平面三自由度欠驱动机器人轨迹跟踪控制

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欠驱动机器人是-类含有被动关 节，驱动关节数 目小于关节 总数 ，能用较少 的驱动装置完成复杂任务的机械系统，驱动的减少使系统总质量减少，同时又节省 了能源，特别是在太空和水下机器人 系统以及仿生机器人等研究领域具有广阔的应用前景，因此此类机器人越来越成为人们研究的热点 。

欠驱动系统本质是非线性系统，满足 Brocket条件 ，即不存在光滑的状态反镭制律使系统稳定在平衡点上 ，因此欠驱动系统 的控制 问题要 比-般的非线性问题 更加复杂和 困难 ，必须设计新 的工具和方法。目前，还没有通用 的理论来研究欠驱动 机器人的运动规划和控制。Oriolo等。 论证 了含有 自由的动力学约束 -般 情况下是不可积 的，因此 为二阶非完整系统。De Luea 等研究了第-个关节受驱动 ，而第二个关节为被动 的 2R、PR机械臂 的稳定性问题。Arai 等利用构造轨迹方法证明了平面 3R欠驱动机器 人是可控的 ，并运用反镭制策 略实现对平面 3R机器人的位置控 制。何广平 。 等提 出了两种欠驱动机械臂位置控制 的谐波 函数控制方法 。

刘庆波 等针对欠驱动机器人 的运动控制问题 ，提出了-种基于遗传算法的模糊控制新方法。以上文献主要集中在被动关节的位置控制上 。在实际应用中，欠驱动机器人的末端轨钾制是十分重要 的 ，因此有必要在相关方面做更深入的研究。

本文以末端关节是欠 驱动的平 面 3R机 器人为研究对象 ，对其末端轨迹跟踪控制问题进行研 究 ，根据欠驱动系统的特征并基于模糊理论设计-种控制方法对其进行运动控制。在仿真层面实现规划的直线轨迹以验证控制方法的可行性。

1 动力学模型平面3R欠驱动机器人结构如图 1所示。第 1、2收稿 日期 ：2012-02-03基金项目：国家自然科学基金资助项目(50875002)作者简介：胡毅(1987-)，男 ，北京工业大学机械工程与应用电子技术学院硕士，研究方向为机器人控制等，(E-mail)emails-huyi###1262012年 12月 胡 毅 ，等：平 面三 自由度欠驱动机器人轨迹跟踪控制 ·83·关节(实心圆)为主动关 节 ，第 3关节(空心 圆)为被动关节 。各杆是匀质杆 ，因此视各杆质量集 中在杆的中点。而且 由于本文研究的是平面机器人，故不用考虑重力项。通过 Lagrange方程 ，可以得到动力学方程 ：图 1 平 面 3R 欠 驱 动 机 器 人( ) (0， )厂(b)r (1)式中， 为系统的惯性矩阵 ，h为哥 氏力和离心力项 ，/为阻尼项 ，0为关节角度 ，r为关节力矩矩阵 ；其 中，、厂与角速度及其乘积有关～ 主动和被动关节分离 ，式(1)可以得到如下形式 ：式中，0 、0：为主动关节 角加速度、 为被动关节角加速度， 。、 为主动关节驱动力矩，第 3关节为 自由关节 ，因此关节力矩矩阵第三项为零。

由式 (2)可知 ，欠驱动机器人在模型上与全驱动机器人相似，但因被动关节无转矩输入，所以其加速度约束具有不可积特性，即运动受二阶非完整约束，不能直接从 运动 学 角度控 制被 动关 节 的运动 。但是 ，主、被动关节 的加速度之 间存在耦合关 系，因此可以通过控制主动关节来间接地控制被动关节。此时关节的运动与输入转矩有关 ，所 以应从 动力学角度来实现欠驱动机器人的控制任务。

2 控制方法如图 1所示 ，E为机器人的末端 ， 为规划的直线轨迹。d为 E到直线 的距离 ，同时也将 d视为误差值，并规定对于 ，J而言，原点 O所在-侧的点到的距离为负，剩余的点到 的距离为正。 为关节2和末端 E之间 的连线与杆 1的夹角，是机器人的位形参数。

首先 ，规定关节 角速度、角加速度 、关节控 制力矩(或控制电压)逆时针方向为正，顺时针方向为负。

轨迹跟踪 的控制思 路为关 节 1以规 划 的角速度 运动 ，同时通过主动关节 2和被动关节 3之间的动力学耦合作用控制关节2和关节3的角度，最终实现末端跟踪规划 的轨迹 ，整个 过程 被动关 节 3完全 自由。

在这个过程 中，主动关节 1的加速和减速均会对被动关节 3产生动力学耦合作 用，此耦合作用被视作是对关节 3的干扰 ，可以通过对关节 2实时控制予以消除。因为关节 1是按 照规划 的角速度运动 ，所 以只要保证d0，就能使得末端跟踪指定的直线轨迹。

图 2 直线轨钾制原理框图图 2中 FLC表示模糊逻辑控制器 ， 表示关节 2的控制力矩(或控制 电压 )。其具体过程为 ：主动关节 1按照规划的角速度进行运动，同时将 d和 作为输入变量反馈给 FLC，通过 FLC规则得到作用于关节 2的输出变量 r，再经动力学耦合作用控制被动关节 3的运动，使末端跟踪期望轨迹。

下面分析圆弧轨迹的 FLC模糊逻辑控制器规则的具体形式。

是机器人的位形参数 ，可以根据其值将位形分为两种情况 ；当 ≤0时 ，记为 Flag1；当 ≥0时 ，记为 Flag2。根据实际手动控制经验可 以总结 出模糊控制规则 ，如 表 1所示 。表 1中，NB、NS、ZO、PS、P 为隶属度函数模糊语言变量值。

表 1 FLC模糊控制规则表d NB Ns Z0 PS PBFlag 1 PB PS ZD ⅣS NBFlag 2 r NB Ns Z0 PS PB从表 1中可 以看出 ，输 出量 r与输入量 d在各 自论域上均分成 5个模糊集合。当Flag1时，r值的正负与 d的相反；当 Flag2时，r值的正负与 d的相同。

依据表 1，并考虑到实时计算量，可以将输入量、输出量的模糊化与解模糊化进行简化，得到的输出控制量 的简化形式为 ：-k·d， Flang1 k·d， 矿Flag2式 中 k为模糊控制量系数 。

依据该控制策略，在直线轨迹跟踪控制仿真中，需要根据结果 ，不断调整 k值 ，已达到最好 的控制效果 。

3 数值仿真仿真对象为图1所示的平面3R欠驱动机器人，并考虑关节摩擦力对运动的影响，该摩擦力采用粘性摩擦模型，模型如式(4)所示：， (4)其中/为摩擦力矩， 为粘性摩擦系数，0为关节角速度。仿真的参数如表 2所示。

、， 2 /L 1J 0 -............L 1J -....。........L 1J -............L 1J --....，..，...........L 1J ∞ "他 控 弛 M M 2 3 -............L · 84· 组合机床与 自动化加工技术 第 12期表 2 仿真参数m - l m I m l m I m m3l I 10.25 l 0.20 1 0.20 l 0.81 0.78 O.5ll1 l2 如 1 2 P-3I 32250 200 200 O.24 0.23 0.15 O.18m 分别为各杆的质量，m 、m 和 m 分别为各关节的㈣ 吕蜷割量硝基系 油坐标/mm图 3 末端轨迹由关节 1的角加速度可知，关节 1在 3.9s时角速度和角加速度变化最大 ，由此造成 的对被动关节 3的干扰最大；因此可从图4、图5看出，误差在 3.9s达到最大，此时关节2、关节3由于耦合作用，角度变化 比较剧烈；系统在经过短暂调整后逐步收敛进入稳态阶段，并使误差值收敛到期望值，说明通过对主动关节2的控制，较好地解决了主动关节1对被动关节 3产生的干扰 。

。、援图 4 误差图 5 三关节角度表 3为仿真结果 的误差分 析，从表 中可 知在整个运动过程中，误差都在可接受范围之内。

表 3 仿 真结果误 差分 析最大值 平均值 标准偏差 最大峰谷值5.3740 0.7436 1.1947 5.4I784 结束语本文研究 了平面 3R欠驱动机器人的轨钾制问题。运用模糊控制理论 ，设计 了适 用于二阶非完整系统的控制方法，该方法具有规则简单 、实时计算量邪参数容易调节等优点。仿真结果表明，平面3R欠驱动机器人能完成直线轨迹跟踪 ，验证 了控制方法的有效性及智能控制 的优越性 ，为今后所要研究的复杂曲线跟踪等 问题提供有效的控制策略及方法 。