机床行业产品质量控制的非合作均衡策略研究――随机微分博弈的视角

行业产品质量指的是在商品经济的范畴，该行业依据本行业的产品标准，对行业产品进行相应的规划、设计、制造、检测、计量、运输 、储存、销售、售后服务、生态回收等全程的必要的信息披露。随着世界各国对产品质量与安全越来越重视 ，全社会在产品质量和安全性方面的费用支出额 占国民生产总值 的比重愈来愈大，约占总销售额 的 10% ；另-方面是质量 同整个 国家生产率水平的关联，产品或服务质量不仅是当代决定企业素质、企业发展和企业经济实力和企业竞争优势的主要因素 ，也是决定-国竞争能力和经济实力的主要因素 。 。

产品质量都是任何-个国家社会的大事，因为它事关人民生命降财产安全↑年来 ，有许多学者开始研究产品质量控制问题。如赵道致和吕昕 运用微分博弈方法对企业 的产品质量决策问题进行 了研究 ，提出动态环境下两个相互竞争企业之间产品质量决策的分析模型；苏秦等 基于产品质量角度 ，应用客户需求及优化理论 ，研究了产品质量、价格及交付提前期竞争下的企业最优决策问题；刘小鲁 以二级价格歧视模型为基础，通过引入对不同产 品种类的非对称价格上限管制讨论了中国药品价格管制背景下厂商的产品质量和产品多样化决策，并 由此分析了管制的实际效果 ；秦利 研究发现 ，农产品协会能够提高政府对产品质量的监管能力 ，并促使农产品供给者遵循行业标准，既确保了农产品质量安全，也促进了农产品供给者利益最大化。夏珑和史红民 研究发现 ，规制者与被规制者之间的质量博弈过程对产品质量有着重大影响 ，只要生产质量不合格产品的预期收益大于预期成本，收稿 日期 ：2012-05-l5；修回 日期 ：2012-05-23基金项目：山东省优秀中青年科学家科研奖励基金(BS2011SFO18)；教育部人文社会科学研究基金(11YJCZH200)；国家社会科学基金(12BJY103)；国家自然科学基金(60904063)作者简介：于伟(1971-)，男，山东梁山人，天津大学管理与经济学部博士研究生，研究方向为随机控制，对策论，(E-mail)weiyul08###139.eom。

2013年 1月 辛宝贵 ，等：机床行业产 品质量控制的非合作均衡策略研究 ·127·企业就有生产的冲动；谢地和孙志国 认为，产品质量监管制度合理与否，关键在于对参与人是否实施了有效的约束和激励 ，有效的约束和激励能够 引导参与人遵守规则，而无效的约束和激励则会收到相反的效果。

本文首先建立了固定时限内机床企业 2与企业 1不合格产品投放市场的非合作随机微分博弈模型，接着运用 Hamiton-Jacobi-Belman-Fleming原理 ，求 出 了该博弈模型的反馈纳什均衡解，并提出了其满足子博弈-致性的结论，最后进行了数值模拟，验证了研究结果的正确性。本文的研究结果可以为我国制定机床行业产品质量控制政策提供必要的理论支持。

l 非合作随机微分博弈模型为了便于建立数学模型，我们将所研究的机床行业仅存在两大寡头：寡头企业1和寡头企业2。这样，我们可以将博弈参与人 (i1，2)记作：寡头企业1为参与人 1，寡头企业2为参与人2。为了明确问题，再做如下假设：(1)假设q (t)是博弈参与人i在时间t∈[0，T]的产量，e (t)h (q (t))为参与人 i生产 g (t)的产量时投 入 市 场 的 未 达 行 业 标 准 的 产 品 数 量。记r (q (t))为参与人 i生产 q (t)的产量时的净收入 ，即总收入减去总成本。

(2)假 定 h (q (t))是 严 格 递 增 的 函 数，即÷(h (q (t)))>0，所以，我们可以记 rl(q (t))qrI( e (t))，为 了进 - 步 简 化 符号 表 示 形 式 ，记R (e (t))r ( e (t))。

(3)假定 尺 (e (t))是关于 e (t)递增 的凹函数，即R (e )≥0，R (e )≥0，R (0)0。D (s(t))是治理成本 函数 ，表示未达行业标准产 品的市场存量 为s(t)时，消费者因担心购买到不合格产品采取避免或减少消费该行业产品而给参与人 i产生的损失，是单调递增的凸函数。

(4)令 8(t)为未达行业标准产品的市场存量，它的变化依赖于两个寡头企业对未达行业标准产品的投放水平 ≥0为常数，表示两个参与人投放未达行业标准产品的边际影响 ， >0为常数 ，表示未达行业标准产品的市场存量的自然损耗率 ，为了便于数学处理，不失-般性 ，我们假设投放未达行业标准产品的边际影响对两个参与人是相同的。 ≥0为常数，表示不可预知的因素的影响，W(t)是维纳过程。

(6)假定博弈双方在没有达成-致协议的情况下，参与人 i会单独采取行动以实现自己的期望收益最大化的 目标。

根据以上假设，我们可以得到固定期限内两寡头企业将未达行业标准产品投放到市场问题的非合作随机微分博弈模型，如下所示：r r ，， maxEJ e-'tRf(e (t))-D (s( ))dte-rTgs (i 1，2) (1).fds(t) ( (e (t)e (t))- s(t))dto's(t)dw(t)· 6· s(0)s。

(2)其 中，s 表示初始时刻 t0时的未达行业标准产品的市场存量，ds(t)表示未达行业标准产品的市场存量的变化 r为贴现率，e 是贴现因子。

我们把式(1)与式(2)构成的非合作随机微分博弈记为 厂(s。，T-0)。把与式(1)与式(2)结构-样 ，开始时间为 7-∈[0，T)，开始状态s(r)s ∈S的非合作随机微分博弈记为 F(s ，T- )。

2 模型的求解定义 3.1 令 ： (s) (s)，，I)i (s)，Vi 。

(s)，， (s)为由i∈N以外的所有的参与人的最优策略所组成的向量。策略集合 (s)，， ：(s)构成-个 n人微分博弈的非合作纳什均衡解，是指当对于所有的 (s)E U ，i∈N，有以下的不等式成立：J g(s， (s)， (s)，口： (s))dsq ( ( ))≥I g(s， (s)，u (s)，口： (s))dsq( ( ))(i1，2，，n)引理3.1 策略e (t)M (t，5)，i1，2构成随机微分博弈问题啊式(1)和式(2)的-组反馈纳什均衡解，如果存在连续函数 (t，s)：[0，T]×R-R， 1，2，且有连续偏导数景( (t，s))， ( (t，s))，2( (t，5))，i 1，2，满 足 以 下 Hamiton-Jacobi-亡IsBellman Fleming方程 ：t 98)-号( )-芋 (Vids (f' o 二maxE (ri)-Di(s 杀( ( )( (ei( )M (t，s))- s( )) (3)Vi( ，s)gs (4)其中 (t，s)是参与人 i1，2的最优控制。

为了在数学易于处理我们假设净 收入 函数R (e )，i1，2是未达行业标准产品的市场投放量e (t)，i1，2的二次函数 ，治理成本函数D (s(t))，i1，2是未达行业标准产品的市场存量 s(t)的二次函数。

为了便于数学处理，同文献[8]类似，我们假设 ：Ri(e )Olie -÷e D (s( ))- s (t) (i1，2)其中 >0为常数，卢 ≥0为常数，注意到参与人面临不同的收入和成本参数，假定成本参数 J8 ≥卢。≥0。则参与人 i1，2的期望收益(支付)的目标函数为 ：m axE ( ㈩-÷e ) )- 2 ) e rgs2)(5)· 128· 组合机床与 自动化加工技术 第 1期则参与人 i1，2按照式(4)和式(5)最大化 自己的期望收益(支付)：根据引理 3.1，我们可 以得到 ：定理3.2 对非合作博弈式(4)和式(5)，博弈的参与人 i1，2的反馈纳什均衡解为 ：e ( )Ol (A (t)S(t)B (t)) (6)v (t，s)÷I4 (t)(s(t)) B sc (t) (7)其中， ，日 (t)，C (t)满足：A (t)rA (t)- A (t)-2IX A (t)A (t)2s4 (t) A (t)(8)B (t)rB (t)- A (t)- A (t)-IX A (t)B (t)- d，A (t)- A (t)B (t)～IX A (t)B (t)sB (t) (9)c (f)rC ( )-÷ 2 - 日 - B ( )- ，B ( )- IX B (1o)A (r)2g， B ( )0， c (71)0 (11)说明：由定理 3.2中 e (t)，e (t)的表达式知道，反馈纳什均衡策略 e ( )，e，(t)和当前时间 t和状态 s有关，与状态 s的初 始值 s 无关 ，所 以 ，反馈 策略e (t)，e，(t)是马尔科夫的 。

定义 3.2 在非合作随机微分博弈 F(s ，T-7-)所构成的纳什均衡解中，参与人 i，il，2的价值函数(，s )，i1，2，即当状态变量为 s(t)s 时 ，参与人i，i1，2在区间[t，T]上的期望支付的现值为：vl (，s )Ef e- (R (e (y))-D ( (y)))dy对于 ∈ [0，T)，t∈ [ r，T)，i1，2。

根据定义 3.1，我们有(，s )：Ef - (R (e (y))-D (s(y)))dy E(f e (R (Ci(y))-Di(s(y)))dy)e。 )e Ef e。 (R (e (y))-D ( (y)))dye V (t， )性质 ：在区间 [ r， ]上的非合作随机微分博弈厂(s ，T-.r)，当状态变量为 s(t)S 时 ，参与人 il，2在区间[t，T]上的期望收益 的现值等于它的子博弈的值函数进行相应 的贴现值 ，即满 足子博弈 -致性 ，当非合作博弈沿着最优轨鉴行 ，参与人总会根据最初的最优共识原则 ，都不愿意偏离-直采 用的最优”行为。

3 数值仿真为了便于进行数值模拟，我们固定以下参数 ：r0.05， 0.1， 0.2，卢2：0.4，盯0.1， l2，OL2 2， 0.6；取如下初值：A (1)：0.3，B (1)0.6，C。(1)0.1， (1)0.2，B (1) 0.4，C2(1) 0.1；取步长 h0.01，取博弈的固定期限 T50。

机床企业 1，如图 1所示，其期望收益 。随未达行业标准产 品的市场投放量 e 的增大而增大 ，未达行业标准产品的市场存量 s也随未达行业标准产品的市场投放量 e 的增加而增加。

210- l- 22 8图 1 企业 1未达行业标 准产 品的市场投放量 P 、期望收益 。和未达行业标准产品的市场存量 之间的关 系机床企业 2的未达行业标准产品的市场投放量及其期望收益与未达行业标准产品的市场存量之问的关系同企业 1的非常类似 ，如图 2所示 ，其期望收益 随未达行业标准产品的市场投放量 e，的增大而增大 ，未达行业标准产品的市场存量 s也随未达行业标准产品的市场投放量 e，的增加而增加 。

l 510 50- 0 5- 1- l 52.8图 2 企业 2未达行 业标 准产 品的市场投放量 P 、期望收益 和 和未达行 业标 准产 品的市场存量 之间的关 系4 结论(1)不论机床企业 l还是企业 2，都非常重视本企业的产量质量控制 问题 ，并且也需要 花费大量的时间和费用成本。以往的研究 ，要么是从实证分析出发 ，调查利益相关者 的未达行业标准产 品的市场投放量 ，做出-个静态 的产品质量控制决策 ，要 么是运用微分博弈的等确定性 的方法 ，不考虑 随机因素的影响，做出-个确定性的产品质量控制决策。本文考虑到不确定性 因素 的影 响，运用 随机微 分博弈理论作为解决不确定性动态决策的有效工具，构建机床行业产品质量控制的非合作随机微分博弈模型，并计算出了该模型的反馈纳什均衡策略(反馈纳什均衡解)。指 出该模 型 的反馈纳 什均衡 策 略 e (t)和e，(t)与当前时间 t和状态 s有关 ，与状态 s的初始值5。无关 ，也就是说 ，该模型的反馈策略 e (t)和 e，(t)是 马尔科夫的。

(2)非合作均衡策略的性质：在区间[ r， ]上的非合作随机微分博弈F(s ，T- )，当状态变量为s(t)s，时，参与人 i：l，2在区间[t，T]上的 (下转第 132页)· 132· 组合机床与自动化加工技术 第 1期件在不同评价指标下 的关系模糊数 ，如表 1所示 。再经过计算 、归并 ，由公式 (5)求得零部件在总 目标下的评价结果，如表 2所示。由公式 (6)求得模糊评价综合结果期望值 ，如表 3所示。

约束转化为评价标准 ，构 建零部件优 先级别综合评价指标体 系，建立 了层 次解释结构模型。三 角模 糊数及其算法的引入 ，完善评价指标计算 ，最终通过期望求解确定零部件变型设计尺寸传递优先级顺序。

表 1 零部件在不 同评价 指标 下的关系模糊 数零部件 1 2 X3 X4 9f5l (0.215，0.702，0 862) (0.391，0.682，0.874) (0 215，0.687，0.891) (0 276，0 668，0 899) (0.289，0.685，0 887)I42 (0.331，0 871，0 929) (0 429，0 661，0 871) (0.376，0.769，0.995) (0 236，0.635，0.869) (0.434，0 697，0.907)A 3 (0 329，0.67l，0.923) 0 319，0.71 3，0.892 (0 459，0.8340.932) (0.332，0 689，0 883) (0.455，0.768，0.975)A (0.432，0.831，0 975) (0.329，0 747，0.982) (0 244，0 676，0.879) (0 236，0 598，0.905) (0.33I，0.735，0.976)A 5 (0.323，0 679，0 897) (0 214，0 786，0 875) (0 323，0.748，0.987) (0 256，0.787，0.987) (0.367，0 87I，0.967)A6 (0.347，0.763，0.897) (0 453，0.816，0.897) (0.432，0.797，0 972) (0.293，0 799，0 986) (0.287，0.769，0.977)表 2 零部件在总 目标下 的评价结果零部件 l A 2 3 4 A5 A6评价结果 (0.01，0 15，0 19) (0.01，0.15，0.17) (0.03，0 19，0 29) (0.01，0.15，0 21) (0 12，0.18.0.21) (0.08，0.19，0.31)表 3 零部件在 评价结果期望值零部件 L4I A 2 A 3 A l As A评价结果期望值 0.125 0 l2 O l75 0.13 l 0.1725 0.1925各零件期望值排序为：，(A )>，(A )>，(A )>，(A )>，(A )>，(A，)。由此得到优先级别评定顺序为 ：箱体 >轴 >大齿轮 >小齿轮 >轴承 >键 。

即变型尺寸的传递方 向应遵循箱体、轴 、大齿轮 、小齿轮、轴承和键 的由高至低的顺序，保证变型参数尺寸由优先级别高 的零件 向优先级别低 的零件传 递。

使优先级高的零件类型和尺寸最先得到保证和变型。此结果也与工程设计实际相符，验证 了该方法 的可行性 ，也为复杂 机械变型设计 中尺寸传递问题 的求解提供理论依据和技术支持。

4 结束语在具有多种零件类型 的产 品变 型设计 中，将约束满足优先级别 的思想应 用到尺寸传递求解 中，完善变型设计理论和方法。对机械产品中包含的各种零件进行分析 ，分析其不同性质和参数属性 ，并将此作为零部件优先级别划分 的理论基矗从零部件 整个生命周期入手，综合考虑各项约束对对其影响，将[