偏差最小的四心圆近似椭圆作图法

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Approximating elipse using four-arcs with the smalest errorZeng Zhenbing -， Chen Liangyu -， Li Zhibin ， Chen Guangxi(1.Software Engineering Institute，East China Normal University，Shanghai 200062，China；2.Shanghai Key Lab ofTrustworthy Computing，Shanghai 200062，China；3.Computer Science& Technology School，East China Normal University，Shanghai 200062，China；4.Department ofComputing Science&Mathematics，Guilin University ofElectronic Technology，Guilin Guangxi 541004，China)Abstract：The distance of equidistant curves is used to estimate the errors between an ellipseand the four-arcs which approximate the elipse.An explicit expression of the errors and thesemi-axes of the ellipse are established.A new method is proposed for approximating an ellipse byusing of four-arcs with minimal error via symbolic computation and regression analysis.Ourmethod is easy for drawing with ruler and compass and can be used in interpolation programmingfor the computerized Numerical Control lathes。

Key words：four-arcs；error analysis；ellipse；equidistant curve众所周知，使用直尺和圆规手工作图，不可能画出精确的椭圆。用若干段圆弧拼接成近似椭圆是-个自然的想法。有考证，用-些两两相切的圆画椭圆的方法，至少可以追溯到 16世纪文艺复兴时期的建筑师 Sebastiano Serlio，甚至可追溯到公元-世纪的罗马竞技场，或者更早于1500多年的巨石圈L1 J。椭圆的近似画法数学 (制图)、天文 (轨道分析)、艺术和建筑 (如石拱门)设计中曾有广泛应用。现代计算机字体设计中也经臣虑用圆弧逼近-般的二次或三次曲线。图1(a)是达芬奇(Leonardo da Vinci)的 HostinatoRigore铭文徽章，其轮廓可用 4段圆获得非常收稿日期：201O8 O8；定稿日期：20110-12基金项目：国家自然科学基金资助项目 (61021004)；上海市重点学科资助项目 (B412)；上海自然科学基金资助项目 (11ZR1411500)作者简介：曾振柄(1963-)，男，甘肃皋兰人，教授，博士，主要研究方向为数学机械化、定理机器证明。E-mail：zbzg###sei.ecnu.edu.cn第 1期 曾振柄等：偏差最小的四心圆近似椭圆作图法式，并给出-种偏差更小的四心圆近似椭圆作图法。

1 四心圆近似椭圆的偏差本文所称四心渊指画法 2。下面的引理描述四心圆近似椭圆与精确椭圆的位置关系，这个结果见第 3.1节4。为方便后面的讨论，本文给出其证明。

引理 1 设 是椭圆，厂是对应的四心圆近似椭圆。则除椭圆的4个顶点外，近似椭圆厂与椭圆 有4个公共点M ，M ，M ，M ，分别位于4段椭圆弧AC，CB，BD，DA上，近似椭圆上的弧MlCM2，M3DM4位 于 椭 圆 的 内 部 ， 弧M ，M：BM，位于椭圆r的外部。

证明 假设AB2a，CD2b。则椭圆 的方程是T(x，Y) 告-10易计算 ， ，G， 的坐标分别是，-b(a- b-aZb2)F：( 十-a， . .b(a-b广--a2b2.)2√ b 2 2√口 bG：(.a-b)(abfa2bz).，0)2口J：f0，--(a-b)(ab-x[a2b2)、26令 o(c， )是 以G为 圆心 ，GA为半径 的圆；ocJ，C) 圆心，JC为半径的圆。这两个圆的方程分别是2 V2- -(a-b)(ab-xa2b2)口- b f -b)4a。6 0X2y2 .(a-b)(abfa62)1，b- 口 -(口-6)√口 b 0计算可知点 ，的坐标是(2(a-b√ )， 1(-口6√ )易验证( ( ·： -(a- ---b-)2-(-a--b-)-(a- b--- -xf-a-2a--b-z)>02a b所 以，点 l在椭 圆 的外部。

为此，计算圆O(G.A1与椭圆确 交点，得：(口，。)， (a a2。b2-，b 4- )Ⅳ4：( ，- )其中A是-个二重交点。因-ax[a：-bE- f口-6√丽 1<02(a61知弧 与椭圆 的交点只有 ，又因KI在外部，所以除点 以外，弧 在 的外部。

下面证明，除点C以外，弧K1CK2与椭圆有两个交点。计算圆o(J，C)与确 交点，得c：( M ：( ， )十 D 口 十 D，：(--a42-ab，垒 1ab 口b其中C是-个二重交点， ， ，是-重交点。因-a x]2-ab-ax]a：-b2< (a-b厮 ab ab 2知 ， ：在弧K1CK2上。又因K1，K2在椭圆确 外部，所以 在确 外部，M CM，在 内部。

如果在计算四心圆近似椭圆偏差时，用椭圆趾 的点( ，Yr)和近似椭圆厂上的点( ，Y )的纵坐标之差△ Y -Y 作为度量，则该度量与坐 标 系 有 关 。 如 下 例 ： 设 精 确 图 形 是C1： -a 0，近似图形是 ：X Y -( ) 0， >0。贝U：当 -->0时，△y-争- ；当X a时，△)， -42ae。但撇开坐标系来看，C 与 的偏差是均匀的，C 与G 的曲线距离是占。用曲线间距离度量曲线逼近的偏差，优点是与坐标系无关。设Cl， 是两条平面曲线。则C，，C，的距离定义如下[5]d(Cl，C2)maxsup l P-Q l尸∈C· 2sup flI P～Q c1)PEC2 1其中lIP-Q l是点P到 Q的距离。d(C ，C2)可用作度量 C，对于C1的拟合程度 。但是很多时候(Cl， )的解析表达式不易计算。对于-些特殊的情况，曲线距离可通过曲线的等距线来计算[ ]：令 (Cl， )， -(Cl，b)是曲线C 上的每点分别图 学 学 报 201 3丘沿 C.在该点法线的正负两个方向移动距离 ，b所得 到的点的轨迹 ，称 为 C 的等距线 ，令(C1，a，6)表示这两个等距线围成的图形。则( ，C2)maxa，b：a，b areminimalsuch that C2 c (CI，a，6)下面计算四心圆近似椭圆厂和精确椭圆 r之间的距离。按照对称性，只考虑第 1象限的图形。令1是线段GK，与椭圆 的交点。按引理 1，椭圆弧 厶包含在扇形GAK 内，因此存在最小的正实数 ro使图形K(AK ，0，ro)包含椭圆弧AL ；椭圆弧 厶C与圆弧 C交于点M ，C，。 包含在扇形L1JM1内，M C在扇形之外 ，因此，存在最小的正实数 ， 使图形K(K C， ， )包含椭圆弧 1C。令m0minGP，P∈elipsearc(ALI))m1maxJP，P∈elipsearc(LlM1)m2minJP，P∈elipse-arc(M1C)其中G尸. 表示线段的长度。则roGA-m0m1-JCrEJC-m2有下面的引理。

引理 2 设椭圆 的长半轴为a，短半轴是b，F是用四心渊作的近似椭圆。则( T)maxGA-m0，m1-JC证明 考虑以 为圆心，m 为半径的圆0( ， )( ， ) 6)(口6 丽 )2b、 -m 0显然，当mCy时及mm 时，O(J，m)与椭圆 相切。若( ，Y)是O(J，m)与 的切点，则 ，Y除满足O(J，m)和 的方程外，还满足下面的条件盟 . - . ：0即- ) 0由此解得满足X>0，Y>0的切点( ，Y)和相应的mC：(0，6)'， ：6-(a-b)(ab- x[aZb2)26：(Xl，Y1)，2 (以 2ab 6 ( -b2)√以 6 )口m ------------------- ----- ---------- - 其中√ ) -b(a b ，f -a2b2)比较点 和 的纵坐标b4a bY1>- 知 位于椭圆弧 C及2 (口 2ab 6 (口 -b2)x/a b )以m 1 二-----------------二----------------二- 2(ab)b现在求m 。由以上计算知，对任意m>0，圆o(J，m)与椭圆 的弧 不相切，从而，定义于圆惶 上的函数PJ：L1M l-->R≥o，P ÷JP关于点尸的横坐标 单调递增，P，(厶)JL1maxJP尸∈elipse-arc(LlM1)即m2JLl， r2JC-m2JK1-JLlK1L1以下计算m 〖虑以G为圆心，以m为半径的圆O(G。 1Gm(x，y) - )：Y -m 0当mGA时，O(G，m)O(G，A)与椭圆 在点相切。我们求使O(G，m1与 相切的其它 m及相应的切点。如果有唯-的m0.Y>0解之得 -a(a b a2b-2)，- 62Yo . 。- 2( 6) -2 (口。2a b6 -( 。-b2)x/a b )bm -------------------- ------：------------ ----2(ab)a易验证> (口-6而 )上式之右是 的横坐标。设厶的坐标是(Xl Y，)。

则( -6而 )>xl于是，使O(G，m)与椭圆 相切的mGA-GL1： GK1-G厶 厶：r2最后，得到(f )maxro， ， ：maxGA-m0，m1-JC引理 2得证。

定理 1 设a，b是精确椭圆 的长半轴和短半轴，f是用四心圆作的近似椭圆，则，生 b口证明 计算可得GA -mo -(a-6)( abb -(ab)4a 6 )2(a又易见GAm0<2GA <2JC m1-JC定理 1得证。

下面将近似椭圆位于精确椭圆以外的偏差称为外偏差，位于精确椭圆以内的偏差称为内偏差。则由引理 2和定理 1，可得到如下结论：1) 最大内偏差出现在大圆弧段 P1处，最大外偏差出现在小圆弧段 Po处。其中P0， 的坐标见引理 2证明。外偏差和内偏差之比为ro JCm JC- ---------- ≈ - GAm0 GA口 -abb f -b)4a bb2) 最大偏差可近似如下表示为a.b的表达式： GA-mo ·C1其中兰 ≤G：- - - - - - 下 - ≤4 2( )2( 2 )√ 62 43) 当a1，6的值从 0增加到 1时，偏差f )≤0.027678，最大偏差当b0.22432时取到。图4画出a1，0≤b≤1时d(r，T1的曲线。

图4 四心圆近似椭圆的最大偏差4) 若将偏差跟短半轴b相比，则椭圆越扁平，相对偏差越大 。即当a1，6接近0时，1 -a(r， )≈(÷-45)·b可以看出，将曲线之间的距离作为逼近偏差的度量，得出的实际上是最大偏差。若将近似曲线和真实曲线围成的图形的面积作为偏差的度量，可以得到逼近的平均偏差。文献[4]指出，近似椭圆的面积大于精确椭圆的面积。因为近似椭圆的有些弧段在精确椭圆内，有些弧段在精确椭圆外，所以近似椭圆和精确椭圆围成的图形的面积s(r，T)大于近似椭圆的面积与精确椭圆的面积之差 。过 作直线 XX ，过 作直线XX ，将近似椭圆厂和椭圆 围成的图形在第- 象限的部分分成3块，其面积 自左向右分别记为 ， ， 。令X ： ! 二垒 ±垒± ：±垒：2G 2口v ： --(a-b)(ab- la2b2)26则厂- √l- YJ- )广-w2 (6√1- -Ys4-(byj-)2-x2)dyr-----：- (-bJ1- X2 丽 )s(r，T)4( )用符号计算软件Maple可将 ， ， 和d(r， )图 学 学耄 b dU 仅画出当口：1，O≤ l J 这个问题是-个单 釜验证， V满足p(a的-条b)件 三豁 姒，V ： 图6 -般的四心圆椭圆第 1期 曾振柄等：偏差最小的四心圆近似椭圆作图法下面计算d(V，T)。设 是椭圆 与GK的交点。如第2节所证，d(V，T)maxGA-m0，m1-JC，JC-m2其中m0minGP，P∈elipsearc(AL)m maxJP，P∈elipsearc(LM)m2minJP，P∈elipse-arc(MC)令 eo(X0 Y0)， ( 。，Y1)， (X2 Y2)分 别 是取到极值 o，ml，m2的点。用引理2证明中的方法可求得2 a (5a362ap-261：，印 - )，卯， - 4(a61ax/(2a3b )(2口b-bp) 1 - - 2(a6、- 鱼：( ± 22(ab1m2JL， L2： (口6)(p-1)： ：(口6)(p-1)bx[(ab-bp)( b-2ap- )(口6)(p-1)容易验证- xk>0， Y1-Ym>0此说明P0， 分别位于椭圆弧段 厶MC上。因此m2以 >JPom0，即d(r，T)maxGA-mo，m1-JC)其中GA， ，m。，m 可以看成以，b，P的函数。注意到P满足的条件可写成b√口 6abbP>P。 - - - - 画法2对应于P1(口√口 6 )/b。对每-组给定的正数0ml-JC有下面的结果。

定理 2 对任何0g(P。)，且 当 p趋近 P。时 ，f(p)

图 8画 出 a 7b4时 函数 厂，g在 区 间Pn：2.711和P，：2.850之间的图形∩知，此时 ，Ic≈2.75相应的d≈0.02123；而P 相应的d 0.02718。我们得到比画法2的偏差更小的四心圆近似椭圆。

0.0260.0240.0220.O2O.O180.0l62 72 2.74 2.76 2.78 2.8 2.82 2.84 2.86图 8 当a5.b4时取 P ≈2.75得到偏差最小的近似椭圆图9画出当a1，0≤b≤1时P0b，P b，yb，P b的曲线。其中， 是P 的-个回归- - 6 7 3b54-a26a-bb2p p。 ---i -- 图9 曲线P (b)决定最佳近似椭圆，(6)为其拟合曲线图 l0中 的 曲线 白上 而 下 是 当 a1，0≤b≤1时p 对应的四心圆近似椭圆和 ，P半b图 1 0 误差曲线2 2 8 6 4 2 l 1 ； 1 ：2 叭 00 O O 0 O O 图 学 学 报 2 01 3互对应的四心圆近似椭圆与精确椭圆的偏差。从图中可以看出，取参数 的近似椭圆的最大偏差接近最佳参数P 对应的画法的偏差，比画法 2有 明显降低 。计算知，新画法最大偏差小于0.01 145，发生在b/a 0.28时。

点处有正确的曲率半径。关于用多段圆弧拟合椭圆的算法，还可参见文献[1，1 1.12]。

利用， 1， ，并以 代替 1]口 - l L J的值，得到U， 的近似值为(7a3b54a 6abb )·( -b)- a-6ab b2 7口-76十5√ ≈ [3 20 b V - ------------------------------------------- l I. L J从而可用于确定 G和 的坐标，实现新的四心圆 画法，而上述表达式中所涉及的运算都是尺规作 ～图容易实现的。

[53 结本文显示，原有的四心圆椭圆近似画法有改进的余地。新画法可用手工实现。与画法2-样，新画法作出的近似椭圆在4个顶点处的曲率有误差。新画法作出的近似椭圆，在大圆弧段和小圆弧段与精确椭圆的偏差相等，比画法 2的近似椭圆，有更多部分含在精确椭圆内部，或许使之不适合用于数控机床加工椭圆形状的零件∩用类似方法寻求偏差旧能小的包含精确椭圆近似椭圆。

文献[7]中，P.L.Rosin给出四心椭圆的改进画法。该结果用本文记号可表示为 ： -(-a--- -b-)-(-a- --b- ： ：：/：a：2：： ：6：a： ：b：： -b-2-)a-b a 6abb： (a-b)(a3bx/互a2 6ab bz)46文献[8]给出计算机程序，对于给定的a，b，通过调整 K，， ， 的位置使得近似椭圆在大弧段end，弧段的误差相等，从而可以得到更好的近似。文献[9]根据图形分析确定了四心圆弧拟合椭圆的定解区间，导出了拟合椭圆的四心圆弧法向误差解析式，并根据法向误差确定了四心圆弧拟合椭圆的最小误差带和最高拟合精度。本文通过回归获得的 是最佳四心圆椭圆的近似公式，在其它文献中未见到。

文献[10]介绍了-种八心近似椭圆画法，可以保证近似椭圆经过椭圆的4个顶点，并且在顶