基于粒子群算法的并行公差优化设计模型求解

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Solution of Concurrent Tolerancing Optimization Design Model Basedon Particle Swarm Optimization AlgorithmLIU Chao，LIU Shaogang(Colege ofMechanical Engineering，Tianjin University ofScience&Technology，Tianjin 300222，China)Abstract：Firstly，a concurrent tolerance optimization design model was established.M inimum manufacturing cost wasused as the optimization goal，and the assembly function requirement and machining capability were given as the restrictionconditions of the mode1.Then，the particle swarnl optimization toolbox(PSOt)was used to find out the solution to the con-current tolerance optimization design model，and the detailed process was given.Finaly，the optimization result for ai1 exam-ple was given to ilustrate the validity of the particle swarm optimization(PSO)based on PSOt.Compared with the existingresult，the proposed method is beter in solving non-convex programming problems。

Key words：concurrent tolerance；cost-tolerance function；particle sWaflTI optimization；PSOt并行公差优化设计模型是-个非凸规划问题，是离散变量和连续变量混合的优化模型，-般存在多个局部最优解Il，因此采用常规的算法很难得到满意的优化结果.粒子群算法(particle swarIn optimization，PSO)是-种模拟鸟群飞行的仿生算法，有着个体数目少 、计算简单 、鲁棒性好等优点，在各类多维连续空间优化问题上均取得非常好的效果2J.目前在公差优化设计中，粒子群算法主要被用于装配公差的分配2 J：文献[2]提出了-种基于基本粒子群算法的装配公差优化分配方法；邱唏等l3J提出了-种层次分析法与基本粒子群算法相结合的方法；董银月 4J提出了- 种改进的 PSO算法，同样是对装配公差优化设计进行了研究.这些算法搜索效率低、操作困难，对各类复杂程度不同的优化问题通用性较差，目前还没有相关文献将粒子群工具箱用于并行公差优化设计模型的求解.粒子群工具箱(particle swarm optimizationtoolbox，PSOt)在处理约束条件和种群初始化方面均优于基本粒子群算法 J及改进的粒子群算法(带压缩因子的粒子群算法、权重改进的粒子群算法和混合离子群算法).本文将基于粒子群工具箱的粒子群算法用于并行公差优化设计模型的求解 ，通过实例验证 ，取得了较好的效果。

1 并行公差优化设计模型并行公差优化设计将经济性作为公差设计的评收稿日期：2012)5-30；修回日期：2012)9-20基金项目：天津科技大学科学研究基金资助项目(20100226)作者简介：刘 超 (1988- )，男 ，河北衡水人，硕士研究生；通信作者：刘少岗，副教授 。liusg2006###tust.edu.cn· 68·价指标，其优化目标是在保证装配功能要求和工序加工 能力约束 的前提下设计 出旧能大的工序公差.可见，该模型由目标函数和约束条件组成l6]。

1.1 目标函数以最小制造成本为目标函数：NminCs ∑∑ ( ) (1)il hl式中：Ⅳ 为零件设计尺寸和公差总数； 为第 f个零件的加工工序尺寸和公差总数； 为第 个零件设计尺寸的第 h道加工工序公差；Ci ( )为 对应的制造成本。

我国中型机械类企业中等批量加工时，平面特征的加工成本公差模型 J为.5·026 Ie 舢 面 (2)天津科技大学学报 第28卷 第1期优化的函数，并设置好算法的具体参数，在 Matlab中通过调用工具箱主函数即可实现问题的优化求解 们。

22 PSot在 Matlab环境中的实现(1)定义适应度函数 ：适应度函数用于计算粒子的适应度值进而评价粒子的优劣.在并行公差优化设计中，制造成本的高低是评价优化结果好坏的最好标准.将成本函数作为适应度函数 ，最小的制造成本对应着问题的最优解.针对优化模型存在装配功能要求和 PSOt的特点，利用罚函数的思想 ，将部分约束并入适应度函数(具体方法在实例中详细说明)。

(2)参量初始化：可以采用随机或人工的方法进行初始化.本文用人工的方法在参数变化范围内选取-组初始解。

1.2 约束条件(1)装配尺寸链的功能要求约束为 3 实 例N ∑∑ ≤ (3)l l式中， 为产品预期的装配功能要求。

(2)工序加工能力约束为≤ ≤ (i：1，，N；h1，， ) (4)式 中， 和 分别为工序公差 的经济下限和上限。

2 PSO在并行公差优化设计中的应用2.1 PSO及 PSot简介PSO 是-种模拟鸟类飞行的仿生学算法 ，近来以其个体数 目少 、计算简单 、鲁棒性好 、对待优化的目标函数没有连续可微的要求等特点，在各类优化设计问题中得到广泛应用.PSO 首先初始化-群随机粒子，然后通过迭代找到最优解.其基本原理是在每-次迭代中，粒子通过跟踪两个 极值”来更新自己：个体极值和全局极值 ].本文应用美国北卡罗来纳州立大学航空与机械系教授 Brian Birge开发的 PSOt，实现了 PSO在并行公差优化设计中的应用.该工具箱将 PSO 的核心部分封装起来，提供给用户的为算法的可调参数.用户只需要定义需要图 l为-齿轮装配机构l川，主要由箱体、齿轮轴 、端盖、轴承及垫片等组成.各零件设计尺寸已由结构和功能要求确定，它们分别为 100 mm，10 mm， 81.5 mm，y410 mm， 20 mm， 115 mm， 5 mm.装配体的装配功能要求：箱体 1与端盖3的装配间隙量Zl(1.5±0.4)mm，以保证端盖 3与轴承 5之间压力的恒定；箱体 1与垫片 6的装配过盈量Z，(1.5±0.35)mm，以保证箱体 l与端盖3之间有好的密封性，同时又不超过垫片6的耐压强度。

图 1 齿轮装配部件及其尺寸链Fig.1 Geer assembly and its dimension chains Q 生 刘 超，等：基于粒子群算法的并行公差优化设计模型求解3.1 并行公差链根据装配结构的主要设计功能要求，不难给出装配功能尺寸方程 ：fZl- y2 Y4Z2 y4 - - (5)使用统计模型，将装配功能公差表示为下面的不等式：f ≥r l ≥ 根据图 2和表 1可得如下加工方程 ：I -I - ，-I X62-X63Xx2- 3用统计法得到的混合公差不等式为(6)(7)(8)对于标准件 (轴承 4和 5、垫片 6)给定公差分别为 0.02mm， 0.2ram，经计算化简得到并行混合公差不等式：； ；砭瑶 ≤0.6392mm (9)砭瑶瑶瑶吃 ≤0.4492mm (10)(a)箱体· 69·IⅡ Ⅲ ⅢIlVV÷- - .-(b)齿轮轴 (C)端盖图 2 相关零件的工艺尺寸链Fig.2 Critical dimensions of releated parts3.2 目标函数ⅣminCsrain∑∑ ( )min(C1 Cl， il hlG： G4 3 C63) (11)其中。26 k 如 芴 3.3 加工能力约束相关工序的经济公差范围约束见表 1。

表 1 零件的轴向加工规划Tab.1 Axial process plan of related parts零件 序号 工序 基准面 加工面 工序尺寸/mm 工序公差 公差范围/mm11(61) 铣削 Ⅷ VI xllx6 2 l l 0.05～O.10箱体 ： .05 -0. 163 磨削 VI VI1 X630.2 0.01～0.0531 车端面 I I 。2 0.05～O.10齿轮轴 ； I X 3：2 16. i 2 ：.。0 5～。O. 1：34 车削 VI V 44 4 0.05～O.1051 车端面 I I l2.0 . 0.05～0.10端盖 52 车槽 II II X5219.8 2 0.05～0.1053 磨削 II III1 X5 20 0.10～0.50∞瑶十 - r r -· 70 ·3.4 优化求解(1)定义适应度函数：以最小制造成本为目标，利用罚函数原理将装配尺寸链的功能要求约束并人目标函数，设定罚常数为 10 ，适应度函数变为min min(Cl2C13c32 3C34c53C62C6310 ×ma)(0 1)] 10 x[max(0，R2) (12)其中天津科技大学学报 第28卷 第 1期R1 -0.6392InlTlR2磋 -0.449 2IITI(2)参数设定：最大速度为 4；待优化函数的维度为 8；粒子初始位置向量为f0.05 0.05 0.05 0.01 0.050.05 0.05 0.01]；参数 PSOparams：[50 1 000 40 2 20.9 0.4 750 le-25 250 NaN0 1]；(3)调用 PSOt主函数进行寻优，结果见表 2。

表 2 两种优化算法的比较Tab.2 Comparison of two kinds of optimization algorithm 公差/mm ，：JZ 个 / u，本文 0.100 0 O.100 0 0.100 0 0.050 0 0.100 0 O.100 0 0.100 0 0.050 0 0.200 0 0.150 0 O.300 0 0.050 0 15.250 8文献[10] 0.100 0 0.100 0 0.100 0 0.050 0 0.086 7 0.086 7 0.086 7 0.050 0 O.141 4 0.111 8 O.150 1 0.050 0 15.780 03。5 结果比较为验证所用算法的有效性，将文献[10]与文中所求结果-同列入表 2进行比较。

经比较可得如下结论 ：PSO 容易获得较大的加工工序公差和较小的制造成本.达到了预期的获得较大加工公差和减小制造成本的优化目标，符合优化的目的。

4 结 语本文实现了 PSOt在并行公差优化设计中的应用，并通过实例求解验证了 PSO在求解非凸规划问题以及离散变量和连续变量混合优化模型的可行性，对并行公差优化设计中求解复杂离散优化模型具有- 定的参考价值。

作为 CAD/CAM 集成的关键技术，计算机辅助公差设计还难以与 目前的 CAD、CAM、CAPP相集成.因此，建立通用性好、集成能力强、综合考虑产品设计与制造过程中影响公差设计因素的并行公差优化设计模型是今后研究的重要内容。