 0.06 0.08 0.10Strain(a)TC4拉伸试样 (b)TC4真实应力-应变曲线(a)TC4 tension test specimen (b)True stress-strain CHIVe of TC4图3钛合金试样及应力应变曲线Fig.3 TC4 tension test specimen and true stress-strain curveyL图4单轴柔性铰有限元分析模型Fig.4 Finite element model of the single-axis flexure hinge2.1.2 弯曲柔度 系数弯 曲柔度系数 C＆肫和 C - 随柔性铰链几何尺寸的变化趋势如图 5所示 。

l/m m(a)C＆-№随 t的变化规律(a)C VS ttimm (b)C＆- 随 t的变化规律(b)C＆-Fy VS t图5弯曲柔度随 ，的变化趋势Fig.5 Bending compliance VS different t value第 7期 李海星等 ：两轴正 交圆切 口单轴柔性铰反射镜支撑结构 1768弯曲柔度系数分析结果表明 ：(1)切 口半径-定 ，C＆ 和 C＆ 随切 口最薄部位厚度尺寸 t的增大而减小 ；(2)当 t增 大到-定程度时，不同切 口半径 的弯曲柔度系数趋于-致 ：(3)对于同-柔性铰链 ，C＆ 比 C＆ 大 12个数量级 。这是 由于纯弯矩和弯曲力作用下转动 中心位置的不同而造成的。

2.1.3 等效转动半径研究表明单轴柔性铰链的纯弯曲和端部弯曲的本质区别在转动中心位置 的不同。图 6是等效转动半径与 r比值( r和 dcflr)随最薄切 口部位厚度 t的变化规律曲线 。

t/mm(a)纯弯曲等效转动半径比随 t的变化趋势(a)Trend of the equivalent rotation radius VS different t valueunder pure bending moment(b)端部弯曲转动半径比随 t的变化趋势(b)Trend of the equivalent rotation radius VS different t valueunder end bending force图 6等效转动半径随最薄切口厚度 t的变化趋势Fig.6 Trend of the equivalent rotation radius VS differentminimum thicknesses of the hinge cutout section从 图 6的曲线走势可看出：随着 t的增加 ，如 r和 dCFIr随之增 大 ；然而 ，dcM/r的变化 范围仅限于1～1.2之 间 ，而 dcflr变动幅度很 大 ，在 l-30之间 ；t- 定 ，切 口半径 r越小，等效半径与 r的比值越大。

上述分析表 明：(1)纯弯曲的转动中心接近柔性铰链 的几何中心点 2(如图 2)，而端部弯曲的转动中心远离柔性铰链 的几何中心点 ；(2)随着柔性铰链刚度 的增加 ，转动中心偏离几何 中心的程度增加 ，且端部弯 曲的偏离程度大于纯弯曲。

2.2 实 验对 比为验证上述简化的单轴柔性铰链弯 曲变形计算模型(公式(10)的可靠性。在使用有限元分析得 出的弯 曲柔度 系数 、等效转动半径 出 的基础上 ，设计 了如图 7(a)所示的单轴柔性铰链力学性能实验装置[9]，通过该装置可对柔性铰进行端部弯曲和纯弯 曲力学性能实验 ，图 7(b)是部分弯曲试件 的实物照片。

(a)实验装置 (b)弯曲试样(a)Test setup (b)Test specimen图7单轴柔性铰实验装置及弯曲试样Fig.7 Test setup and specimen of the single-axis flexure hinge表 l给出了两组不同结构参数的单轴柔性铰链弯曲变形简化计算结果和实验结果。弯曲力 100 N，加载点和 目标点位置的相关参数详见表 l。

表 1计算值和实验结果对比Tab.I Comparison of the calculated value andexperiment test results表中数据表明：1769 红外与激光工程 第 42卷(1)计算值和实测值具有较好的-致性 ，相对误差优于 10%。这说明公式(8)和(9)中的 cosO"-l和COS% ，以及 COS 圭l和 sin 圭 简化处理可满足工程分析要求 ：(2)随着柔性铰链刚度的增加 ，等效转动半径的拟合误差也会增大 ，从而使得简化计算模型的计算误差也有所增加。

3 反射镜柔性支撑简化建模为满足反射镜支撑的运动学约束关系，往往采用多个如图 8所示的两轴正交柔性支撑结构。这样既可保证足够的结构支撑刚度 ，又能满足温度应力调节需求。

图 8反 射镜 柔性 支撵结 构不 意 图Fig.8 Scheme of the two-axis flexure mirror mount除了柔性铰链的局部特征参数之外 ，该柔性支撑结构还包括两个结构配置参数(如图 8)，它们分别是加载端距两个柔性轴几何 中心的距离 Ll和 。

假设在其加载端施加如图 8所示 的弯 曲力 F，该柔性支撑结构的弯曲变形计算过程如下 ：3.1.1 载荷分解按照公式(11)将力 F向 X轴和 y轴进行分解。

1 ∞ (1)F·sinb3.1.2 弯曲变形计算ux(Ll-rdCM)· ·(Ll-r)-C＆-胜uy(LL2 --rd如cu )F y(cL 2--毋r).c (12)· · · (L2-rdCM)·F ·C -Fy弯曲载荷分量 和 分别会使柔性轴 1和柔性轴 2发生弯曲转动。计算方法与单轴柔性铰链的计算方法类似 ，从而 自由端的计算弯曲变形计算表达式如公式(12)所示。

4 结 论推导 出了简化的单轴柔性铰链弯曲变形计算模型。在实际材料实验基础上 ，研究 了圆弧切 口单轴柔性铰链的弯曲柔度系数 C 啦 和 C - ，以及等效转动半径 ，随其几何参数 r和 t的变化趋势 ，揭示了纯弯矩和弯曲力作用下单轴柔性铰链弯曲变形的本质区别▲行 了实物弯 曲变形实验 ，实验结果和简化模型计算结果相对误差优于 10%，满足工程应用要求。

基于所给出的单轴柔性铰弯曲变形简化模型 ，提出了基于圆切口单轴柔性铰链的两轴柔性支撑结构计算模型 ，该模型为此类反射镜柔性支撑结构的参数优化设计提供了参考依据。