基于啮合线法的螺杆转子型线设计方法

螺杆压缩机是-种容积式增压设备 ，通过-对相向旋转的共轭转子和机壳内壁配合，槽间容积经历从形成到封闭再到减小的过程以达到槽内工质压力升高的目的。螺杆转子的型线是决定压缩机性能的主要因素，也是螺杆压缩机面世以来研究的重点和热点。经过上百年的积累 ，出现了数以百计的螺杆压缩机转子型线；特别是上世纪70年代以来，由于计算条件和计算水平的提高，结合加工能力和条件的改善，涌现出许多具有代表性的代表型线。这些型线大大提高了螺杆压缩机的性能，扩宽了其应用范围并提高了市场份额。

螺杆压缩机的转子型线虽然数量庞大 ，但其推导方法基本上可以归为两类，如图 1中 (a)、(b)所示。绝大部分的转子型线，如SRM系列型线、复盛型线、日立型线、寿力型线等，由图 1收稿日期 ：2012-06-14-2013年01期(总第237期)(a)中的步骤推导得到 [1-51，即在阴/阳转子坐标系中选择-个坐标系，将预先确定的基本二维曲线布置其中，由包络原理推导出啮合条件的方程式，即建立了转角与曲线参数的--映射关系；将求得的条件式代入原方程，并通过坐标变换，则可求解出对应的阳/阴转子的共轭齿形和啮合线方程。这种将基本曲线布置在转子上的方法，称为 转子法”。

基本曲线可以统-布置在-个转子中，即直接确定- 个转子的型线，再求解另-个转子的型线；也可以分散布置在2个转子中，交叉求解组成曲线并最终确定型线。另有-部分型线由图1(b)中的步骤推导而得 [6]，即主要在齿条上布置曲线，再求解出阴、阳转子的共轭齿形和啮合线方程。这种将基本曲线布置在齿条上的方法，称为 齿条法”。其中最具代表性的是英国城市大学st0 教授的N型线71日。转子法和齿条法是传统和主流的型线设计方法，两者也可以相互结合使用。

设计研究Design&Research蘼 塑料 系下的确定齿形广-]方程式 I lIl系下的煎塞坐标变换 机壳坐标系下的啮合线方程(a)转子法- L-- 型L- I.苈(b)齿条法 - I的啮合线方程l匿 透 l 坐壁 l LI 黥上述的转子法和齿条法，都是在确定转子型线后，才求取啮合线方程。而评f-0螺杆压缩机转子副的效率，都是围绕啮合线方程展开的 21。啮合线方程决定了转子副的接触线长度、泄漏三角形大小 、齿间面积 (工作容积)大孝齿面相对滑移速度等，是研究转子型线 、预判型线性能的主要考量因素。传统的转子法或者齿条法，都是预先将复杂的组成曲线精巧地组合在-起，然后通过冗长的计算过程，围绕啮合线的特征来求解转子副各特征参数；通过考察这些结果参数，返回去对转子型线进行多次调整 ，最后在各结果参数平衡选优后确定最终型线。啮合线只是计算结果中的-个，上述过程费时费力。

Zaytsev[9，1Ol则逆向思维，不事先确定转子型线，而提出了先确定啮合线方程，再对其选择优化后，得到确定的啮合线方程；然后才通过包络原理和坐标变换确定阴、阳转子的型线 ，如图 1(c)所示，称为 啮合线法”。啮合线法从传统方法的结果出发，避开了反复从转子型线出发求解啮合线的过程，减少了设计的计算量；并且由于将基本组成曲线布置于机壳坐标而非转子坐标，得到了不同以往的型线，大大拓宽了型线的可选范围l1。另-方面，大量的优秀转子型线虽由传统方法设计，但其啮合线的特征可直接为啮合线法所借鉴；啮合线法虽然诞生较晚，但也有大量的经验、案例可以参考。

。 本文首先介绍了啮合线法的设计原理，并以齿轮原理中的齿廓法线法为包络条件的求解方法，O2l 瓣 慰同时选用矩阵变换作为坐标变换方式，推导出几组转子型线，展示了啮合线法设计型线的特征，为后续发展啮合线法提供了基赐借鉴。

2 啮合线法的设计原理2.1 坐标系及坐标变换图 2 坐标系的选取图2是啮合线法设计齿形时所采用的坐标系，与转子法设计齿形时采用的坐标系-致[41。ri 、ri：分别表示阳、阴转子的节圆半径， 为中心距，将机壳坐标系原点0 布置在阴阳转子节圆切点处。首先在机壳坐标系0， Y 中，将啮合线的方程rf确定，然后通过转移矩阵实现坐标变换∩通过下式，将啮合线方程从机壳坐标系0mY 转换到阳转子坐标系OlXly1hM lfcosb1 sinbl -rjlcos，lMlfl-sin咖1 costhl rjlsingbl l (1)0 0 1 J同样，将啮合线方程从机壳坐标系0 Y 转换到阴转子坐标系022y2rzM rfl cosb2-sinb2 rj2eos咖2 f2ll sinth2 COS)2 rj2singb2 l (2) 0 0 1 J而 。、 ， 。、rj 分别满足下式 ： ㈥式中，zl、 分别为阳、阴转子的齿数。

2.2 啮合条件求取齿廓法线法的基本原理为：共轭齿廓在传动的任意瞬时，它们在接触点的公法线必然通过该2013年01期(总第237期)-设计研究Design&Research瞬时的瞬心点 l2～坐标系选择如图2所示的位置 ，则接触线的瞬心点固定在0 点处，0，点同时也是阴、阳转子节圆的相切点。这样 ，在机壳坐标系0r Y 中，接触线上任意-点 ，其法向量必然通过0 点，即0 连线方向即为点M处的接触线法向。利用这-点，可大大简化啮合条件的求解过程。

在坐标系0 xfy 中，啮合线上点 的坐标为rF[ fyf(t)1] (4)方程 中的下标.厂表示各参量均落在坐标系0mYf中，T表示矩阵转置。本文为紧凑篇幅，采用列矩阵转置来表示行矩阵，下同。

则可直接得到点 的法向量Nf[xf(t)yf(t)0] (5)将方程 (4)代人方程 (1)中，可得点 在阳转子坐标系0 xf。的方程1 xf(t)cosblyf(t)sinb1-rj1cosgb1 Ir：l- f( )sin 1竹( )c0s 1 lsin 1 l (6) 将方程 (5)代人方程 (1)中，可得点 在阳转子坐标系Oixy 的法向量J鳓(t)cosb1yf(t)sincb1Ⅳll-xf(t)sinb1yf(t)cosgbl (7) 0 fI l图 3 齿面啮合关系空间 2个共轭曲面，如图 3中的 、 ，在任意某个啮合位置下，其瞬时接触点 必然同时是曲面 、易 的公切点，即 、 在点 处具有公共的法面 和切面 。由齿轮原理可知：共轭曲面在接触点处，其公法向的相对速度为零l2]。即点2013年o1期(总第237期)处 ，两个曲面的相对运动速度 落于公切面处 ，则公法向量Ⅳ满足下式Ⅳ· O (8)阳转子的滑动速度向量式表示为 co ly l 1 ( 《f)si l f)co lrj1si 1)l： ：J-XfIsin -yf/COl 枷 - r：ogi)l (9) 出 10 l J将方程(7)、(9)代入方程 (8)，可化简得fxfxf yfyf rj1竹 1 0 (10)则有西 ，- (11)T1 t方程 (1 1)建立了转角 与t的显式化的--映射关系，对其进行积分，可得。( )：f tXfXf'yfyf'dtb。 (12)通过选认适的起始点参数t。，并将此时的初始转角qb0由相邻位置求得并代入，则可以得到转角 。关于位置参数t的函数～式 (12)代入方程(6)，即得到了阳转子的齿形方程。

由方程 (3)，可以直接得到(t)： (13)012将方程 (4)代人方程 (2)中，可得点 在阴转子坐标系Oxfy2的方程l f( )cos 2- )sin咖2 2cos咖2 Ir2：I )sin咖2 )c0s 2rjzsin 2 I (14)l 1 I J将方程 (12)、 (13)代入方程 (14)，即得到了阴转子的齿形方程。

3 基本曲线段的共轭齿形3.1 点假定啮合线上有-个固定点，在机壳坐标系Ofxfyf中的坐标为rf[a b 1 IT (15)由方程 (10)可知，啮合关系式 厂中的前 2项，由于 )If为常数，其导数为0；为保证第 3项也为0，只有Yf恒为0才能满足，即6O，该点落于连心线0。Df 上～方程 (15)代人方程(6)、(14)，可分别求得点对应的阳、阴转子的齿形方程设计研究Dign&Resarchf(口-rj。cos 1厂1 l-(n- sin 1r2 (arj2)咖 $12 inl21(16)显然 ，机壳坐标系中的固定点对应生成的是圆心位于转子轴心的2个圆弧，即对滚圆弧对。

3.2 直线假定啮合线上有-条直线 ，在机壳坐标系0yf中的坐标为rf tsinaa tcosotb 1] (17)由方程 (11)得，其啮合条件方程式为。，： - 旦 - (18)rjl rjl t解得l(t)-皇 -，atancxb 1nt 0 (19)1 ，j将方程 (17)代人方程 (6)，即得到阳转子的齿形方程l sin( lO)仪)(0-Tj1)C061(t)b sin4，l( )1rltCOS(4，1(t)Ot)-a-rji)sin4，1(t)bcos4，1(t)l(20) j将方程 (13)、 (17)代人方程 (14)，即得到阴转子的齿形方程r2。

嘲in( rj. s in泐 s( n 。sl(21)方程 (20)、(21)中的咖。均由方程 (19)求得。

特别的， ab0时，方程 (19)、 (20)、(21)分别退化为( )-旦 (22)rj蹦nI-詈汁 )-rjcos(-詈t) 、 1 ri /tcos(- 叫 sin(.I l～ Ir；1-二二-t l、 ril / r订 /l(23)r2in(- 1rjlcosf-sec.ot1 r#12 ， l rjtt2tcos(- rj1sinr#n (- r#12 I- IiI二 l / /l(24)显然，方程 (23)、 (24)表示压力角为 的渐开线曲线齿形。

3.3 圆弧假定啮合线上有-条圆弧，在机壳坐标系0 yf中的坐标为rF rsinta rcostb 1] (25)其啮合条件方程式为- rcost ri1I D J(26)对其进行积分求解，并从不定积分求解角度，咖。(t)的解依据b与r的大小关系可以分为以下3种情况(a)br时螂)- -÷lnlasintrcostrI堕tant机(27) rj1 rjl rrjl 2(b)b>r时l-- f- lnl(玛intrc08 b lrjl tan～t 。 (28)rj1vz-Z 2 ～(C)b

(31) ④圆心在连心线D DfD 上，bO，a-rd2，r 2/2÷ (41)方程(30)、(31)中的 (t)均由方程(27) (29)求得。

圆弧的布置有以下几种特殊情况①圆心在连心线0。O 上，hob0(t)；- (32)且阳、阴转子齿形为r2rsin(1- rj1)cos 叫rcos(1景 。)(n吖j1)sin a 。)1H( ri2)cos( 詈 )j rc。s a )(口 。)1 1②圆心落在阳转子轴 6o 上，即口，j。，bO咖l( )- 咖0且阳、阴转子齿形为r1[rsin n rc0s n 1]/'2rsin(1 4，-2。)A cos( crc。s( i12 1tsin( (- )1(33)(34)(35)(36)詈sin( 詈)抖 )(-詈- -)c。s(詈件qb0)c。s( ) 。)-(-詈- -)sin(詈 。)rj2sin(号- )c。s(÷-号) l -o l - Jl in(号 )c。s(÷-手)(42)(43)显然，这种情况是阴转子上径向直线产生了阳转子上的广义摆线。

sint- 11(44)(45)(46)显然，这种情况是销齿圆弧对在某-转角啮合。

(37) 3.4 其他基本曲线显然 ，这种情况是阳转子上固定点产生了阴转子上的摆线。

③圆心落在阴转子轴-60：上，即0 ：，bO咖1( ) 12 咖0 (38)rsin((1 l2)t十咖0) cos(/l qb0)1，.1：I rcos((1i，z)t4，o)A sin(iI2t4，o)l (39)l 1 Jn )rc。s )·]T (40)- 2013年01期(总第 237期)和转子法类似，可选取椭圆、抛物线、双曲线等二次曲线和其他曲线 (如高次多项式曲线等)作为基本曲线，经过合适的定位布置，来生成转子齿形曲线。限于篇幅，对其他基本曲线生成的转子齿形方程不做推导。

4 啮合线的特征啮合线受-定的限制，须遵循-定的设计原则。啮合线是三维螺杆转子的螺旋表面相接触的公共点集合在端面的投影 f2B]：首先，啮合线上的点是螺杆表面上的点，所以必定在各转子齿顶圆设计研究Design&Research和齿底圆之间；其次，啮合线上的点是阴、阳转子表面的接触点，则必定在两者的公共区域内，即图4中阴影所示的区域。

图4 啮合线的分布区域啮合线被转子轴心连线0 0：分为 2个区域，并交于。、6点。则0点必为离0。最近的点，6点必为离0：最近的点；同时，口点必为离O：最远的点，6点必为离0 最远的点。从0点出发 ，不论逆时针或者顺时针方向，沿着啮合线向6靠近，其过程必定是离D。点越来越远。啮合线与0 0 连线的交点，若不在节圆公切点处，则须满足在该点处，啮合线垂直于0。0 [91连线。啮合线上任-点，其切线不得垂直于该点与转子轴，00 0：的连线方向。

转子轴心连线D。D：上面的部分是转子副密封侧型线对应的啮合线，下面的部分是转子副传动侧型线对应的啮合线。上面部分，须使上止点量接近转子齿顶圆交点；下面部分，则在兼顾齿间面积的前提下，尽量使啮合线长度缩短。

啮合线应避免在上下止点处以外的区域出现尖点。尖点的存在，必定相应造成转子型线上产生尖点，造成型线加工性能的恶化 [删，也是转子运转中磨损恶劣区。另外，尖点加大了型线产生干涉和过切的可能I1]。所以，现代型线基本避免尖点的存在。

5 啮合线法的设计实例由上述推导过程可知，这种将基本曲线置于机壳坐标系的方法，使得转子组成曲线的齿形方程区别于传统的基本曲线方程，下面举例具体说明。

如图5所示，将销齿圆弧GD 的圆心置于D 点处，以保证圆弧GD 与新轴垂直相交～圆弧06l i瓣 毯的圆心置于第-象限，并与圆弧c 于G点光滑相接～椭圆弧D矗 的短轴置于 轴，并与圆弧CfD于 点光滑相接。选认适的日点，使日点的切线通过点D ，将 点置于0 点处，连接E ～圆弧A 的圆心置于第二象限，并使A 点落于0 点处。在第-象限布置斯卢兹蚌线鼬 ，，f点落于0 点处，Ⅳf，f与A 光滑相接于，f点；风点落于规轴上，日f，f与新轴垂直交于 点。在第四象限布置另-条斯卢兹蚌线 ， 与隅 光滑相接于 ；G 点落于新轴上， 与新轴垂直交于G 点。图 5(a)中，点A 、，f、 重合于点D ；点G 、Hf重合于柳轴，且另有-点s，与此二点重合。在图5(b)中，∑。、∑：、∑，、∑ 、∑ 、∑ 、∑ 分别表示了曲线段A 臃、 cf、、 Df日、目 、 G 、 ，f所在的完整曲线，其中∑ 、∑：、∑，是圆弧，∑ 是椭圆，∑ 是直线 ，∑ 、是斯卢兹蚌线。

ft-x， (a)啮合线各组成曲线段 (b)组成曲线段的定位图 5 啮合线的定位将上述组成曲线段分别用章节 3中推导的方法求解出共轭齿形，标于图6，各段的啮合关系由表 1描述。

图7表示了-个 56齿的齿形设计实例。通过转子副间的包络，可验证谚；车专子副啮合完整，无干涉。

(a)阴转子齿形 (b)阳转子齿形图6 生成的阴、阳转子齿形2013年O1期(总第 237期)设计研究表1 设计实例中各段组成曲线描述Design&Research组成曲线段 曲线定位 阴转子共轭段 阳转子共轭段A r岛 圆心在第二象限的圆弧 圆稽络线 A 圆稽络线A B日f Gf 圆心在第-象限的圆弧 易 圆稽络线曰2c2 圆稽络线B c。

Ct D 圆心在 0f的圆弧 销齿圆弧 C2D 销齿圆弧 C D1DE 短轴在 新轴上的椭圆弧 乏 椭圆稽络线 D 椭圆稽络线D，E。

Gf 。 通过 o 点的斯卢兹蚌线 乏 蚌线包络线 G 蚌线包络线 GHtlt 通过 0 点的斯卢兹蚌线 蚌线包络线 蚌线包络线日 。

(a)转子副及啮合线(b)阳转子对阴转子的包络图 7 转子副及其包络6 结语本文采用齿廓法线法，详细演示了啮合线法这-新的转子型线设计方法 ，并 以点、直线 、圆弧等为例，推导出啮合线上的典型基本曲线段对应展成的转子曲线段的方程。通过对基本曲线段的组合 ，可拼接出新的转子齿形；本文以-个 5-6齿转子副的齿形设计为算例，展示了啮合线法设计的特点，为进-步设计高效型线提供参考。