子孔径拼接检测浅度非球面

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干涉测量具有 高分辨 、高精度 、高灵敏度 、重复性好等优点，已成为检测光学元件面形的主要手段。

检测非球面的干涉测量方法主要有无像差点法 、补偿法fl 、计算全息法f31、子孔径拼接法4J等。其 中，无像差点法 只适用于检测二次非球面。补偿法由于补偿镜的加人，其本身的加工精度将影响测量精度 .且加工难度大成本高 ，需针对被测光学元件专 门设计 ，测量不灵活，对安装要求高。计算全息法适用于各种光学镜头的测量 .然而计算全息制作复杂 ，常与补偿法综合使用 。1982年 ，美 国Arizona光学 中心的 C.J。

Kim首先提出了子孔径拼接检测概念5]。采用小 口径平面反射镜阵列代替大口径平面反射镜实现了抛物面镜的自准直检验。2003年 QED公司制造的子孔径拼接干涉仪工作站[61，适用于平面 、球面以及适度非球面光学零件。子孔径拼接干涉测量无需补偿镜、成本低 ，解决了大视场与高分辨率的矛盾 ，能在提高横向分辨率的同时增大垂直测量范围。

以下主要介绍子孔径拼接的全局误差均化算法的数学模型 ，用圆形子孔径划分浅度非球面的划分原理。用 37项 Zernike多项式拟合浅度非球面 ，并对其进行子孔径划分 ，将子孔径移到各 自的局部坐标 ，在拼接前在各个子孔径分别加入平移 、倾斜和随机误差 。通过仿真拟合分别得到这三种误差对拼接精度的影响。在拼接完成后 ，用最小二乘法对全 口径进行了去平移和去倾斜处理 。

子孔径拼接规划及算法1.1 浅度非球面的面形拟合由于 Zernike多项式的函数系在单位 网上正交且与 Seidel像差对应 ，适用于拟合光学面形7 。在直角坐标系下 Ⅳ项 Zemike多项式为：AZi∑ aiZ(x，y) ，)，) ( ，y) ， ( ，)，)(1)式 中 ：a 为 Zernike多 项 式 中 第 i项 系 数 ；zf为Zernike多项 式 的第 i项 ：Ⅳ为 Zemike多项 式 的项数 ；X，Y为数据点的坐标值。

1.2 全局误差均化算法原理子孑L径拼接检测法f9的基本原理是分别检测大口径面形的-部分 ，即对子孔径进行扫描 ，并使各个子孑L径之间有重叠 ，然后从重叠 区提取出相邻子孔径的基准面之间的相对平移 、旋转，并依次把这些子孑L径 的基准面统-到某-指定 的基准面进行拼接 ，从而恢复出全孔径波面。

全局误差均化算法原理l0J如下 ：设子孑L径数为r，每个子孑L径区域记为 S ( l，2，，Ⅳ)，任意两个重叠的子孔径形成-个重叠区，总的重叠数为 。在全孔径坐标下目标 函数可表示为 ：( ，y)axbycf( )， ) ( ，Y) (2)式 中 ： ，)，)为子孔径的位相值 ；Wo(X，Y)为拼接完成后 子孔径 的位相值 ；a为 方 向倾斜系数 ；b为 Y方 向倾斜系数；C为离焦系数；d为平移系数。

对任意-对相互重叠的子孔径 ，设 m、n分别为这两个子孑L径的序号 ，对重叠 区中的所有数据 ，理论上其位相值是相同的 ，易得到：Ⅵ ( ，y)-W.(x，)')(口 -口 ) (易 -b ))，(c -C )( )， )( - ) (3)设 个重叠区域用 o-(i1，2，， 表示 ，其对应的子孔径序号记为 m、n，则对所有重叠区域的数据有：Wm/(x，y)-1 ( ，y)(口 -n ) (b -b ))'(c -c )( y )(( - ) (4)式 中 ： ，Y)∈o'i(il，2， ， 。

由于测量中必然存在误差，故所有重叠区中的测量值不会完全满足上式，对于每个重叠区域会有残差，定义目标函数 表示所有重叠区的残差平方和，即：hlVl-∑ ：lIⅥ，舢( ，))-Ⅵ ( ，y)-(a -n )x-(b -b )y-(Cm/- ，lf)( )， )-(( - )]2dxdy (5)设 拼接 向量 E 01，2，，J7v) b C 瑚 ，目标函数 是拼接 向量的函数 ，寻求该 目标函数达到最小时的拼接向量 ，完成子孔径的拼接 ，最后利用最小二乘法对浅度非球面进行去平移和倾斜处理。

1.3 子孑L径划分及拼接路径浅度非球面的非球面度并不是非常大 ，因此参考大口径平面进行子孑L径划分 。设被测元件直径为D，子孑L径直径为 d，为保证拼接精度 ，使得重叠 区域的面积不小于全口径面积的 1/4t，通过计算得 两孑L径的间距应小于 0.64d，仿真时取为 0. ，子孔径数 目Ⅳ为：arc。s 0.6d)2(0.5D)2.-(0.5d)2x 6dx0 5D -1 1 ～ (6)1.4 子子L径拼接算法流程根据前面介绍的非球面拟合方法 、拼接算法和子孔径划分方法 ，设计的仿真算法流程如图 1所示 。

第 9期 王 宁等 ：子孔 径拼 接 检 测 浅 度 非 球 面l冬J l子孔 径拼 接算 法 流程 图Fig.1 Algorithm pattern of sub-aperture stitching2 拼接仿真检测- 个口径为 D150mm.面形 PV14.4015 nm的用 37项 Zernike多项式仿真拟合 的面形 .其 维图 如 图 2所 示 ，二维 图 如图 3所示 。

Original surface10g盖 0器- l0图 2待测 面 形 i维Fig.2 Three-dimensional graphics of original surfaceOriginaI surthce P 14 40I 5 1110 2O0 400 600v/pixel3被测 面形 的 二维 网Fig.3 X-Y scheme of surface under test对陔面形用圆形子孔径 口径为 d50.8 mm进行划分 ，根据 1.3节介绍的划分方式 ，选择相邻两子孔径的间距为 0.6d，计算结果 示该面形应划分 为 7个子孔径 ，划分结果如同 4所示，图中阴影区域为子孔径之间相交的区域 。由公式(5)所示的 目标函数是拼接向量 Ei( 1，2，，忉口 b，C， 的雨数 ，以中心子孔径 1作为基准子孔径，即E 0 0 0 0 。用MATLAB编程计算 m各子孑L径相对于 中心子孑L径的拼接向量 ，且对所有 的子孔径进行拼接 。

0 200 400 600/pixel图5理想情况下的拼接面形Fig.5 Stitched surface under perfect stateDirfcreliee P 2.93lc.0l3nm200 400 6x/pixel6理 想情 况 下的拼 接精 度Fig.6 Difference under perfect state㈣ 枷 姗 Ⅻla dl10 0 0 0 0 O -∞ 如 ∞ 如 加 mxl O O O 0 O O ∞ 如 蚰 如 mx1 d，红外与激光工程 第 42卷面形 、拼接面形及拼接精度的 P 值如表 l所示。由此可知，在理想情况下 ，拼接精度在 10 。数量级，拼接面形与待测面形之间的差异在可接受的范嗣之内。

表 1理想。隋况待测面形、拼接面形及拼接精度的PV值Tab.1 Py values of surface under test.stitchedsurface and diference at perfect state为了分析平移 、倾斜和随机误差对拼接精度的影响 ，在拼接过程中分别加入这几种误差 。仿真中非球面的采样间隔 Ax0.25mm.用 MATLAB生成单位随机均匀分布矩阵 ，加入 0.0lAx(-0.005Ax～0.005Ax)平移误差和 0。02Ax(-0.0lAx-0.0]Ax)平移误差时，其拼接精度的二维图形如图 7和图 8所示 ，其拼接精度的 PV值如表 2所示。由仿真结果可以知道 ，当只存在平移误差时 ，随着平移误差的增大 ，拼接精度不稳定 。但数值都在 10 。量级 ，单从数值上来说可以0 200 400 600x/pixell蚓7加入 0.0lAx平移误差时的拼接精度Fig.7 Difference when adding 0.01 translation errorDifiefence PV：2.966 5e.0l3nm- 0.5×- 1 O×- 1.5×- 2.O×- 2.5×00-0-”0-忽略不计。m现这样的情况与算法的去倾斜和平移有-定的关 系。在多次运行程序的时候发现 ，即使平移误差增大到 0.5Ax，拼接精度仍在此数量级 ，可以忽略 不计 。

表 2不同平移误差拼接精度的 P 值Tab.2 PV values under diferent translation errors只生成 O.02rad(-0.01～0.0l rad)和 0.04rad(-0.02～0.02 rad)倾斜误差加入子孔径。其拼接精度如图 9和图 l0所示.拼接精度的 PV值如表 3所示。由拼接结果可以知道 ，倾斜量对拼接精度的影响与平移量的结果类似∩以看到，拼接精度图像显示I叶I了子孔径划分的轮廓.在仿真中将倾斜误差增大到 0.01 tad。

0 200 400 600x/pixel图9加入0.02tad倾斜误差的拼接精度Fig.9 Diference when adding 0.02 rad tilt errorDifrerellce P 2.133 4e-0l2nm0 200 400 600x/pixel图 l0加入 0.04 rad倾斜误差的拼接精度Fig.10 Diference when adding O.04 tad tilt error曩 二二二二二U誓 圜 二二二二二二二二誓 m0 0 0 弘O O 0 0 O 0 第 9期 王 宁等 ：子 孔 径 拼 接检 测 浅度 非球 面表 3不同倾斜误差拼接精度的P 值Tab.3 PV values under difierent tilt errors在各 个子 孔径 加 0.000 2Ax和 0.000 4Ax随机误 差 ，其拼接 精度如 同 l1和 l2所示 ，拼接 精度 的PV值如表 4所示。由拼接结果可 以知道 .随机误差对拼接精度的影响非常大 .且 引起 随机误差的 因素非常多 ，如大气的扰动 、环境 的震动 、探测器 的非线性 等 ，都有可能 引入不同程度 的随机误 差 ，需要进- 步 的 研 究Differcncc PV：0.000 243 52rim0x/pixelf I 11加入 0.000 2Ax随机 误差 的拼 接精 度Fig.1 l Difference when adding 0.000 2Ax random errorDifference PV：O.00041269 rim600500400轰300孟200100l00 200 300 400 500 600x/pixelf≮i 12 加入 0.000 4Ax随机 误差 的拼 接精 度Fig.12 Difference when adding 0.000 4Ax random error表 4不 同 随机误 差拼 接精 度 的 P 值Tab.4 PV values under diferent random errors最后，综合考察平移 、倾斜和随机误差 ，第-次加入 0.0lAx的平移误差 、0.02 rad倾斜 误差和 0.0002Ax随机误差 ，第二次将这 i种 误差都加倍 ，其拼接精度的 维罔如图 l3～14所示 ，其 PV值如表 5所示 比较这两次仿真结果可以知道 ，影响仿真结果最主要的因素是随机误差 ，平移误差和倾斜误差对最后的拼接精度的影响不大。拼接精度的数值随着误差的数值成线性增长的趋势Difference P 0 000 207 86nm600500400- 。＆ 300盂2001000x/pixel图 13 加入 0.O1Ax平移误 差 、0.02 rad倾斜误 差 和 0.000 2Ax单位随机误差的拼接精度Fig.13 Difference when adding 0.1 translation error.0，02 tadtilt error an d 0.000 2Ax ran dom errorDifference P 0.000 481 03rim60050040O鼍300孟200j 0OO0 200 400 600x/pixel图 l4双 倍误 差的 拼接精 度Fig.14 Difference when adding double erors表 5不 同误 差拼接 精 度的 PV值Tab.5 PV values under different errors3 结 论比较平移 、倾斜 干随机误差 ，算法对平移和倾斜 0 0 l × X0 1 1 O 屯O 加 蛆0 1红外与激光工程误差抑制性较好 ；随机误差对拼接精度的影响较大 。

在高精度检测中需要特别注意：算法对子孔径 的平移误差 的抑制性较好 。其对拼接精度的影响可以忽略不计 ：子孔径的倾斜误差体现在拼接精度上会使子孔径的划分显现出来 ，但单就数值来说对结果 的影响并不大 ：随机误差对拼接精度的影响最大 ，且随着误差的增大成线性增长的趋势。在实际测量中，随机误差的分析也最为复杂 ，形成随机误差的因素繁多 ，难以掌握 。下-步的1二作中可以考虑改进算法 ，增强算法抑制随机误差的能力。在拼接精度的二维图中可以看出子孔径划分 的轮廓 ，且子孔径重叠区域的拼接精度要高于非重叠区域 ，可见 ，增大重叠 区域面积确实能提高拼接精度。

最后在综合平移 、倾斜和随机误差分析时可以看出，拼接精度 的图像和数值皆与只有随机误差时相似 ，进-步验证了算法对平移和倾斜误差的抑制效果较好