基于EMD和分形的齿轮箱故障特征提取

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齿轮是齿轮箱的重要组成部分，齿轮发生故障时，振动信号包括固有频率，轴旋转频率、啮合频率，噪声等常常是非平稳，非线性的.表现齿轮故障特征的信号非常微弱，故障特征信号被设备的工频振动、传递环节调制和噪声干扰所淹没，信噪比低，振动信号具有明显的时变非平稳特性.时变非平稳信号处理方法主要是时频分析，包括小波变换、短时傅里叶变换、双线性时频分析和经验模态分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)等 。

如何能消除噪声，又能较好地分析非平稳、非线性复杂信号，提取故障特征的关键方法可运用 收稿日期：2012-11-25基金项目：国家 自然科学基金项目(50915028)作者简介：李建毅(1989-)，男，贵州贵阳人，在读硕士研究生，研究方向：机械状态检测与故障诊断· 116 · 陕西科技大学学报 第31卷EMD方法.EMD作为-种 自适应 信号 的时频处理方法，具有分解完备性、自适应性、滤波性、时间尺度滤波特性等，从根本上解决 了用基 函数拼凑信号带来的固定基函数、最佳基的选择、恒定多分辨率以及能量泄露等问题，更适于非线性非平稳信号的处理 j。

在对信号进行 EMD处理后 ，如何提韧刻画齿轮箱故障特征信号成为问题的关键.针对齿轮箱振动信号具有 自相似性和无标度性 ，本文将引入分形维数来刻画齿轮箱 的故障信号。

本文在改进 EMD算法的基础上，将其与分形理论相结合，分析齿轮箱齿轮故障，有效地提取出齿轮箱齿轮在不同故障状态的故障特征，为齿轮箱齿轮的故障诊断提供 了重要手段。

复上述步骤，直到得到余项 ( )为-个单调信号或小于某个阈值，分解结束。

EMD算法最终 (t)可以分解为 个 IMF和- 个余项，记作：，z( )- >： ， i# 1式中 称为残余函数，代表信号的平均趋势。

EMD分解是将模式分量从高频到低频逐次分离，其本质是-个 自适应二进滤波器组的滤波器。

得到的分量是满足完备性和几乎正交性的，由于没有固定先验基底，避免了主观干扰，实现完全数据驱动的信号分解.可变的瞬时幅值和瞬时频率不但很大程度上改进了信号分解效率，而且使 EMD非常适合分析非平稳非线性信号。

1 经验模态分解 2 EMD端点效应抑制EMD的本质是将-时间序列的信号分解成不同时间尺度的 IMF分量 ，所谓 IMF分量必须满足两个条件 ：(1)对于-列数据，极值点(包含局部极大值点X ( )，i- 1，2，，N 、 局 部 极 小 值 点X( )，i-1，2，，N)和过零点数目N 。 必须相等或至少相差-点 ，即 N N 。 -N 。

(2)在任意时间点 t 上，由局部极大值点构成的上包络线 ( )和局部极小值点构成的下包络线 z( )的 平 均 值 为 零， ( ( )z(f ))/2-0，t ∈ It。，tl，]，即信号关于时间轴局部对称。

对 于信 号 z(f)，其 EMD 算法 分 解 过 程 如下 ：Stepl 设 z是任意离散时间序列，求 z( )的所有极大值点和极小值点。

Step2 用三次样条函数法分别对极大值点序列和极小值点序列进行插值，得到信号的上下包络线 e( )和 P-( )。

Step3 计算平均包络线：re(t)：(P(f)e( ))/2，并提取信号的细节 -z-re(t)。

Step4 判断 ( )是否满足 IMF的两个条件，若不满足，记 z-d，重复步骤(1)～步骤(4)，直至满足条件.此时， 为-个 IMF，记为imf1。

Step5 记 r ( ) ( )-imf 为新的待分解信号，重复步骤 (1)～步骤 (4)，得 到第二个 IMF，记作 imf ，此时，余项为 r。-r ( )-imfz.重在用 EMD对齿轮振动信号的分析中，由于我们采集信号和分析信号不可能是无限长，当对信号进行三次样条插值的时候，由于不能确定两端点是否为极值点，可能会使信号的上下包络在端点处严重斋乱，出现数据拟合误差，这种由于端点处出现摆动进而破坏整个数据特性的行为称为端点效应”.对有限长信号的分析或处理 ，无可避免地要遇到端点效应问题。

针对齿轮振动信号为周期信号的特点，本文提出-种基于能量误差的端点效应抑制方法，从原信号 内部选-端与端点处波形和趋势最相似的-端波形对端点进行延拓。

相关性分析是指对两个或多个具备相关性 的变量元素进行分析 ，进而衡量两个变量因素的相关密切程度.在信号处理中，相关函数描述 了两个相关函数或-个信号自身波形不同的相关性，揭示了信号波形的结构特性 ，所以在理论上我们可以用相关性来比较两个波形的相似程度。

假定两个信号 ( )， .可以引入-个时间r 有关的量 (r)，称为相关系数r- ， 、 ll、x(t)y(t-r)dtl0 (r)- F -------1 ( )dtv ( )dt ILJ -∞选择合适的倍数 a，使a·Y(t)ex(f)在这里引入能量误差的概念 ，1 r丁Q-寺I -ay( )] dt √ 0采用类似判断函数正交性的方法来通过判断第 1期 李建毅等：基于 EMD和分形的齿轮箱故障特征提取 · 117 ·最小能量误差来求波形相似，具体方法如下：倍数口的选择必须要保证能使能量误差为最小，通过对函数求导求极值可以求得最小的n。

/ -0当 口为z( )· 在时域的积分与 ( )· ( )在时域的积分比值时可以满足条件 ，在此条件下的误差能量是可能所有条件下最小的.定义 z( )与.y( )的相关数为P，定义相对误差能量为Q -1- Day(r)Q 就可以用来表征两波形的相似程度.在故障诊断中采集的信号都是能量有限信号，对于能量有限的信号而言，能量是确定的，相关系数 p的大小只由z· ( )的积分所决定.如果两个信号相互独立无 线性 关 系，两 函数 Iz·.y：0，故pxy(r)-0，即两信号波形相似度最差 ，不相关 ；两函数 (r)-1，则误差能量为 0，说明这两信号相似度很高，是线形相关.因此可以把 (r)作为两个信号波形的相似性 (或线形相关性)的-种度量是完全有理论依据的、且合理的。

通过最小能量误差相关法在信号内部寻找与端点处信号变化趋势相关度最高的-段子波形，由此找到的相关度最高的-段子波形的极值点位置、大小以及变化趋势与端点处信号变化趋势具有 良好的相关性 ，因此 ，可 以以此段波形 的包络线来 重新刻画端点处的包络线.子波形选取方法如下4]。

设离散信号 x( )-Ex(t )，x(t )，x(t。)，，x(t )]，共有 个离散数据点，其中，t -t A t，△t为采样间隔.共有 个极大值点和P个极小值点，分别表示为：极大值：indmax- [indmax(1)，indmax(2)，，indmax( )]。

极小值：indmin-Eindmin(1)，indmin(2)，，indmin( )]。

待分解对象左端点，对于上包络线，用 k表示从 z( )到 x(t 。)的离散数据点个数 ，原信号左端点至第二个极大值点信号序列数据为研究对象X1。

Xl( )-[ ( 1)，，x(t 1)，，x(t 2)]在原信号内以每个极大值点(除左端第-个极大值点)为右端点，并取子波形 X ( )为X女( )-[z( - )，，x(t。)]对于下包络线 ，用 z表示从t 到 t 的离散数据点个数，左端点至第二个极小值点信号序列为研∽十-1 T√亭 c d ·√J. c ，d· 1l8 · 陕西科技大学学报 第3l卷、 . 。

xz( ) √∑X (T)√∑x (T)- m in - √∑x。 (丁)√∑x (T)、 。

x ( )x )√∑X (T)√∑x 。(T)分别计算 ～ 取最小值对应的刻画左端点上包络的子波形 、左端点下包络 的子波形、右端点上包络的子波形以及右端点下包络的子波形。

3 分形维数计算根据计算方法不同，分形维数分为 Hausdorf维数、关联维数、盒维数和网格维数等.-维离散信号的盒维数是介于 1和 2之间的-个分数，信号越复杂，盒维数越大；网格维数是-种与盒维数定义等价的分形维数计算方法，适于用计算机处理 。

网格维数是将欧式空间分为旧能细的 △网格 ，通过对离散空间上 的计点数来表征数据 的特征.针对振动信号 的无标度性不可能无 限小，选用网格维数作为特征模式可以根据需要调节 △网格的大小，计算方便；其次振动信号在实践分析中基本是连续光滑的，用 网格维数表示 ，更加直观 ，快捷。

分形维数能够反映振动信号的不规则性和非平稳性.实际信号采样是以离散空间点集的网格计点数进行计算的，采样间隔-定时 ，网格计点数 的大小表现为分形维数的大小。

3.1 网格维数计算方法及仿真常用的网格维数计算方法有平均法、最小二乘法等，本文用最小二乘法计算网格维数Y - - dx b其 中 k1，2，，K，d，b为直线 的斜率和截距 ，而 d为分形维数。

当我们计算了K 和测定了( ，Y )，忌-l，2， ，K.可以建立函数Kf(d，6)- ( 出 -6)k 1使这个函数获得最小值的条件为：得到N N ～∑-z -∑z ∑Yd (x)-上1-- - -∑ 。-(∑ )- l k lN N N∑logklogN地-∑logk∑logN出k- 1 - 1 - 1N N∑log k-(∑logk)k- 1 女-1设实际采样 时间 T(为有限量)，采样 间隔为A t，采集振动信号为 X(x ， 。，，z )， 为样本序列点数 ，n- 1· 则信号的网格维数定义为in(N，)- 二 N -∑[I 件 /At i-xi/At I 1]n，[.z] 表示最靠近且大于 ，2-的整数。

实际应用中，信号采样是以离散空间点集的网格计点维数进行计算的.将欧氏空间 R 分为旧能细的△网格[6]，将集合 X(x ，z ，， )离散为数字点集 ，用 N 表示离散空间(间距为△)上的集合 x 的计点数.选取 k个不同网格宽度△ ，得到计点数为 N ，k-1，2， ，K.可得式fz - - log(△ )lY -log(N△ )由M (z ， )构成直线的斜率，即为信号网格维数E7]。

本文分别以正弦和余弦信号为原始采样信号，计算 网格维数 ，选取采样周期 △t z0.000 1( )，采样时间长度 T-1.638 4(5)进行采样 ，采样点数c- -16 384，计算结果如表 1所示 ，由 ，Y分别为正弦和余弦信号的计点数的对数值.计算网格维数如图 l所示。

表 1 正弦与余弦信号网格维数计算表出 如 / / ∑H ∑2 2 ： -厂 -， 厂 -6第 1期 李建毅等：基于 EMD和分形的齿轮箱故障特征提取 · 119 ·图1 正弦与余弦信号网格维数计算图由最小二乘法计算得出拟合直线的斜率为 d-0.985 7，d -0.985 9，即正弦和余弦信号网格维数分别为0.985 7，0.985 9.正弦和余弦信号的真实维数为 1，计算的维数偏低，与其真实维数的误差分别为 1.43 和 1.41%，从而说明网格维数能较准确地描述信号的维数特征。

4 利用 EMD分形技术计算齿轮箱轴承网格维数4.1 齿轮箱齿轮振动特性齿轮传动的振动主要是齿轮啮合激励振动，振动信号主要成分是啮合频率及其谐波分量.齿轮的各种故障在运行中都具体表现为-个传动误差，即齿轮在传递恒定扭矩时，其输出的实际量与理论位移量之间的差值，这个差值就构成了齿轮振动和噪音的主要激发源，传动误差来 自于齿轮加工过程等对轮齿上载荷 的变化 ，传动误差的变化会影响齿轮进人和脱离啮合时的碰撞力 ，从而产生不同的振动峰值，并且形成短暂时间的幅值变化和相位变化。

相应的振动与噪声功率谱图上除存在啮合频率及其各阶谐频成分，谐波族附近出现大量边频带，根据边带的形状，可以分辨出齿轮存在着局部性缺陷还是分布性缺陷4.2 齿轮箱齿轮振动信号采集采集某变速齿轮箱的振动数据，其中采样频率为 2 048 Hz，电机转速为 850 r/min.变速齿轮箱经过改造，三个档位 的齿轮均换 为相 同齿数 的齿轮 ，并且三个齿轮分别为正常、点蚀剥落和偏心齿轮 ，分别记为 1号 、2号、3号齿轮.4号齿轮为人为用电火花点蚀的故障齿轮，图 2为齿轮的时域信号波形。

采集三个齿轮在相同工作背景下的振动信号，试验中为减少其他因素影响，计算其网格维数.这里特别需要说明，由于信号噪声对网格维数影响很大，故而在计算前要用小波消噪对信号进行预处理，以提高信号信噪比s]。

图 2 1至 4号齿轮的振动信号时域波形4.3 齿轮振动信号网格维数的计算由于齿轮振动的固有频率较高，这里主要研究齿轮的低频特征.电机转速为 800 r/min可知 ，齿轮的旋转频率为 25 Hz，而齿轮故障特征通常表现在旋转频率的倍频，故齿轮故障特征主要集中在振动信号的低频部分.EMD分解以时间为特征尺度将信号自适应地分解为由高频到低频的不同频带。

将采集到的齿轮振动信号进行 EMD分解，得到的各阶IMF分量和残余分量.4号齿轮的 IMF分解如图 3所示。

图 3 4号齿轮信号经过 EMD分解后各阶 IMF分量及残余分量从图3中可以看出，该振动信号经过 EMD分解后，分解出 6阶 IMF分量和-个残余分量.由于EMD分解是将模式分量从高频到低频逐次分离，信号中最重要的成分都集中在前几个分量中Elo]。

而齿轮信号为高频，从图 3可以看出，后两个模式分量的幅值较小，频率较低，因此，为了减少计算量，且不丢失主要信息，本文将其视为噪声成分.本文选择前 4阶 IMF进行网格维数计算，如表 3所示。

表 3 信号的网格维数齿轮编号 原始信号 IMF1 IMF2 IMF3 1MF4为了更直观地表示 出分解 的 IMF分量 的网格维数，可用图将其表示出来，如图4所示。

由图 4可以看出 4号齿轮的网格维数与 2号距离最近，它们都为点蚀故障，该实验结果与实际结果相符。

· 12O · 陕西科技大学学报 第31卷5 结论图 4 网格 维数 图振动信号具有分形的自相似性和无标度性，可用网格维数来表征两个振动信号的特征.针对齿轮箱振动信号信噪比小，本文采用 EMD对信号进行自适应滤波处理 ，并提出了基于最小能量误差的端点效应抑制方法，对端点进行了处理，分解得到若干 IMF分量 ，然后选择包含故障信息的 IMF分量重构，求重构信号的网格维数，比较信号网格维数来判断故障类型，并通过实验验证。

实验表明：(1)网格维数可以作为特征量来判断转子系统的工作状态和故障类型；(2)EMD和分形维数相结合的齿轮箱故障诊断方法，能很好地判断故障，且能简单快捷地判断出故障类型。