多重柔性下轮式悬架移动机械手载体驱动力分析

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轮式悬架移动机械手系统是由-个机械手固定在-个全方位轮式悬架移动平台上构成。其多重柔性是指由轮式悬架移动平台构成的弹性阻尼柔性系统和多自由度机械手柔性系统。与刚性机械手相比，柔性机械手具有质量轻、体积孝速度高、能耗孝成本低等优点。国内外学者对柔性移动机械手的动力学 及控制 方面研究较多，对柔性移动机械手的载体驱动力较少进行探讨。由于弹性阻尼悬架和机械手各构件柔性的弓I入，轮式悬架移动载体的驱动力是-个与各构件的弹性变量相关的复杂函数。本文综合考虑了机械手杆件的弹性变形、移动载体的线弹性-阻尼悬架和不平路面等工况，分析计算了轮式悬架移动柔性机械手载体驱力学模型。

1 系统描述与计算1.1系统描述如图1所示，轮式悬架移动载体经过不平整地面时，移动载体坐标系OIx 产生O-的倾角，杆件i(i2，3，4)坐标系OiX Y与整体坐标系oxOyo夹角为 O 。定义 R 为 移 动载 体-- 构 件1(i1)，杆件 i(i2，3，4)坐标系OiX～Y原点相对于整体坐标系OX。Y。原点的位置矢量。

图1多重柔性下轮式悬架移动机械手基于欧拉-伯努力梁单元理论n J ，采用有限元法 将杆件2、3、4均离散为3个单元，如图2所示。

图2 杆件i有限元离散(i2、3、4)收麓日期：2013-04-10基盒项目：国家自然科学基金：多重柔性下轮式悬架移动机械手动力学建模与精确作业控制 (61075097)；天津市自然基金项目：新型轮-腿复合危险作业机器人系统关键技术研究 (12JCYBJC12100)作者簧介：孙凌字 (1978-)，男，讲师，博士，研究方向为机器人智能控制。

第35卷 第7期 2013-07(下) 73 l 訇 似杆件2上任-点相对于整体坐标系0o Yo的位置矢量为：r R ( ) R A2S (菇 ) (1) A2S B (爵 )其中， 为02X Y 原点相对0o 。Y。原点的位置矢量。 为杆件2体坐标系旋转变换矩阵； 、， 分别为构件2任意点弹性变形前位置矢量和弹性变形矢量； [ r、Dg，2 Cq- -，2 -g邝21 分别为杆件2弹性变形前单元1节点坐标和弹性变形量坐标；同理，爵 叫- 2./] 6、mg 2：[- 2j州-，26J1J 3T 6为杆件2弹性变形前单元 (-，2，3)节点位置矢量和弹性变形矢量； [ -‰2 、-g，2[ 。川m，2 ，为杆件2弹性变形前杆件节点位置矢量和弹性变形量； 为杆件2弹性变形后杆件节点位置矢量；其上横线(-)表示该矢量度量于相应体坐标系，无上横线者表示该变量度量于全局坐标系；S 为杆件2单元J的形函数；B 为 与 间线性变换矩阵。R 0 2T、 即为用于描述杆件2构型的参考坐标与弹性坐标。同理，该方法用于描述其他杆件任意点的位置矢量，可得该移动机械手在笛卡尔坐标系下的广义坐标变量： q /q” q q q J ，。

其中q 、q 、q 、q 分别为描述移动机械手构件1、杆件2、3、4的构型矢量，定义如下：q ： 01] [ oil：q R”0 g，-2 ] [ 0 g，-2q R 0 0 0；矽-3]r 0 0 o3 -3 L (2)q l R 0 0 e： l 1： [ 0 e 0：其中0 ，0 ，0：1：220 ，0 ，o；间关系见公式(3)。杆件发生弹性变形时，相邻杆件间会发生影响，以杆件2、3为例说明，其影响如图3所示。

图3 柔性机械手相邻杆件弹性变形影响74 第35卷 第7期 2013-07(下)移动机械手运动约束方程R A3- 3-RR - 3-RR A -R -vt-C0e·(0 0 )00 4 e：)q--；，-0： om。 (3)其中，030：表示杆件3、4相对整体坐标系OX。Y。的整体转动角度，o：o 来自电机的驱动，e来自杆件2的弹性变形，0；来自杆件3的弹性变形。其中 、 为杆件2与杆件I间转动铰铰点A相对其体坐标系原点的位置矢量； 、露为杆件3与杆件2间转动铰铰点B相对其体坐标系原点的位置矢量； m3、 -4为杆件3、4问转动铰铰点C分别相对其体坐标系原点的位置矢量。

1.2独立坐标变量与关联坐标变量分离系统中的广义坐标变量可分为独立坐标变量与关联坐标变量。其中，独立坐标变量各量彼此线性独立，是系统坐标变量发生变化 的主动因素，而关联坐标变量则可由独立坐标变量表示。

按照这个原理，由约束方程(3)进行独立坐标变量与 关 联 坐 标 变 量 分 离 ： q ：f(q )。 其 中qi[ 1 0 0 -g，2 e - 3e -g，4 T 为系统独立坐标变量，q [ R R 0 0：R 0e .为系统关联坐标变量，g如下定义：qEqS T.J T (4)则可用系统独立坐标变量表示该轮式悬架移动柔性机械手构型：vtCoVtco-sin(O ) ，jCos(O )vtco-sin(o。)cos(0 ) cos(O )gm，27- sin(o ) ；8 COS(O )hsin(0 ) sin(0 ) 7COS(O z) (5)rl4vtCo-sin(O )cos(O ) cos(O ) 7- sin(O ) 8Cos(O ) COS(O ) 7·sin(0 ) 8 ，!COS(O )hsin### ) sin(O ) 7COS(0。) 8sin(O。) sin(0 ) 7COS(0 ) 80 e g-，29e：-290 e ，e：务l 訇 化1.3质量矩阵求解根据公式(1)，在整体坐标系下，元上任意-点的速度可表示为：] (， A2S B d I J (， S B杆件2 单(6)则杆件2的单兀j动能为： ： p ( 。 ∥ ： p (口。，) (， A2 ]A2S B dV (7) 1( [ p ]A2S B 。

： 1(口 ) M 雷 其中V 、 P 分别是单元体积和单元质量密度。杆件2的质量矩阵为：A 2S2 JB2Jis JB dFB2/)S2JB ㈣ ) l( J rR、杆件2的动能和质量矩阵为：T2：，M ： (9)- J l同理可以确定构件1和杆件3、4的质量矩阵。， ， 。 系统的质量矩阵为：M ]M ：l M IM 1.4 系统广义力分析与推导如图1所示，路面用正弦函数可描述为：1月 y/40 sin(2xvt/X7c)月r0 /40 sin(2xvt/X2d/X7c)月r0 (1o) c。s0 等效构件1上所作用的外力有： 、 、和G。其中 为电机所提供的驱动力 (来自轮胎与路面的摩擦力)， 、 为弹性悬架作用到移动载体上的力，G 为移动载体自重。移动载体上L、M点位置矢量的数学描述为：f ：R ⅣB，I 1： t 即简化有：l ，j-dl sinO (12)I sinO则有：J (o，毛(o-( - )-G( - ) (13)l (0， (f20-( -H柳)-c2( -疗胁)其中，f。， ，Cj分别为移动悬架的弹簧原长、弹簧弹性刚度系数和阻尼器阻尼系数， 1、2。

如图4所示，分别对构件1，杆件2、3、4进行受力分析。其中 、 ：、 分别是相应关节电机的扭矩，F，是移动载体在运动过程中受到的滚动摩擦力，G1、G G3 G4J分别是构件1、杆件2、3、4所受重力， 为末端执行器受到的外力，这些都属于外力。 。、 ：、 ：、 ，、 、是相邻杆件间作用力，属内力。其中：(：笔 ( (：乏] (乏][ ：]杆件4图4 多重柔性下轮式悬架移动机械手各构件受力分析针对构件1推导其广义力。作用在构件1上的外力为重力G 、摩擦力 、驱动力 、支撑力。 在移动载体匀速直线运动的情况下，所受摩擦力 0。求解广义力按照各力作用点的位置分别求解，同时力矩均在坐标系原点位置中求解。

第35卷 第7期 2013-07(下) [751O . . ] J 门 -- r L . - . ] j ]-- -" -rl，榔称L- l务I lI5 似构件1上0。点位置矢量为 R 1 B0lI。变分后得：6 ： ：钙1-1 )则0 点的广义力为： (G 1 0) (15)同理 点位置变分 ：6 )6㈥ (16)则上点的广义力为： ( ) ：( ) )(17)同理M 点的广义力为 ( ：碍 ) (18)则构件1的外力广义力为： (19)同理 A点的内力广义力为： ( ： 1 -1) (20)同理可得杆件2的外力广义力为： (211同理A点的内力广义力为： (22)B点的内力广义力为： 砭 (23)同理杆件3的外力广义力为： (24)B点的内力广义力为： 砭 (25)C点的内力广义力为： 硝 (26)杆件4的外力广义力为： (27)同理C点的内力广义力为：Q： FL (28)1.5轮式悬架移动载体驱动力的求解由于移动载体以恒速 通过不规则路面，即： 0。满足其加速度为零，利用牛顿.欧拉法n推导轮式悬架移动载体驱动力 。

针对构件1和杆件2、3、4，其牛顿-欧拉方程为： ，(f1，2，3，4) r29)其中：，[7BI 第35卷 第7期 2013-07(下) Q三 -K q (30) -K Q二 -K q 解方程组可得到移动载体水平驱动力 的表达式： (o1，0 2，0 3，0 ，d。，d 2，63，6 ，61， ，6～， ，g- 2， ，gm 4，， ， ， ， ，"- '4， ， ，!)可以看出，移动载体的驱动力包含了杆件的弹性变量，各个构件的转角。柔性轮式悬架移动机械手驱动力与刚性移动机械手的驱动力有所不同，它并不是单纯克服轮子与地面间的静摩擦力，还与系统中机械手各构件柔性、路面状况有关。

2 仿真分析 (Simulation analysis)以本文的介绍的多重柔性下轮式悬架移动机械手机器人为模型，在不考虑各种摩擦、车体匀速运动、各手臂保持初始角度的情况下，对其进行刚性和柔性的末端执行器位置仿真和载体驱动力仿真，仿真结果如图5、图6所示。刚性情况与柔性情况的区别是指考不考虑杆件的柔性。从图5可以看出，路面的波动导致末端执行器在Y方向产生波动，杆件的柔性加剧了末端执行器在Y方向的振动，如果忽略杆件柔性将降低末端执行器的定位精度。图6表示刚性和柔性情况下的载体驱动力情况，从图中可以看出柔性的存在引起驱动力的波动，如果忽略杆件的柔性将降低控制的精确度。两图的表达与实际情况相符，验证了本文模型的合理性。

图5 末端执行器位置仿真 时同t(8)图6 载体驱动力仿真3 结论本文以多重柔性下轮式悬架移动机械手为研究对象，首次提取了系统独立坐标变量和关联坐标变量，使系统构型表达更加简洁，以此为基础做系统动力学分析，可有效减少方程数 目；在分析轮式悬架移动柔性机械手的质量矩阵和系统广义力的基础上，计算出包含柔性机械手各构件弹性变量的轮式悬架移动载体的驱动力模型。最后进行仿真分析，验证了模型的合理性，并且表明如果忽略杆件柔性将降低末端执行器的定位精度和整体系统的控制精度。本文载体驱动力模型可作为该轮式悬架移动机械手系统的控制工作的基赐参考。